擂題(119)的修正
2019-02-21 07:44:24
中學數學教學 2019年1期
重慶市長壽龍溪中學 (郵編：401249)
擂題(119) 已知正數x,y,z滿足x≤y≤z，又△ABC的三個內角A,B,C滿足A≥B≥C．求證：
xcosA+ycosB+zcosC
這個命題并不正確.我們將給出一個修正后的結論.
解答由二倍角公式易知待證的兩個不等式均等價于：
但這個不等式存在反例，比如：
顯然上述x,y,z,A,B,C滿足題設條件.
現在令ε，δ，α，β→0，可知：
xcosA+ycosB+zcosC→0+0+1=1.
這表明：此時待證式不成立.
不過有如下修正結論.
命題在擂題(119)條件下，有
證明在三角形嵌入不等式
x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC中作代換
可知第一個不等號成立.
由題設知：x≤y≤z，cosA≤cosB≤cosC. 則可由Chebyshev不等式得：
結合三角形中熟知的不等式
即知第二個不等號成立.證畢.
評注(評注人：郭要紅;時間:2019.01.19)本擂題收到攻擂稿件7份，其中3份是對擂題(119)的否定，依時間順序，作者分別是吳波(重慶市長壽龍溪中學 401249，2018年11月11日)，李文明(福州華僑中學 350004,2018年11月19日)，楊志明(廣東廣雅中學 510160，2018年11月24日).吳波老師是本擂題的獲獎者.
