基于Lyapunov指數的非線性Lamb波的微裂紋檢測*

柏 林， 唐 滔， 劉小峰， 韋代平

(重慶大學機械傳動國家重點實驗室 重慶，400044)

引 言

當結構中存在疲勞裂紋或微裂紋等早期損傷時，譜分析會發生高階諧波滋生，Lamb波的非線性特征變化與板材內部缺陷之間存在著特定的關系，可用于無損定量評價結構材料的早期損傷程度，研究不需要參考信號的非線性Lamb波的結構健康監測新方法，具有重要的工程應用價值。國內學者在非線性Lamb波的傳播激勵以及應用技術方面已經取得一定的研究成果。例如：材料的力學性能變化對非線性二次諧波敏感性研究[1-2]；基于二次諧波的積累增長效應的材料非線性性質檢測等[3-4]。目前，針對非線性Lamb波信號的特征增強及其提取方法的研究很少，基本上都停留在頻域二次諧波幅值大小的衡量上。必須指出的是，基頻激發的二次非線性Lamb波信號由于模式和傳播速度的原因，極易衰減掉，且容易被噪聲淹沒，導致檢測可靠性降低，給裂紋的定量評估帶來了較大誤差。關于裂紋損傷特征與非線性Lamb波信號之間的定量關系，非線性Lamb波的分析方法和損傷評價特征提取方法等還有許多問題需要深入研究。鑒于線性Lamb波對微小裂紋檢測的局限性及非線性Lamb波對外界干擾的敏感性，研究微裂紋超聲Lamb波的非線性特征增強方法對板構件的早期裂紋損傷識別具有重要意義。

基于混沌振子系統的弱信號檢測技術利用混沌振子的非平衡相變對系統參數的敏感性以及對噪聲信號的免疫能力，實現強噪聲背景下微弱信號的檢測。混沌檢測系統在Lamb波的缺陷檢測已經進行了一段時間的探索性研究。武靜等[5]采用Lyapunov指數對管道缺陷損傷進行了評價與定位。文獻[6]研究了斜裂紋管道超聲導波的混沌振子檢測方法。但目前的研究主要集中在線性Lamb波分析中，還沒有涉及到微裂紋產生的非線性Lamb波檢測。應用Duffing混沌振子對微弱信號檢測理論來分析板材結構微裂紋在Lamb激勵下的非線性特性進行微裂紋的檢測，是一個全新的研究領域。筆者在分析非線性Lamb波信號的產生激勵及傳播特性的基礎上，采用Duffing振子方程對微弱周期信號進行了增強，并采用Lyapunov指數對的裂紋產生Lamb波的非線性特征進行了量化分析。

1 非線性Lamb波的傳播原理

當Lamb波經過發生換能器輸入材料中，材料在超聲波作用下內部空間受到擾動，在這種較大擾動下，內部的微小裂紋出現周期性的閉合張開。當超聲波信號與微裂紋相互作用時，將改變微裂紋處的阻尼，使之與周邊均勻材料不同，局部質點的振動速度也將發生變化，所以與連續體材料相比會產生顯著的高頻諧波信號[7-8]。對大部分材料而言，應力σ與應變ε 成非線性的關系。在小區間內，可由胡克定律描述為

σ=Eε(1+βε+…)

(1)

其中：E為彈性模量；β為二階彈性系數，也稱為非線性系數。

β可以作為描述介質非線性的一個參數。對出現接觸類損傷的金屬結構來說，可認為結構的非線性主要是由接觸類損傷導致的，因此可以通過測量參數β的變化檢測、評價結構的損傷

(2)

根據文獻[9]，微裂紋導致的超聲非線性系數的表達式為

(3)

在實際非線性Lamb波測試過程中，二次諧波的幅值與基波的幅值相對非常小，常常被淹沒在噪聲信號中。因此，對微弱諧波信號進行有效增強，采用微弱諧波信號檢測技術對其進行定性定量分析。

2 基于 Duffing-Holmes的微弱波檢測

杜芬(Duffing)振子方程被用于微弱信號檢測的基本原理是：由于其非線性特征，當輸入信號中有周期信號時，系統將發生狀態的遷移。由于裂紋引起的非線性Lamb波中的二次諧波非常微弱且易收到外界環境干擾，為提高振子對微弱諧波檢測的靈敏度與工作穩定性，去掉原始Duffing 系統中恢復力項的線性部分x，引入非線性部分x5，轉化為Duffing-Holmes振子方程[10]

(4)

其中：k為阻尼比；(-x3(t)+x5(t))為系統的非線性恢復力項；Fcos(ωt)為內策動力項；F為策動力幅值；ω為策動力角頻率。

當確定式(1)中的阻尼比k, 逐漸增大策動力幅值F，使Duffing振子處于由混沌狀態向大尺度周期狀態轉變的臨界狀態。在這種狀態下，稍增大策動力幅值F，Duffing振子的運動狀態將轉變為大尺度周期狀態。

為了實現Duffing系統對任意頻率諧波檢測的普適性，需對系統的時間尺度進行縮放。令t=ω0τ，ω0為待測頻率, 則式(9)進行尺度變化為

(5)

采用式(5)可以在不改變 Duffing振子系統的參數條件下，通過變化系統計算步長,實現對非線性Lamb波高次諧波的檢測，從而大大降低系統復雜度，進一步增強了系統的微弱諧波檢測性能。

混沌狀態可利用相軌跡圖進行判斷，但這不便于工程的應用?；煦缦到y的另一個基本特征是對初始條件的敏感性。兩個相近的初始條件會產生兩條混沌軌道，這兩條軌道會隨著時間的變化逐漸分離，Lyapunov指數就是用來描述相鄰軌道分離程度的。Lyapunov指數特別適用于檢測初始條件微小變化及敏感性非常大情況下的特性，可用來定量描述混沌系統的穩定性。在一維動力系統xn+1=F(xn)中，原動力系統在x0處的Lyapunov指數表示為

(6)

Lyapunov指數對軌道運動的平均結果用來表示整個系統的特征。當λ>0時，可判定系統處于混沌狀態；當λ<0時，系統運行軌跡是局部穩定的，且對初始條件不敏感。系統的運動狀態為大尺度周期狀態。計算Lyapunov指數的方法包括定義法、正交法、wolf法[11]和小數據量法等。筆者采用Wolf法計算Duffing 系統的求解信號。

3 微裂紋檢測與量化方法

Duffing 振子系統具有對參數敏感及對噪聲免疫的特性，噪聲在有限時間內使系統產生復雜運動，但最終趨于規則，而且在統計意義下，零均值的噪聲不會改變系統原有的運動趨勢，只是在原有軌跡附近做振蕩。因此可根據系統是否發生相變來檢測微小非線性Lamb信號的存在與否以及確定其參數，具體的實施步驟如下：

1) 根據Lamb波的采樣頻率及激發頻率，設置Duffing-Holmes振子系統的變換尺度及分析步長h 與內置頻率ω；

2) 初步確定系統的混沌臨界閾值fd，然后在沒有待測信號和噪聲輸入情況下調整好fd和k的值，使得系統剛好處在倍混沌臨界狀態；

3) 由于裂紋波包屬于瞬態信號，而Duffing振子一般用于穩定諧波的檢測，因此需要對獲得采集的Lamb波包進行周期延拓處理；

4) 為降低一次諧波對二次諧波檢測的影響，采用高通濾波方法將一次諧波去掉，將濾波后的信號輸入到Duffing-Holmes振子系統，利用龍格庫塔法求解模型；

5) 對Duffing-Holmes振子系統輸出的時間序列采用C-C法確定時延參數τ與嵌入維數m, 進行相空間重構；

6) 采用Wolf方法在重構相空間中計算出最大Lyapunov指數，并進行歸一化處理；

7) 對不同裂紋模型數據重復步驟3～4，得出不同裂紋模型數據的Lyapunov指數，進行Lyapunov指數與裂紋長度的線性分析。

4 有限元模型

當前主要通過數值計算模擬Lamb波在含微裂紋的鋁板中傳播，得出影響非線性系數β的因素，并且定量地得出一定的線性相關性。為了進行Duffing振子對裂紋大小的定量分析，采用有限元軟件ABAQUS建立了1個無裂紋鋁板及6個尺寸分別為0.2, 0.4, 0.6，0.8，1及1.2 mm的二維微小橢圓型裂紋的有限元模型。用ABAQUS進行有限元分析，采用二維shell模型，鋁板尺寸為1 000 mm×2 mm,鋁板材料密度為2 700 kg/m3,彈性模量為70 GPa,泊松比為0.35。在邊界條件中給左端添加位移激勵來激勵鋁板產生S0模態lamb波，激勵信號是中心頻率為140 kHz的10周期漢寧窗調制正弦信號，最大幅值為1×10-8mm。激勵點與裂紋距離為500 mm，裂紋與接收點距離為100 mm，右端固定。采樣時間間隔設為2×10-8s，采樣頻率為5×107Hz。

不同的混沌振子具有不同的混沌檢測性能，為了能更有效地實現微弱非線性Lamb諧波的檢測，必須要選擇一個對二次諧波信號敏感的混沌系統，設置式(5)中的系統參數k=0.5,初始狀態x(0)=dx(0)=0, 并調節參數F至0.725時使系統處于混沌臨界狀態。取0.6 mm長裂紋模型的Lamb波信號進行分析，接收點接收到的波形及其頻譜如圖1所示。

從圖1可知，接收Lamb波包中的二次諧波非常微弱，與1次諧波的幅值相差3個數量級，在實測信號中裂紋二次諧波易受到噪聲的影響，不管是在時域還是在頻域都無法檢測出來。為模擬真實的檢測Lamb 波，在圖1的接收信號中加入標準差為1.124 2×10-9的白噪聲，如圖2所示?？梢钥闯?，二次諧波已經完全淹沒在噪聲中，放大頻譜中的二次諧波幅值無法直接分辨出來?？梢?，傳統的β指數量化分析裂紋方法在干擾情況下已經完全失效。

圖1 0.6 mm裂紋時接收到的時域波形及頻譜Fig.1 The time waveform and spectrum of 0.6 mm crack

圖2 加噪裂紋信號及其頻譜Fig.2 The time waveform and spectrum of crack signal with plus noise

采用本研究方法首先截取Lamb波波包進行整周期延拓，并進行低阻濾波去掉1次諧波對混沌振子的影響。將濾波后的信號輸入調整好的Duffing系統中，采用4～5階變步長Runge-Kutta法求解，得到系統的相軌圖以及龐加萊界面圖如圖3所示。從圖3的相軌圖可看出，在加入濾波裂紋信號后，系統已經從混沌狀態進入了大尺度周期狀態，在相應的Poincare圖上為變現一個穩定的離散點，證實了加入信號二次諧波成分的存在，表征了模型中裂紋損傷。其中，相軌跡x與dx/dt為無量綱參數。

圖3 裂紋信號的相軌圖和龐加萊圖Fig.3 The phase trajectory and Poincare map of crack signal

圖4 無損信號的相軌跡圖與龐加萊圖Fig.4 The phase trajectory and poincare map of no crack signal

采用同樣的方法，在無裂紋健康模型產生的Lamb波信號中加同樣大小的噪聲，同樣采用周期延拓與濾波處理后，輸入到Duffing系統中得到的相軌跡圖以及龐加萊界面圖如圖4所示?？梢钥闯?，Duffing系統的相圖為混沌狀態，且Poincare圖中為一遍分散點，此時系統無法穩定在某一個周期成分。因此可判定，輸入信號中并不存在二次諧波頻率280kHz，驗證了模型中無裂紋缺陷。

為了對裂紋做進一步的量化分析，通過C-C法，對時間Duffing系統獲得的時間序列x(t)進行最大Lyapunov指數計算。首先, 需要對時間序列x(t)做相空間重構，采用C-C法計算出的延遲時間和最小嵌入維數分別為τ=7和m=5，通過wolf法求取x(t)的最大Lyapunov指數為-2.439 3×10-4。采用同樣的方法分別對其他5個裂紋模型非線性Lamb波及無損信號獲得最大Lyapunov指數，結果如表1所示?？梢园l現，對于裂紋模型的最大Lyapunov指數均小于0，這說明待檢信號中只要包含和Duffing-Holmes系統外策力頻率相同的二次諧波280kHz，都會導致Lyapunov指數由大于0轉變為小于0。以裂紋信號的Lyapunov指數的相反數與無損信號的Lyapunov指數之比作為裂紋損傷指標γ，即

(7)

其中：LLE1為裂紋信號的Lyapunov指數；LLE0為無損信號的Lyapunov指數。

損傷指標γ與裂紋大小之間的線性關系如圖5(a)所示。無噪聲干擾情況下非線性指數β′與裂紋大小的線性關系如圖5(b)所示。比較可知，在強噪聲干擾情況下得到的Lyapunov指數比β′指數能更有效地對微裂紋大小進行定量分析，為結構中微裂紋的辨識與衡量提供了新的手段與方法。

為了比較γ與β系數與裂紋長度及之間線性擬合關系，采用確定系數(R-square)來描述系數與裂紋大小之間的線性擬合度。

(8)

其中：SSR為擬合指數與實際指數均值之差的平方和；SST為實際指數計算值和其均值之差的平方和。

SSR的計算公式為

其中：yi為不同尺寸裂紋所對應的缺陷指數γ或β。

SST的計算公式為

表1 Lyapunov指數與β′指數的對比

圖5 非線性參數β′，γ 與裂紋長度的線性關系Fig.5 Linear relationship between β′ and γ with crack length

根據式(8)計算出的γ與β′的R-square指數分別為0.927 8與0.925 9?？梢?，單根裂紋損傷情況下，損傷指數γ比β指數更能表達Lamb波非線性特征與裂紋大小的線性關系。

5 結束語

利用Duffing-Holmes振子和Lyapunov指數對強噪聲背景下的非線性Lamb諧波進行檢測并對其諧波對應的微小裂紋進行量化分析。從仿真實驗結果可以看出，該方法可以有效檢測強高斯白噪聲下的非線性Lamb波的二次諧波并對其進行量化描述。由于Duffing-Holmes振子對噪聲具有較強的免疫性，因此利用該方法進行微裂紋非線性Lamb波的檢測時不需要對噪聲進行抑制，從而避免了再抑制噪聲過程中對微弱非線性諧波信號的抑制，體現了該方法檢測微裂紋的優越性。