改進分數階Tikhonov正則化的截割煤巖載荷識別方法

劉春生,任春平,2

(1.黑龍江科技大學，黑龍江 哈爾濱 150022; 2.哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

載荷識別作為一類反問題，其具有病態性(不適定性)，尋求準確解相對是比較困難的，在科學和工程領域中該類問題都具有第一類或者第二類積分方程的形式，由于系統條件數較大的原因，直接利用數值算法是無效的[1-2]。探究一種穩定求解反問題方法是國內外學者不斷探索的重要課題，許多學者做出了重要的貢獻，目前還沒有完全成熟的理論研究方法。

反問題的間接處理方法被諸多學者所探究，其中較為經典的為整數階Tikhonov正則化方法。文獻[3]探討了截斷奇異值分解(SVD)Tikhonov正則化對沖擊載荷識別的影響。文獻[4]利用整數階Tikhonov 正則化與迭代算法相結合方式對結合部等效力矢量模型進行更新，辨識出結合部等效動力學參數。文獻[5]采用整數階Tikhonov正則化與L曲線相結合方法，有效穩定地實現多源動態載荷的重構。文獻[6]研究了整數階Tikhonov正則化技術參數對載荷識別的影響。文獻[7]探究了基于Green函數的整數階Tikhonov正則化與區間理論結合的載荷識別方法。文獻[8]結合動態規劃方法與整數階Tikhonov正則化算法對結構動態載荷識別進行了探討。盡管整數階Tikhonov正則化識別方法已被國內外學者探究，并取得諸多重要成果，但在特殊工程應用領域，該識別技術還沒有得到完全的應用與推廣。

文獻[9-10]將離散正則化技術及其修正算法應用到截割煤巖載荷重構中，驗證了算法的實用性和穩定性，但解收斂率較低。文獻[11]探討基于瑞利隨機分布下載荷重構的影響，其重構效果不夠理想。文獻[12]采用整數階Tikhonov正則化技術與小波變換相結合的技術，研究了載荷識別的效果。專著[13]預測了分數階微積分理論與正則化技術相結合的分數階正則化技術將會是在礦山機械領域中載荷識別的重要研究手段。但有關分數階正則化方法的研究報道相對較少，且工程應用領域還不夠成熟和完善。

本文在以前研究工作基礎上，針對上述載荷識別技術在具體應用中存在的缺陷，如系數矩陣不適定性、抗噪能力弱、正則解平滑等問題，提出一種改進分數階 Tikhonov正則化方法，其方法的技術路線為將載荷在時域范圍內表示為一系列核函數的疊加形式，系統的測量載荷可表達為識別載荷和核函數的卷積分，然后通過離散化方法將卷積方程變換為線性方程組，對其進行載荷識別。利用改進分數階 Tikhonov正則化方法將載荷識別過程轉化為無約束優化問題處理，目標函數采用新超記憶梯度法進行快速求解，最后獲得穩定的識別解。

1 載荷識別模型

在時域范圍內，建立系統的載荷識別模型，將測試載荷表示為被識別載荷和核函數的卷積分，即載荷識別模型可用Fredholm方程表達[14-15]:

通常情況下，測試載荷響應y(t)含有一定的噪聲e(t)，其可表達為如下形式:

yδ(t)=y(t)+e(t)

據此，以下表達式可代替式(1)，即

根據矩形公式，離散化處理式(2)，其表達如下:

(3)

其中，當k≠i時，

因此，式(3)被如下表達式代替:

AZ=Yδ(4)

式(4)揭示了被識別載荷Z與測試載荷Yδ和識別模型結構參數A特性關系。但是，載荷識別具有病態性，直接應用數值算法很難獲取穩定的識別解。據此，探尋載荷識別的有效方法具有重要的研究意義，然而研究特定形式的正則化方法是直接處理該問題的有效途徑。

2 載荷識別方法

為了提高載荷識別的抗噪性及魯棒性，在以往研究工作基礎上，提出了一種改進的分數階Tikhonov正則化方法，以此減少該類反問題存在的缺陷及不足等問題。

2.1 改進分數階Tikhonov正則化

根據奇異值分解(SVD)方法，分解式(4)中的矩陣A，其分解結果如下[16-18]:

(5)

式中，U=(u1,u2,…,un)和V=(v1,v2,…,vn)分別為由左奇異向量和右奇異向量構成的列正交矩陣。并且∑為矩陣A的奇異值所構造的對角矩陣，∑=diag(σ1,σ2,…,σn),且σ1≥σ2≥…≥σn≥0。

根據分數階微積分理論的思想，重點基于分數階Tikhonov正則化理論方法[19]，給出了一種改進分數階Tikhonov正則化方法，其方法的核心在于將處理載荷識別這類反問題的思想轉化為一類無約束優化問題，其目標函數被表述為

(6)

當分數階次α確定時，正則參數λ可以通過差異原理進行選取[20]。

基于上述的改進分數階Tikhonov 正則化方法，其濾波因子被描述為

(7)

然而整數階及分數階Tikhonov 正則化的濾波因子，其具體表達式描述[21-22]為

(8)

式(8)濾波因子的漸進性如下:

(σi→0)

為了分析比較3種方法，從濾波因子漸進性及濾波因子隨奇異值變化兩方面考慮。首先，從整數階Tikhonov 正則化與分數階Tikhonov 正則化濾波因子的漸進性可知，整數階Tikhonov 正則化濾波因子比分數階Tikhonov 正則化濾波因子收斂得快，意味著較小奇異值對應的分量被有效濾掉了，即快的收斂速度表明識別對象具有明顯的光滑性，所以分數階正則化優于整數階。

雖然改進分數階正則化濾波因子漸進性表達式與分數階正則化濾波因子相同，但可通過濾波因子隨奇異值變化曲線來判別3種方法的差異，如圖1所示，對于較小奇異值，改進分數階濾波因子比分數階濾波因子抑制的少，對于較大的奇異值，改進分數階比分數階對應的分量保持得多。因此，改進的分數階正則化方法不但能夠保留較小奇異值對應的分量，而且還能夠抑制較大奇異值對應的分量。綜上所述，可以得出改進分數階正則化比分數階和整數階正則化更有效，從而減小載荷識別的病態性。

圖1 濾波因子隨奇異值變化曲線Fig.1 Variation curves of filter factor with singular value

2.2 新超記憶梯度法

式(6)被認為是無約束優化問題，并且可以通過使用一些優化算法獲得的最優解。因此，根據新超記憶梯度法來求解式(6)的無約束優化問題。通常情況下的迭代算法求解式(6)采取以下形式[23]:

Zk+1=Zk+dkhk(9)

其中，hk為搜索方向，且新超記憶梯度法的搜索方向;

(10)

gk代表著J(Zk)在Zk點的梯度,gk=被定義如下:

(11)

dk代表步長，采用由修正的非單調線搜索來確定，令hk=βmk，mk滿足以下不等式:

(12)

算法流程如下:

步驟1:初始點υ∈(0,1),β∈(0,1),且η>0,m為給定的正整數,ρ∈(0,1/m),0<ε≤1,令k=0;

步驟2:計算gk，若‖gk‖≤ε，則終止;

步驟3:根據式(10)計算搜索方向;

步驟4:根據式(12)確定步長dk;

步驟5:若滿足式(9)，則停止;如不滿足，則返回步驟1。

3 算 例

改進分數階Tikhonov正則化載荷識別算法應用在鎬型截齒截割煤巖試驗載荷譜的識別中，重點在于獲取與真實載荷在精度上相匹配的識別載荷，以便為研究截割煤巖機理及載荷重構提供理論參考和方法。

3.1 試驗系統

鎬型截齒截割煤巖載荷譜的測試系統如圖2所示。截割電動機經減速器和轉速轉矩儀驅動截割臂旋轉，采用變頻調速方法調節截割臂轉速，截割試驗臺的進給運動通過液壓缸實現，經速度傳感器反饋，可自動和手動調速。截齒的載荷測試系統由測力裝置、壓力傳感器、信號放大器和Dasp v10智能數據采集和信號處理系統等組成。其參數如下:變頻電機額定功率為55 kW，截割裝置可模擬采煤機滾筒轉速范圍為0～48 r/min，力傳感器范圍為0～5 000 N，扭矩測量范圍為0～22 000 N·m，截割直徑范圍為1 200～2 000 mm，牽引速度為0.5～2 m/min。在旋轉截割過程中，截齒所受到的載荷，通過5個壓力傳感器的變形量轉換為電信號，經多路滑環將信號傳入Dasp v10智能數據采集和信號處理系統。

圖2 試驗系統Fig.2 Test system

3.2 測力原理

截齒截割煤壁時所受的截割阻力通過齒套傳遞，由后端的力傳感器測出其大小，傳感器測力方向與截齒軸線一致定義為軸向載荷Fz，所測力方向與截齒軸線方向垂直定義為徑向載荷Fy，測力裝置如圖3(a)所示。

圖3 測力裝置及截齒受力Fig.3 Force measuring device and force diagram of pick

試驗測力裝置中截齒的受力狀態如圖3(b)所示，其中，Z為截割阻力，Y為推進阻力，f為支撐結構與截齒齒套間的摩擦阻力，β為截齒的切向安裝角，O為齒套支撐點，l1為齒尖到支撐點距離，l2為傳感器到支撐點距離。根據圖3(b)得到截齒的力平衡和力矩平衡方程。

(13)

Z=Fzsinβ+Fy[fnsinβ(1+kl)+klcosβ](14)

式中,fn為截齒齒套與支撐結構的摩擦因數，取fn=0.1;kl為測試裝置截齒與傳感器結構尺寸系數，kl=0.739。

實驗條件:截齒安裝角為45°，煤巖截割阻抗180 kN/m，最大切削厚度20 mm，截割臂轉速為40.8 r/min，牽引速度為0.8 m/min。測試得到的截齒軸向載荷及徑向載荷如圖4(a)和(b)所示，根據圖4(a)和(b)載荷曲線按采樣離散點由式(14)換算得到截割阻力，如圖4(c)所示。

圖4 截割載荷與截割阻力Fig.4 Cutting load and cutting resistance

在上述試驗條件下可知，換算得到截割阻力的大小盡管與軸向載荷不同，但變化趨勢類似，且徑向載荷對其變化規律影響不大，即得到截割阻力Z與軸向載荷Fz成正比關系。因此，試驗測試軸向載荷可反映截割阻力大小及變化規律，分析截割阻力特征時也可近似用測試的軸向載荷來進行表征。

3.3 結果分析

以截割阻力為研究對象，為深入探究分數階次對載荷識別結果的影響，以便于與整數階次進行比較分析，給出了如下分數階次的影響結果及方法比較分析。

3.3.1 分數階次α的影響

應用改進分數階Tikhonov正則化方法，其參數設定如下:λ=10-2，ξ=1。而階次α分別給定為0.1，0.2，0.3，0.4,0.5，0.6,0.7，0.8，0.9。

載荷識別結果如圖5所示。從圖5可以看出，隨著分數階次的增大，載荷雖然都能夠被識別出來，但識別的效果卻不盡相同。

為了進一步地定量評價不同分數階次對重構效果的影響，給出其評價指標:均方根誤差(RMSE)和迭代次數。均方根誤差(RMSE)如下:

(15)

式中，Zt為實測載荷;Zd為被識別載荷。

給出RMSE及迭代次數隨分數階次的變化值，見表1，可以看出隨著分數階次的增大，RMSE及迭代次數值呈先減小后增大的趨勢，存在著最小RMSE和最少迭代次數值，可以判斷存在最優的分數階次，即α=0.5，此時載荷識別效果相對理想。

圖5 不同分數階次的重構曲線Fig.5 Reconstruction curve of different fractional order

α=1.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9RMSE5.086 82.908 72.024 40.905 50.366 50.375 40.543 00.653 10.937 5迭代次數645543271113202530

圖6 不同識別方法比較Fig.6 Comparison of identified results under different methods

3.3.2 載荷識別方法的比較

研究的目的在于探求載荷識別的有效算法，為此進一步對改進的分數階Tikhonov方法與整數階Tikhonov方法和分數階Tikhonov方法進行對比分析，如圖6(a),(b)和(c)中分別給出了3種方法的載荷識別結果。

圖6(a)被識別截割阻力是利用整數階Tikhonov方法獲得，此時最優分數階次α=1.0。圖6(b)被識別截割阻力是通過分數階Tikhonov方法給出的，此時最優分數階次α=0.4。在圖6(c)中所示被識別結果是由改進分數階Tikhonov方法給出的，此時最優分數階次α=0.5。

從圖6中可以看出，這3種方法都能識別截割阻力，但是，與整數階Tikhonov方法和分數階Tikhonov方法相比，改進分數階Tikhonov方法能夠有效地識別截割阻力的細節。

從表2可以看到，改進分數階Tikhonov方法的識別效果，具有最小的均方根誤差(RMSE)和最少的迭代次數。因此，通過以上綜合分析，表明改進分數階Tikhonov方法的識別結果優于階Tikhonov方法和分數階Tikhonov方法。

表2不同識別方法比較
Table2Comparisonofdifferentidentificationmethods

評價指標識別方法整數階Tikhonov分數階Tikhonov改進分數階TikhonovRMSE0.418 20.388 40.366 5迭代次數191411

從上述算例可知，最優分數階次為0.5。為研究所提出算法的通用性，給出了截齒安裝角在40°及50°的兩組試驗數據，在相同的最優階次前提下，應用提出的改進分數階Tikhonov正則化方法，在給出其載荷識別狀態，如圖7所示。

圖7 40°和50°安裝角載荷識別曲線Fig.7 Load identification curves at 40 degrees and 50 degrees of installation angle

從圖7可以得到，截割載荷能夠被清晰地識別，且識別效果也相對較理想，從給出的表3可知，評價指標均方根誤差(RMSE)較小，迭代次數也較少，表明其截割載荷細節特征能夠被清晰地辨識。因此，提出的改進算法在識別截割載荷方面具有普遍適用性。

綜上所述的試驗驗證算例表明改進分數階 Tikhonov正則化方法的特點如下:一是該方法能夠有效地解決載荷識別過程中出現的病態性問題。二是將載荷識別過程轉化為一類無約束的優化問題處理，目標函數通過新超記憶梯度法求解，進而提高識別解收斂速率。三是該方法在時域范圍內無需載荷識別模型的任何先驗信息。通過截割煤巖載荷識別算例，證明所提出方法具有更強的魯棒性及抗噪性。

表3不同安裝角度載荷識別
Table3Loadidentificationwithdifferentinstallationangles

評價指標不同安裝角度40°50°RMSE0.507 30.396 6迭代次數1715

4 結 論

(1)給出一種改進的載荷識別快速算法，即改進分數階Tikhonov正則化方法，利用核函數方法將載荷表示為一系列核函數的疊加，測量載荷表示為識別載荷和核函數響應之間的卷積分形式，進而建立截割煤巖載荷的識別模型。

(2)根據分數階微積分理論，將經典的整數階Tikhonov正則化推廣到分數階模式，構造改進分數階濾波因子，該因子不僅能夠保留較小奇異值對應的分量，且也能抑制較大奇異值對應的分量，從而減小載荷識別的病態性。

(3)改進分數階Tikhonov正則化方法與傳統整數階及分數階Tikhonov正則化相比，其方法和算法中識別載荷與試驗載荷的均方根誤差(RMSE)分別為0.418 2，0.388 4，0.366 5，及迭代次數分別為19，14，11，具有較高的精度，能夠克服其解的光滑性，且載荷細節特征能夠較好被識別。

(4)隨著分數階次α的增大，均方根誤差(RMSE)及迭代次數值呈先減小后增大的趨勢，存在著最小RMSE和最少迭代次數值，可以判斷存在最優的分數階次，即α=0.5，此時載荷識別效果相對較為理想。