基于黏聚型裂紋本構關系的煤巖水力壓裂韌性破壞模型

梁衛國，楊健鋒，廉浩杰，王志勇，沈文豪

(1.太原理工大學 礦業工程學院，山西 太原 030024; 2.太原理工大學 原位改性采礦教育部重點實驗室,山西 太原 030024; 3.太原理工大學 力學學院，山西 太原 030024)

煤層氣是指賦存于煤層中以甲烷(CH4)為主要成分的非常規天然氣，是一種重要的優質清潔能源。我國煤層氣資源豐富，埋深淺于 2 000 m 的煤層氣有 36.81 萬億m3(據 2006年國土資源部全國煤層氣資源評價)，居世界第三位，是我國重要的能源儲備。實現煤層氣的高效開采和利用，能夠彌補我國常規油氣資源的不足，并且對保護大氣環境、促進煤礦安全生產有重大意義。煤層滲透率通常較低，導致煤層氣開發難度大，效率低。水力壓裂是目前國內外開發非常規天然氣的重要技術手段。

水力壓裂屬于復雜的多場耦合問題[1]，學術界對水力壓裂進行了大量的研究，并發展出了一些經典的水力壓裂力學模型來指導工程實踐，例如 PKN模型[2-3]、KGD模型[4-5]、Penny-shape模型[6]、 擬三維模型[7]和全三維模型[8]等。在經典水力壓裂模型中，巖石固體骨架被簡化為不可滲透的線彈性體。對于孔隙充分發育的材料，如煤巖等，巖石內部的滲流現象明顯,因而孔隙壓的作用不可忽略。為考慮孔隙壓的影響，BOONE等[9]在水力壓裂模型中將巖石抽象為多孔介質，耦合了孔隙內部滲流場和固體骨架的變形。

但多孔介質壓裂模型中仍然將巖石假設為多孔彈性體，一般采用線彈性斷裂力學(Linear Elastic Fracture Mechanics,LEFM)理論對其裂紋擴展行為進行研究[10-11]，而沒有考慮塑性變形和損傷的影響。在現實情況中，煤巖力學特性較軟，是一種典型的準脆性材料，其斷裂的重要特征是韌性破壞，即起裂之后能量并非瞬間釋放，而是呈現一個損傷逐漸積累直至完全破壞的漸進式過程，因而線彈性斷裂力學并不適用。解釋材料漸進式破壞的有效理論工具是黏聚型裂紋模型[12-13]。黏聚型裂紋模型是針對裂尖附近斷裂過程區(Fracture Process Zone,FPZ)的破壞規律建立的本構關系。斷裂過程區是裂紋起裂擴展過程中主要的能量耗散區和非線性響應區。在多場作用下，斷裂過程區的微觀孔裂隙會不斷萌生、擴張和融合，由此決定了裂紋的擴展規律和縫網形態。對于水力壓裂來說，斷裂過程區的損傷還會導致局部滲流特征的顯著變化，形成更為復雜的流固耦合機制[14-15]。黏聚型裂紋模型的原理是把斷裂過程區假設為真實裂紋前端的虛擬裂紋，虛擬裂紋的上下表面之間存在黏聚力的作用(圖1)。黏聚力是裂紋上下表面相對位移的函數(黏聚型本構關系)，并且受界面損傷因子控制。在外界作用下，黏聚區域的黏聚力不斷損傷，當其完全損傷時，意味著黏聚力完全消失，同時也標志著新的宏觀裂紋面的產生，而這個損傷過程所消耗的能量大小就是斷裂能。黏聚型裂紋本構關系通常是非線性的，并且依賴于加載、卸載路徑和界面損傷變量的演化歷史。常見的黏聚型裂紋本構關系有雙線型，指數型，梯型等，但具體形式往往需要根據實驗和理論共同確定，而且還需要考慮復合加載[16]、摩擦[17]、加載率等諸多因素可能造成的影響。由此可見，黏聚型裂紋的本構模型反映了斷裂過程區的損傷破壞規律，對準脆性材料的斷裂特征有關鍵影響，但是，目前還尚未有學者針對煤巖斷裂過程區的特點對其黏聚型裂紋本構模型進行研究，因而也就不能建立起符合實際的煤巖水力壓力控制方程。

基于以上分析，筆者擬通過實驗建立煤巖斷裂過程區的黏聚型裂紋本構關系,并在其基礎上構建煤巖水力壓裂多場耦合模型。模型結果的正確性將通過真三軸水力壓裂實驗驗證，并結合數值模擬和實驗數據加以討論。此項工作有助于揭示煤巖水力壓裂韌性破壞的規律，完善煤巖水力壓裂的理論模型，促進煤層氣資源的高效安全綠色開采。

1 煤巖水力壓裂控制方程

如引言所述，煤巖水力壓裂的力學機制是一組復雜的非線性耦合方程。本文將耦合方程分成固體骨架變形方程、孔隙滲流方程、裂隙流方程以及裂尖塑性區(斷裂過程區)4組分別進行分析和解釋。需要特別指出的是，這4組方程屬于強耦合，需要同時求解。方程組最終的未知量為固體位移ui,孔隙流水壓p,裂隙流水壓pf。在求出這些未知量后，即可代回相應的本構方程計算應力場及損傷區。

1.1 固體骨架變形方程

多孔介質平衡方程:

σij,j+bi=0(1)

式中，σij,j為總應力的偏導數求和;bi為體力;下角標i,j為空間維度分量;下角標“,”為求偏導數運算。總應力由固體骨架的有效應力和空隙壓組合而成，即

(2)

(3)

式中，K為多孔介質的體積模量;Km為排水體積模量。

固體骨架的有效應力和應變之間的關系為

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式中，λ和μ為拉梅常數;εkk為正應變之和;εij為無窮小應變。

基于小應變假設，應變和位移滿足如下幾何方程:

(5)

式中，εij為應變張量;ui為位移向量;ui,j及uj,i為對位移求偏微導運算。

1.2 孔隙滲流方程

流體和固體骨架構成的多孔介質滿足如下質量守恒方程:

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此外，固體密度和流體密度滿足如下的的狀態方程:

ρw=ρ0[1+cf(p-p0)](7)

本模型中假設孔隙滲流滿足達西定律:

式中，uw為流體速度;us為多孔介質固體骨架速度;μw為流體動力黏度系數;p為流體壓力梯度;g為重力加速度;為梯度算子。

1.3 裂隙流方程

模型中裂隙流的質量守恒方程為

(9)

(10)

其中，pf為裂隙流水壓;μf為壓裂液黏度;s為裂紋擴展路徑的曲線坐標。立方定律假設裂紋上下表面光滑，且雷諾數較低，滿足層流。除此之外，由于煤巖孔裂隙較為發育，壓裂液沿裂紋上下表面向巖石內部的濾失量qt和qb不可忽略。值得注意的是，在經典水力壓裂模型中，裂隙流體在裂尖的壓強會出現奇異性，這并不符合物理實際。在本文中，由于黏聚型裂紋的引入，不僅去除了裂尖奇異型，也消除了壓強奇異性。

1.4 裂尖塑性區演化方程

建立黏聚型裂紋的關鍵是確定黏聚力-裂紋開度曲線:

σy=g(w)(11)

如圖1所示，黏聚力σy是裂紋張開位移w的函數，隨著裂紋開度增大，黏聚力逐漸減小。黏聚力的減小意味著裂紋尖端區域開始出現損傷。當裂紋張開位移達到其最大值wc時，黏聚力減小為零, 這標志著裂紋之間的黏聚力消失，也就代表著這一區域完全破壞，新的裂紋面產生。在水力壓裂過程中，裂隙間的流體壓力決定了裂紋塑性區的演化，從而決定了裂紋的起裂擴展。黏聚力-裂紋開度之間的函數關系是材料屬性，也是裂尖塑性區的一種本構方程，需要物理實驗測定。但目前黏聚型裂紋的測定主要集中于混凝土的研究工作，而煤巖的黏聚型本構模型尚未見到相關論文。

圖1 黏聚型裂紋力學模型Fig.1 Mechanical model of cohesive crack

2 煤巖黏聚型裂紋本構關系測試

2.1 圓盤形緊湊拉伸(DC(T))試驗

為了將第2節介紹的多孔介質水力壓裂控制方程應用于煤巖水力壓裂，關鍵一步就是實驗測定1.4節中的煤巖黏聚型裂紋本構關系。本文采用 WAGONER[18]提出的圓盤形緊湊拉伸DC(T)實驗方法，其樣本形狀如圖2所示。DC(T)樣本直徑為D,中間預制長度為a的裂紋，裂紋最大擴展路徑長度為W。通過等距離分布在預制裂紋兩側的加載孔對試樣施加上下對稱的拉力為P，加載孔的直徑為φ。

圖2 圓盤形緊湊拉伸(DC(T))試件Fig.2 Disk-shaped compact tension (DC(T)) specimen

本次研究中，將對弱黏煤、氣煤、肥煤、貧瘦煤和無煙煤進行DC(T)實驗，上述5種不同煤階煤樣的工業分析及取樣地點詳見表1。其中，樣本直徑D=95 mm;厚度B為35 mm;預制裂紋和擴展長度的比值a/W設置為0.25;加載孔直徑設置為13.5 mm;其距離裂紋尖端和開口的距離分別設置為d=8 mm 和c=13 mm。 最終，不同煤階煤的DC(T)測試通過在加載孔上施加相對拉伸載荷實現。實驗過程中，煤DC(T)試件的裂尖開度(Crack Tip Opening Displacement，CTOD)[19]通過一對精度為0.15 μm的位移傳感器(Linear Variable Differential Transformer,LVDT)測量得到,本次實驗采用位移控制方式加載，加載速度設置為在0.05 mm/min。

表1實驗用煤樣工業分析及產地
Table1Proximateanalysesandthedepositlocationofthesecoalsusedfortesting

煤試件類型弱黏煤氣煤肥煤貧瘦煤無煙煤含水率/%6.232.080.631.632.54灰度/%16.789.237.9012.3219.37揮發分/%42.3441.2530.3514.198.02固定碳/%56.2057.2861.4378.1771.33鏡質體反射率/%0.850.751.121.822.53煤樣產地大同忻州窯煤礦呂梁斜溝煤礦臨汾長風煤礦左權阜生礦區大同河寺煤礦

通過以上的DC(T)實驗，可以測得不同煤階煤的荷載-CTOD 曲線,如圖3所示，隨著煤試件煤階的升高，煤試件的初始剛度與峰值載荷大小均逐漸上升;同時，煤DC(T)試件的臨界裂紋張開位移wc隨著煤階升高逐漸減小，弱黏煤裂紋最大張開位移wc為1.120 mm，而無煙煤的最大裂紋張開位移wc已減小到0.254 mm。此外，很明顯可以看出荷載峰值后會出現軟化現象:隨著裂紋開度緩慢增加，荷載逐漸下降。這是一個明顯的準脆性破壞特征曲線。且不同煤階的煤的軟化曲線形狀差別很大，對于較低階煤弱黏煤及氣煤，其載荷初始下降較為緩慢;而對于煤階較高的煤，其載荷初始下降幅度較大，隨后載荷平緩地降低;該種應力軟化形式對于煤體的斷裂過程有重要影響。確定峰后軟化曲線變化規律的數學方程式，即黏聚型裂紋本構關系，是確定煤體黏聚型裂紋模型的關鍵步驟。

2.2 煤巖黏聚型裂紋本構關系的建立

圖3 不同煤階煤DC(T)試件典型載荷-CTOD曲線Fig.3 Representative load-CTOD curves for different rank coal DC(T) specimens

圖4 不同煤階煤試件的曲線 curves of the different rank coal specimens

(12)

其中，L=5;ai為相應的常數系數，i=1,…,5。以上的Karihaloo 多項式是從黏聚型裂紋尖端附近的應力場及位移場漸進解推導出來的，因而具有嚴格的力學基礎。并且由于采用多項式形式，參數非常容易擬合。將以上的 Karihaloo多項式與實驗數據相對照，可以發現Karihaloo多項式可以很好地擬合實驗數據:對應著弱黏煤，氣煤，肥煤，貧瘦煤、無煙煤這5種不同階煤，其擬合度R2值分別達到 0.998,0.997,0.999,0.992，0.989。表2中給出Karihaloo多項式黏聚型本構方程對于不同煤階煤試驗結果的擬合結果。

表2Karihaloo多項式本構方程擬合不同煤階煤的結果與不同煤階煤斷裂能
Table2FittingresultsofthedifferentrankcoalsbyKarihaloopolynomialcohesion-separationlawsandthefractureenergyofthedifferentrankcoals

煤試件類型弱黏煤氣煤肥煤貧瘦煤無煙煤a1-0.888-0.716-1.7352.5310.266a212.92513.5291.763-31.259-10.728a3-76.692-96.989-14.08275.32239.230a4157.437216.96039.084-68.913-67.506a5-138.613-200.474-40.17917.77453.744擬合度R20.9980.9970.9990.9920.989GF /(N·m-1)67.3857.6849.3736.1932.76

此外,軟化曲線包圍著的面積即為斷裂能,GF。斷裂能標志著生成新的裂紋表面所需要能量的大小，計算公式為

(13)

其中，P為施加的外荷載大小;W1為裂紋擴展長度;B為DC(T)試件厚度，不同煤階煤的斷裂能詳見表2。根據試驗結果可知，隨著煤試件煤階的提升，其斷裂能不斷降低。

3 煤巖水力壓裂數值模擬及驗證

在建立了黏聚型裂紋本構關系之后，通過考慮黏聚型裂紋與固體骨架變形、孔裂隙滲流、壓裂液濾失等物理機制的相互作用，就可以建立煤巖水力壓裂多場耦合方程組。黏聚型界面單元法是一種模擬黏聚型裂紋的常用數值模擬方法。該數值模擬方法中涉及的編程過程相對簡便，通過該模擬方法可以對各種黏聚型裂紋本構關系進行表達。因此，本文的數值模擬采用黏聚型單元法進行數值模擬。傳統的黏聚型界面單元只適用于無表面力裂紋，本文采用一種改進的黏聚型界面單元，即在傳統的黏聚型界面單元中引入水壓自由度，從而能夠反映裂隙流水壓的作用(圖5)。此外，本文中所采用的黏聚型界面單元引入了第2節中實驗測定的黏聚型裂紋本構關系，反映了煤巖塑性區對水力壓裂的影響。

圖5 孔壓黏聚型界面單元Fig.5 Pore pressure interface cohesive element

第1種數值模擬算例針對的是煤體內部水壓裂紋穿越煤巖界面的物理實驗。如圖6所示，實驗采用30 cm×30 cm×30 cm的正方體，內部為15 cm×15 cm×15 cm的煤樣，外部包裹混凝土作為巖石的相似材料。作為對比，在本次模擬中雖然考慮了多孔介質耦合方程，但暫不考慮裂紋尖端斷裂過程區，模擬結果如圖7所示。裂紋開始沿最大主應力方向擴展，之后在煤巖界面處分叉并沿著界面繼續擴展。在煤巖界面的應力集中區域穿越界面進入巖層。本次模擬大致符合水力壓裂的裂紋擴展規律，說明了水力壓裂多孔介質耦合方程的有效性，但是由于沒有考慮煤的裂尖斷裂過程區，與實驗仍然有一定偏差，尤其體現在壓強變化曲線和裂紋開度等。

圖6 大型真三軸水力壓裂試驗設備Fig.6 True triaxial simulation equipment for hydraulic fracturing

圖7 水力壓裂數值模擬(不考慮裂尖斷裂過程區)Fig.7 Numerical simulation of hydraulic fracturing (the fracture process zone at the crack tip is not considered)

圖8 水力壓裂數值模擬(考慮裂尖斷裂過程區)Fig.8 Numerical simulation of hydraulic fracturing (the fracture process zone at the crack tip is considered)

第2種數值模擬算例是基于黏聚型裂紋的多孔介質水力壓裂模擬,考慮了裂紋尖端斷裂過程區的影響(圖8)。由圖8可以看出相較于圖7，裂紋的擴展路徑更為曲折，并且在裂紋擴展過程中，出現了較為密集的細小分叉，這些分叉都有利于增加巖石的滲透性。但另一方面，宏觀裂紋開度較小，抑制了煤層氣的滲透。

4 結 論

(1)對于不同煤階煤的DC(T)試件緊湊拉伸試驗，隨著煤試件煤階的升高，其初始剛度及峰值載荷逐漸升高;且裂紋最大張開位移逐漸降低，例如臨界張開位移由低階弱粘煤的1.120 mm降低到高階無煙煤的0.254 mm。同時黏聚型裂紋斷裂能不斷下降。

(2)通過DC(T)實驗測定了不同煤階煤的黏聚型裂紋本構關系，采用Karihaloo多項式本構關系對其進行表征，同時確定了5種煤階煤的Karihaloo多項式本構方程(11)中a1，a2，a3，a4與a5五個擬合參數。5種煤階煤DC(T)實驗測定的曲線進一步反映出煤巖的韌性破壞特征，并表明不同煤階煤的軟化曲線有別于常見的線性模型、雙線性模型、指數曲線模型等。

(3)由于黏聚型裂紋模型的引入，水力壓裂多孔介質模型考慮了裂紋尖端塑性區的影響。不僅消除了裂紋尖端的應力奇異型，也消除了裂隙流壓強在裂尖附近的奇異性，更為符合物理實際。

(4)在忽略煤巖的裂紋尖端斷裂過程區時，裂紋只有在遇到界面處或者在應力集中區域，才會出現裂紋分叉。在考慮了裂紋尖端斷裂過程區的影響后，裂紋的分叉更為密集，但同時主裂紋開度較小。裂紋的密集分叉有利于增加煤巖的滲透性，但裂紋開度較小又不利于開采煤層氣。因此，在水力壓裂過程中，有必要根據水力壓裂數學模型來優化各項工程參數。