伸展運(yùn)動(dòng)懸臂梁的穩(wěn)定性分析*

劉 明， 楊曉東， 張 偉， 秦朝紅

(1. 北京理工大學(xué)先進(jìn)結(jié)構(gòu)技術(shù)研究院 北京，100081) (2. 北京工業(yè)大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京，100124) (3. 北京強(qiáng)度環(huán)境研究所可靠性與環(huán)境工程技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京，100076)

引 言

軸向可外伸懸臂結(jié)構(gòu)在工程中的應(yīng)用越來(lái)越常見，被廣泛應(yīng)用于航空航天[1-2]、機(jī)械加工及機(jī)器人等工程領(lǐng)域，包括新型可伸縮機(jī)翼的伸出、航天器附件和板型天線的展開等。其特點(diǎn)是一端固定，另一端自由，且結(jié)構(gòu)的展向長(zhǎng)度隨時(shí)間變化。這類結(jié)構(gòu)因其沿軸向是可運(yùn)動(dòng)的，屬于典型的時(shí)變參數(shù)結(jié)構(gòu)。相比于不可移動(dòng)的結(jié)構(gòu)，其沿軸向的外伸過程易誘發(fā)結(jié)構(gòu)的橫向振動(dòng)及失穩(wěn)。若不進(jìn)行有效控制，引起的振動(dòng)將會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性及其攜帶設(shè)備的工作精度帶來(lái)很大影響，造成難以估量的損失。因此，研究軸向外伸結(jié)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過程中的穩(wěn)定性具有重要的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值。

許多學(xué)者從不同角度對(duì)軸向可伸縮懸臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究。Tabarrok等[3]推導(dǎo)了長(zhǎng)度隨時(shí)間變化梁的運(yùn)動(dòng)方程，得到形式為4個(gè)非線性的偏微分運(yùn)動(dòng)方程和一個(gè)幾何關(guān)系的運(yùn)動(dòng)方程，將其簡(jiǎn)化為線性方程后求解，得到一階截?cái)鄷r(shí)梁做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的解析解。Gosselin等[4]研究了稠密液體中外伸梁的穩(wěn)定性，用黏性力和附加質(zhì)量代替了流體對(duì)梁的影響，用牛頓第二定律推導(dǎo)了梁的振動(dòng)方程，對(duì)方程無(wú)量綱化之后，采用Galerkin截?cái)嘌芯苛肆涸谕馍爝^程中的穩(wěn)定性問題。結(jié)論說明：當(dāng)梁以恒定低速度伸展時(shí)，梁自由端振幅逐漸增大，隨著梁長(zhǎng)度的增加，流體對(duì)梁的阻尼力使振幅又逐漸減小，最后進(jìn)入失穩(wěn)；若伸展速度較大，則梁在初始階段會(huì)發(fā)生微小顫振，隨后又回到穩(wěn)定狀態(tài)，當(dāng)軸向速度足夠大時(shí)，梁會(huì)一直處于失穩(wěn)，類似于非時(shí)變結(jié)構(gòu)的屈曲失穩(wěn)狀態(tài)。Pasternak等[5]研究了帶有負(fù)剛度多自由度彈簧振子系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，用解析方法推導(dǎo)了根據(jù)剛度矩陣行列式值來(lái)判斷系統(tǒng)失穩(wěn)的條件，并以兩自由度彈簧振子為例進(jìn)行了驗(yàn)證。

文獻(xiàn)[6-8]在理論研究方面推導(dǎo)了可伸縮懸臂梁的橫向振動(dòng)微分方程，研究了梁自由端振幅和固有頻率等動(dòng)力學(xué)特性隨時(shí)間變化的情況[9]，以及不同的軸向運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)梁振動(dòng)的影響[10-13]。在實(shí)驗(yàn)方面也有相關(guān)學(xué)者做了一定的研究[14-17]。相比之下，在懸臂梁外伸時(shí)的穩(wěn)定性方面的研究較少。筆者采用瞬態(tài)特征值方法和剛度判定方法分別研究了梁在外伸時(shí)的失穩(wěn)情況，并進(jìn)行了比較。

1 伸縮懸臂梁模型

筆者從航空航天領(lǐng)域中提煉出時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，將可伸縮變形結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為具有軸向運(yùn)動(dòng)速度的變長(zhǎng)度、變質(zhì)量的懸臂梁。伸展運(yùn)動(dòng)懸臂梁模型如圖1所示。隨著力F方向的改變，該懸臂梁可進(jìn)行外伸和回收，其長(zhǎng)度L為時(shí)間的函數(shù)，即L=L(t)。

圖1 可伸縮懸臂梁模型Fig.1 The deploying cantilever beam model

由于梁只在外伸情況下才會(huì)發(fā)生失穩(wěn)，故筆者只研究外伸情況。在一定初始條件下，梁在外伸過程中會(huì)產(chǎn)生橫向振動(dòng)。其中，梁的材料參數(shù)[6]如表1所示。

表1 材料參數(shù)

2 研究?jī)?nèi)容

可伸縮懸臂梁的運(yùn)動(dòng)微分方程[3]為

(1)

當(dāng)梁軸向速度U=1.3 m/s，加速度a=dU/dt=0時(shí)，在一階初始條件下對(duì)式(1)取一階截?cái)啵玫?/p>

(2)

采用Runge-Kutta法求解f1，利用式(3)得到梁自由端位移隨時(shí)間變化的情況。

YX,t=f1tφ1X,L

(3)

其中：f1(t)為模態(tài)坐標(biāo)；φ1(X,L)為時(shí)變模態(tài)函數(shù)。

在穩(wěn)定階段，梁自由端的位移響應(yīng)變化曲線如圖2所示。可見，梁在外伸的初始階段，其自由端位移呈周期性逐漸增大，此時(shí)處于穩(wěn)定階段。

圖2 穩(wěn)定階段梁自由端位移響應(yīng)Fig.2 The tip displacement response at stable state

圖3 失穩(wěn)階段梁自由端位移響應(yīng)Fig.3 The tip displacement response at unstable state

在失穩(wěn)階段，梁自由端的位移響應(yīng)變化曲線如圖3所示。可以看出，當(dāng)梁外伸到一定程度時(shí)，自由端偏向于坐標(biāo)軸一方一直伸展下去，系統(tǒng)的周期性震蕩將徹底消失，此時(shí)處于屈曲失穩(wěn)狀態(tài)。

基于式(1)，筆者用特征值和剛度矩陣隨時(shí)間的變化趨勢(shì)兩種判斷方法來(lái)確定梁在外伸時(shí)的失穩(wěn)時(shí)間。

2.1 用特征值判斷失穩(wěn)

在一階初始條件下，對(duì)式(1)取一階截?cái)啵词?2)。當(dāng)梁以U=1.3 m/s的速度伸展時(shí)，求解式(1)，得到其特征根隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖4所示。

圖4 一階截?cái)鄷r(shí)瞬態(tài)特征值變化曲線Fig.4 The varying curve of instantaneous eigenvalue at one order truncation

在時(shí)變系統(tǒng)中，特征值是隨時(shí)間不斷變化的，故稱為瞬態(tài)特征值。瞬態(tài)特征值的虛部即瞬態(tài)固有頻率，瞬態(tài)特征值的實(shí)部即表示能量的變化。從圖4可以看出，在初始階段，瞬態(tài)固有頻率逐漸減小，而實(shí)部為0。隨著梁的逐漸外伸，當(dāng)瞬態(tài)固有頻率等于0，即系統(tǒng)沒有周期性震蕩時(shí)實(shí)部出現(xiàn)分岔，并出現(xiàn)大于0的情況。此時(shí)，梁出現(xiàn)屈曲失穩(wěn)，t =235.38 s。

在一階初始條件下，式(1)取5階截?cái)啵?/p>

(4)

圖5為以相同的速度外伸時(shí)，系統(tǒng)瞬態(tài)特征值的虛部和實(shí)部的變化情況。

圖5 五階截?cái)鄷r(shí)瞬態(tài)特征值變化曲線Fig.5 The varying curve of instantaneous eigenvalue at five order truncation

圖5(a)從下往上的曲線依次表示第1階瞬態(tài)固有頻率至第5階瞬態(tài)固有頻率，其中最先達(dá)到零點(diǎn)的曲線對(duì)應(yīng)的是第1階瞬態(tài)固有頻率。從圖5可以看出，由于多階模態(tài)的存在，使得一階模態(tài)對(duì)應(yīng)的特征值實(shí)部不在為零，但并沒有改變發(fā)生分叉的時(shí)間。因此，系統(tǒng)在上述初始條件下，發(fā)生失穩(wěn)時(shí)梁的長(zhǎng)度是不變的。

2.2 用剛度矩陣判斷失穩(wěn)

由于梁的長(zhǎng)度隨時(shí)間不斷變化，導(dǎo)致其瞬時(shí)剛度也隨時(shí)間在變化。對(duì)于時(shí)不變結(jié)構(gòu)，當(dāng)梁處于失穩(wěn)狀態(tài)時(shí)會(huì)出現(xiàn)負(fù)剛度現(xiàn)象，即剛度從正變?yōu)樨?fù)。

根據(jù)式(1)，可直接得出梁的剛度在一階截?cái)嘞碌谋磉_(dá)式為

(5)

其中：A11和B11可由式(1)得出。

剛度k隨時(shí)間的變化曲線如圖6所示。可以看出，隨著梁的不斷伸展，其剛度不斷降低，直至為0，此后梁出現(xiàn)負(fù)剛度，即產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象。產(chǎn)生失穩(wěn)的點(diǎn)為t =235.38 s，與圖4所得結(jié)論相符。

圖6 剛度變化曲線Fig.6 The varying curve of stiffness

由式(1)得到五階截?cái)鄷r(shí)系統(tǒng)的剛度矩陣為

(6)

其中：A和B可由式(1)得出。

圖7 剛度矩陣行列式變化圖Fig.7 The varying curve of stiffness matrix determinant

用Matlab得出剛度矩陣所有順序主子式的行列式值，其對(duì)應(yīng)曲線如圖7所示。圖中最粗的曲線表示五階順序主子式的行列式，從下往上依次按遞減順序?qū)?yīng)各階順序主子式的行列式，直至最上面的曲線對(duì)應(yīng)的為一階順序主子式的行列式。從圖中可以看出，隨著梁的不斷伸長(zhǎng)，其剛度不斷降低，5條曲線一旦出現(xiàn)小于0的情況，即發(fā)生失穩(wěn)。經(jīng)分析可知，最早出現(xiàn)零點(diǎn)的曲線對(duì)應(yīng)的是五階順序主子式的行列式。此時(shí)出現(xiàn)0值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間依然是t =235.38 s，和圖6得出的結(jié)論相同。

3 結(jié)束語(yǔ)

筆者首先研究了梁在外伸過程中，其自由端位移在穩(wěn)定階段和失穩(wěn)階段時(shí)不同的振動(dòng)情況，得出了失穩(wěn)后梁的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；其次，通過分析瞬態(tài)特征值和剛度矩陣行列式隨時(shí)間的變化趨勢(shì)，來(lái)判斷伸展懸臂梁失穩(wěn)的時(shí)間；最后，將兩種方法的結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果得到了很好的一致性，由此驗(yàn)證了這兩種方法的正確性。