大傳動比微型活齒傳動系統非線性共振研究*

李 沖， 邢繼春， 方記文， 趙 忠

(1.江蘇科技大學機械工程學院 鎮江，212003) (2.江蘇科技大學江蘇省船海機械裝備先進制造重點實驗室 鎮江，212003) (3.燕山大學機械工程學院 秦皇島，066004)

引 言

隨著航空、航天、武器等尖端技術的不斷發展，機械傳動逐步走向高精度、高效率、大功率密度及微型化的趨勢[1]。活齒傳動作為一種結構緊湊、傳動比大、承載能力高的傳動方式[2]，近年來成為眾多學者研究的一大熱點課題。活齒傳動最初由德國技術人員在20世紀30～40年代提出，國內對活齒傳動的研究始于20世紀70年代后期[3]。周建軍等[4]對活齒傳動機構的設計和分類進行了系統闡述，為樣機的設計及可行性奠定了理論基礎。趙純可等[5]對二差齒擺桿活齒傳動進行了深入研究，給出了齒形的設計與加工方法等。劉大偉等[6]給出了非勻速活齒機構的傳動原理及典型結構，該種機構具有設計制造簡單，能實現變速傳動效果多樣性。李劍鋒等[7]對二齒差鋼球活齒傳動齒廓干涉進行了研究，給出了避免定盤封閉槽發生齒廓干涉的設計條件。李沖等[8]提出了一種機電集成壓電諧波傳動系統，將微型鋼球活齒傳動與壓電驅動實現完美結合，具有低速、大轉矩特性。

科研工作者對于不同類型活齒傳動的動力學特性進行了研究。梁尚明等[9]建立了擺動活齒傳動系統的動力學模型，并分析了彎曲振動、扭轉振動及其耦合效應。金向陽等[10]對航空用微小型正弦活齒系統的扭轉振動進行了數學建模，得到了其動態特性參數，找出了結構中影響動態特性參數的薄弱環節。安子軍等[11]采用集中參數法建立擺桿活齒傳動系統的3自由度扭轉振動動力學模型，給出模態頻率和振型。文獻[12-13]借鑒行星齒輪傳動模型對微型鋼球活齒傳動系統進行動力學建模并對壓電諧波活齒傳動系統進行了耦合振動研究。

活齒系統在工作時，參與嚙合的齒數處于變化中，故活齒系統輸出轉矩呈非線性變化。活齒系統的非線性動力學特性對其傳動效率產生重要影響。通過對活齒傳動系統進行非線性共振研究，可以了解系統的動態特性，避免系統非線性共振的產生，進而提高系統傳動的平穩性。筆者對設計的大傳動比微型活齒傳動系統進行非線性動力學建模，給出非線性幅頻關系及共振響應規律。

1 活齒傳動系統設計

活齒傳動系統由波發生器、中心輪、活齒架及活齒構成，如圖1所示。工作時，波發生器按照諧波運動的形式沿圓周方向擺動，波發生器邊緣與活齒接觸時通過諧波力迫使活齒沿中心輪齒廓滾動，活齒帶動活齒架轉過一定角度。在波發生器連續諧波的作用下，活齒架輸出完整周期運動。

筆者所用微型活齒傳動系統，設活齒個數Zp=30，中心輪波齒數Zc=29，則系統傳動比為

(1)

設微型活齒系統偏心距a=0.1mm，a取值較小是為了能夠通過微納米驅動機構來提供偏心，使活齒系統能夠應用于微型精密傳動部位。中心輪齒廓是活齒傳動的關鍵部位，中心輪齒廓方程為

(2)

其中：φ為活齒架轉角；ψ為活齒中心運動軌跡上該點法線與x軸的夾角；b=rs+rp；rs，rp分別為波發生器和活齒的半徑。

圖1 活齒傳動系統構成圖Fig.1 Composition diagrams of movable tooth drive system

圖2為活齒位于中心輪齒廓上兩個極限位置的幾何關系圖。由圖2(a)及活齒連續傳動條件、不干涉條件可得活齒架外圓半徑的尺寸范圍為

(3)

圖2 活齒與中心輪齒廓的位置關系Fig.2 Location relationship between movable tooth and central cog profile

由圖2(b)及活齒連續傳動條件、不干涉條件可得活齒架內圓半徑的尺寸范圍為

(4)

2 活齒傳動系統動力學建模

微型活齒系統動力學模型如圖3所示，OXY為定坐標系，Oxy為活齒架坐標系，Oixiyi為活齒坐標系(i=1,2,…,Zp)，波發生器、中心輪、活齒架和活齒分別用下標s，c，r，p表示。xj，yj，uj為線位移和周向線位移(j=s,c,r,p1,…,pZ)。該模型假設：a．各構件嚙合處為彈性變形，主體部分是剛性的；b.各構件在平面內振動；c.只考慮活齒的平移振動。

在圖3(a)中，波發生器、中心輪和活齒架相對于活齒的位移沿嚙合線方向的投影為

(5)

其中：φ1i=φi+φ3i，φθi=φi-θi；θi為構件振動角位移；φi為活齒i-活齒架的連線與X軸的夾角；φ3i為波發生器-活齒i的連線與活齒i-活齒架連線的夾角。

圖3 傳動系統動力學模型Fig.3 Dynamic model of drive system

由波發生器相對于活齒的位移關系可得

(6)

由中心輪相對于活齒的位移關系可得

(7)

由活齒架相對于活齒的位移關系可得

(8)

由活齒相對于各構件的位移關系可得

(9)

其中：mj和Ij分別為各構件的質量和等效質量，kg；kj，kjz，kjt分別為活齒與各構件的嚙合剛度、徑向支撐剛度和切向扭轉剛度，N/m；rj為各構件理論半徑，m；Ts為波發生器轉矩，N·m。

3 非線性共振響應

活齒系統工作時，參與嚙合的齒數會在Zp/2和(Zp/2+1)間交替變化，故系統的輸出轉矩會出現波動變化，如圖4所示，每經過π/435，轉矩出現一次突變。將一個周期內的T隨θ變化用多項式擬合

(10)

其中：τ1，τ2和τ3分別為擬合系數。

圖4 輸出轉矩隨活齒架轉角變化Fig.4 Output torque changes with corner of teeth center

為將轉矩T在整個時間歷程中用連續方程表示，將式(10)通過傅里葉展開

(11)

假設活齒相對于活齒架的轉角為δθ，活齒架轉矩增量為δTr，則Tr在θ=θ0處的泰勒級數展開式為

(12)

由嚙合剛度和輸出轉矩的關系可得

(13)

(14)

式(12)是通過傅里葉展開和泰勒級數展開得到的，將圖4中轉矩波形簡化為正弦形式，可得

αTcos(ωet)

(15)

將式(12)與式(15)合并，則活齒架轉矩增量為

αTcos(ωet)

(16)

將式(16)代入式(13)和式(14)，然后將式(13)，式(14)代入式(6)～式(9)，整理可得

(17)

(18)

將式(18)正則化，可得系統正則化動態方程為

(19)

進行變量替換，設CzNi=2ζωi，系統阻尼項、激勵頻率與派生固有頻率之差與ε同數量級，令

(20)

引入變量ψi=ωeit，將式(19)轉化為對ψi的微分，令ε的同次冪系數相等，可得近似微分方程組為

(21)

CkiPeNcosψi+θ

(22)

解方程式(21)，設激勵中初始相位角θ恰能使響應的相位為ωeit，可得其解為

(23)

將式(23)和u=u0+εu1+ε2u2代入一次近似方程式(22)，可得

(24)

首先，解式(24)中的第1式，為消除久期項，令sin(ψi)和cos(ψi)的系數為0，且消除θ可得

(25)

(26)

將ζ用ζωe1/ω1代替，并令s1=ωe1/ω1，可得活齒傳動系統在激勵頻率ωe1接近派生系統固有頻率ω1時振幅與頻率的關系式為

(27)

同理可得，當激勵頻率ωe2和ωe3分別接近ω2和ω3時，系統振幅與頻率的關系式為

(28)

聯立式(27)和式(28)，整理可得

(29)

解式(24)可得非線性方程一次近似解為

(30)

4 算例分析

4.1 幅頻曲線隨參數變化

任取活齒傳動系統兩組基本參數如表1所示，兩組參數對應的活齒數量為30和15。由式(29)可得，在激勵頻率分別接近派生系統的一階固有頻率時，系統振動頻率與振幅隨阻尼系數ζ、嚙合活齒個數f、波發生器偏移量a、活齒半徑rp和波發生器半徑rs的變化如圖5和圖6所示，圖中si為無量綱單位。由圖可知：

2) 系統最大振幅值偏離si=1的程度隨s1，s2和s3的順序依次增大，且振幅偏離si=1的距離代表了非線性的顯著程度。

3) 隨著阻尼系數ζ的增大，當si恒定時系統的響應振幅逐漸減小，這是由于阻尼較大時對共振具有一定的抑制作用。

4) 隨著嚙合活齒數f的增大，系統的響應振幅較大幅度減小，振幅偏離si=1的程度減小，且偏離量隨著si的增加而增加，故參與嚙合的活齒數越少時系統的非線性越顯著。這是由于隨著f的改變，嚙合剛度發生變化，進而非線性嚙合力發生改變。

5) 波發生器偏移量a、活齒半徑r和波發生器半徑R對系統振幅和頻率的影響都是在s1時很小，在s3時比較大。區別在于，在s1和s2時振幅隨a的增加而增加，隨r和R的增加而減小，在s3時振幅隨a的增加而減小，隨r和R的增加而增加。

6) 振幅隨a，r和R的變化規律不同的原因在于，由剛度計算式知剛度隨a的變化與剛度隨r和R的變化趨勢相反，故振幅隨a與r和R的變化規律不同。在同一系統參數影響下，由于不同si時PNi和Bk隨參數的變化不同，造成了不同si時振幅隨同一參數的變化規律不同。

圖5 活齒系統幅頻曲線隨第1組參數變化Fig.5 Amplitude-frequency curve of movable tooth system changes with first group parameters

圖6 活齒系統幅頻曲線隨第2組參數變化Fig.6 Amplitude-frequency curve of movable tooth system changes with second group parameters

類別參數活齒架中心輪波發生器活齒第1組mj/kg1.31×10-25.64×10-22.59×10-23.30×10-5Ij/kg9.34×10-38.41×10-21.30×10-21.32×10-5rj/mm15.816.614.51第2組mj/kg1.76×10-25.18×10-21.30×10-23.30×10-5Ij/kg1.44×10-27.72×10-29.30×10-31.32×10-5rj/mm11.812.610.61

7) 活齒傳動系統在兩組參數下的幅頻響應變化規律相同，不同之處在于，活齒數量為15齒時系統響應幅值小于30齒時的幅值。

4.2 系統共振響應

由式(30)知，當激勵頻率接近系統的某一固有頻率時，活齒傳動系統整體或局部將發生共振現象。分別求解當ωe≈ω1，ωe≈2ω1及ωe≈1/2ω1時的響應，圖7為波發生器的響應，可以得出以下規律。

圖7 激勵頻率接近不同倍頻時的系統響應Fig.7 The system response when excitation frequencies near multi-time frequency

1) 當ωe≈ω1時，xs向和ys向的響應振幅較大，此時波發生器xs向和ys向發生共振，且xs向的共振更加劇烈，故在頻率ω1時對應的活齒系統的振型為波發生器平移振動。

2) 當ωe≈2ω1時，xs向、ys向和us向的振幅都比較小，故系統在2倍頻時共振現象不明顯。

3) 當ωe≈1/2ω1時，xs向、ys向和us向的振幅都很大，此時波發生器既存在平移振動又存在扭轉振動，且驗證了亞諧波共振的存在。由于ωe≈1/2ω1時的最大振幅小于ωe≈ω1時的振幅，故亞諧波共振的劇烈程度小于1倍頻共振時的劇烈程度。

5 結 論

1) 阻尼系數ζ和嚙合活齒個數f對幅頻曲線的影響最大，且f越少時系統的非線性越顯著。

2) 系統在ωe≈ω1和ωe≈1/2ω1時共振顯著，且亞諧波共振程度小于1倍頻共振程度。

3) 在進行活齒傳動系統改進和優化時，為了減小系統振動及提高系統平穩性，應盡量減小活齒數量和波發生器偏心距，同時活齒傳動系統的工作頻率應當遠離1/2倍頻和1倍頻。