兩等圓中“等角對等弦”之應用

王德禮

安徽省宿州市蕭縣耿莊小學 (郵編：235232)

初中數學教材九年級上冊中，關于圓周角定理有一個重要的推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等.這個定理又可簡記為：等角對等弧或等角對等弦.這個定理的前提條件是：“同圓或等圓中”，平時最常見的都是在同圓中來應用，在不同的等圓中幾乎沒用過.在非同等圓中，這個定理好像無用武之地，事實并非如此.下面略舉幾例為之正名.

解析如圖2，連接DE，

因為E是矩形ABCD邊BC的中點，由矩形的對稱性可知：DE=AE，

所以Rt△ABE和Rt△DCE的外接圓是等圓(直徑AE=DE)，

因為∠DCE=∠BFE=90°，

所以∠AEB=∠CDF(即兩等圓中的等角)，

本例當然還有其他解法，在此不作討論(下同，所有例題不談其他解法)，用“等角對等弦”來解決，新穎別致，簡潔明快！

圖3

例2如圖3，△ACB中，CA=CB，AF是高，直線l過點C，過A、B兩點向l作垂線，垂足分別為D、E，連接DF．求證：DF=BE.

解析因為∠ADC=∠AFC=90°，

所以∠DAF+∠DCF=∠BCE+∠DCF=180°，所以∠DAF=∠BCE.

又因為CA=CB，所以Rt△ACD和Rt△BCE的外接圓是等圓，所以DF=BE.

本例用“等角等弦”，一步到位，干脆利落，不需添加輔助線，要比其它方法來的直接.

圖4

求證：△ACD的外接圓與△BCD的外接圓的半徑相等.

這題將雙曲線、圓和直線形結合，難度較大，初看似乎無處下手.若用“等角對等弦”，則可顯示其威力非凡！

在解這道題之前，需要先介紹雙曲線的一個性質.

雙曲線等角定理雙曲線上的任意一點向雙曲線上一對中心對稱點引直線，這兩條直線與同一坐標軸相交成等角.下面僅給出該結論的一種證法：

圖5

證明過P作x軸的垂線PH，分別過A、B向PH作垂線，垂足分別為G、H.

所以∠1=∠2；同理∠3=∠4.

圖6

例3解析如圖6，延長CA交x軸于E，延長DB交x軸交于F，記AD、BC與x軸的交點為G、H.

由上述雙曲線等角定理，可得∠CEH=∠CHE=∠BHF，∠DFG=∠DGF=∠AGE，所以∠CAD=∠CBD，又因為CD=CD，所以⊙O1和⊙O2是等圓.

結論得證.

由以上幾例可以看出，“等角對等弦”，在非同等圓中大有作為，不可等閑視之.

圖7

還可以對這個定理再作進一步推廣：

如果兩圓的相似比為k，則兩圓中相等的圓周角所對的弦之比也為k.

例4如圖7，C是線段AB上一點，AC=2BC，以AC、BC為邊，在AB的同側作等邊△ACD和等邊△BCE，AE、BD交于F．若CF=3，DF=a，EF=b，則a、b滿足( )

A.a=2bB.a=2b+1

C.a=2b+2 D.a=2b+3

圖8

簡析這道題的背景非常熟悉.如圖8，易證∠3=∠DAC=∠EBC=60°，所以A、C、F、D四點共圓，B、C、F、E四點共圓，且這兩圓的相似比=AC∶BC=2∶1.

因為∠1+∠CAF=∠2+∠CAF=60°，

所以∠1=∠2(即兩圓中的等角)，

所以DF=2CF，同理CF=2EF，

所以a=6，b=1.5，故選D.

用上述方法，可以解決如下問題，請你試一試：

圖9

如圖9，半圓O的直徑為AB，C、D是半圓O上的兩點，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，DG⊥OC于G.試判斷線段CE和GF的數量關系，并說明理由.