巧借“輔助圓”求解坐標(biāo)系下全等問(wèn)題
——以?xún)傻雷鴺?biāo)系下的三角形全等問(wèn)題為例

浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中學(xué) (郵編：312050)

初中幾何中，在坐標(biāo)系下由動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生的三角形全等問(wèn)題歷來(lái)是解題的難點(diǎn)，究其原因是由動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致圖形一直在變化，讓學(xué)生難以分析出三角形全等時(shí)的位置，也無(wú)法從具體圖形上分析求解.動(dòng)點(diǎn)三角形全等問(wèn)題的關(guān)鍵在于尋找確定的量，由這些定量探尋出動(dòng)點(diǎn)形成的位置，從而根據(jù)位置分析出全等位置，即“由動(dòng)尋定，由定定位，由位定點(diǎn)”. 雖有些試題，動(dòng)點(diǎn)三角形全等直接躍然于紙上，讓人一目了然；但有部分試題，動(dòng)點(diǎn)三角形全等并非直觀(guān)呈現(xiàn)，而是隱藏在所給的圖形中，這就需要我們通過(guò)觀(guān)察辨別和分析探究，合理地予以構(gòu)造，借助“輔助圓”，化無(wú)序?yàn)橛行颉⒒半[圓”為“顯圓”，一針見(jiàn)血找到問(wèn)題的本質(zhì)，便能被有效快捷的解決.

1 知識(shí)預(yù)備

波利亞在《怎樣解題》中指出“當(dāng)我們的問(wèn)題比較困難時(shí)，我們可能很有必要進(jìn)一步把問(wèn)題再分解成幾部分，并研究其更細(xì)微的末節(jié)．”所以，研究幾何圖形，一個(gè)基本的方法就是要認(rèn)真分析條件，尋找與之相關(guān)的基本圖形，并利用這個(gè)基本圖形的暗示作用來(lái)獲得或推理相關(guān)的結(jié)論.

知識(shí)預(yù)備點(diǎn)1(靜態(tài)條件下)：如圖1，是4×4的正方形網(wǎng)絡(luò)，方格紙中△ABC的3個(gè)頂點(diǎn)分別在小正方形的頂點(diǎn)(格點(diǎn))上，這樣的三角形叫格點(diǎn)三角形，如果以點(diǎn)D為另一個(gè)頂點(diǎn)作位置不同的格點(diǎn)△ABD，使所作的格點(diǎn)三角形與△ABC全等(不含△ABC)，那么，這樣的格點(diǎn)三角形最多可以畫(huà)出3個(gè).

分析這種三角形全等構(gòu)造屬于“三定(點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C)一動(dòng)(點(diǎn)D)”．由于△ABC融于網(wǎng)格之中，直觀(guān)、一目了然，所以易畫(huà)出滿(mǎn)足題意的三角形．筆者把圖2稱(chēng)之為“鏡面對(duì)稱(chēng)全等”型，圖3稱(chēng)之為“角平分線(xiàn)全等”型，圖4稱(chēng)之為“中心對(duì)稱(chēng)全等”型.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

分析這種三角形全等構(gòu)造屬于“兩定(點(diǎn)O、點(diǎn)C)兩動(dòng)(點(diǎn)P、點(diǎn)Q)”，顯然難度比前者增大．由題意知，因?yàn)辄c(diǎn)C(4.8，0)，即OC是定長(zhǎng)，所以△OQP中的點(diǎn)Q或點(diǎn)P必在以O(shè)為圓心，OC長(zhǎng)為半徑的圓上.這樣要使以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OCP全等，且這兩個(gè)三角形在OP的異側(cè)，則只存在兩種情況:即OC=OQ或OC=PQ，但后者不滿(mǎn)足題意，然后再作∠COQ的角平分線(xiàn)確定P點(diǎn)(如圖6所示)．顯然這種作圖的思路是：先定圓，再定點(diǎn)，再作角平分線(xiàn)定另一個(gè)點(diǎn)，故把此方法稱(chēng)之為“3定全等” 型．這其實(shí)就是把圖3的作圖方式放在坐標(biāo)系的背景下而已，而這種構(gòu)圖方式恰恰是解決一些坐標(biāo)系下全等型問(wèn)題的有效途徑，需要學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中慢慢積累、體會(huì)，逐漸成為自己的解題利器.

2 典題舉隅

例1(2018年嵊州市中考適應(yīng)卷)定義：若四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)把它分成兩個(gè)全等的三角形，則稱(chēng)這個(gè)四邊形為等角四邊形，并且稱(chēng)這條對(duì)角線(xiàn)為這個(gè)四邊形的等分線(xiàn)．顯然矩形是等角四邊形，兩條對(duì)角線(xiàn)都是它的等分線(xiàn).

(1)如圖網(wǎng)格中存在一個(gè)△ABC，請(qǐng)?jiān)趫D7，圖8中分別找一個(gè)點(diǎn)D，并連結(jié)AD、BD，使得四邊形ADBC是以AB為等分線(xiàn)的等角四邊形．

圖7

圖8

圖9

①求m的值.

②若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5，0)，點(diǎn)P、點(diǎn)Q是△OAB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)四邊形OCPQ是以O(shè)P為等分線(xiàn)的等角四邊形時(shí)，求BQ的長(zhǎng).

解析(1)此問(wèn)其實(shí)屬于“三定一動(dòng)”型的全等構(gòu)造，可參見(jiàn)圖3、圖4，圖略.

②此問(wèn)屬于“兩定兩動(dòng)”型的全等構(gòu)造，我們應(yīng)分兩種情況討論：

圖10

圖11

圖12

圖13

當(dāng)點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)都在AB上，有兩種情形：由“3定全等”型的作圖方法，畫(huà)出如圖12、圖13的情形，顯然四邊形OCPQ都滿(mǎn)足題意，此時(shí)過(guò)O作AB的高OH，則易求OH=4.8，BH=3.6，進(jìn)而求得QH=1.4，所以在圖12中的BQ=BH-QH=3.6-1.4=2.2，如圖13中的BQ=BH+QH=3.6+1.4=5.

綜上所知，滿(mǎn)足題意的BQ長(zhǎng)有BQ=1或BQ=3.75或BQ=2.2或BQ=5.

評(píng)注第(2)小題的第②問(wèn)，關(guān)于“等角四邊形”問(wèn)題，根據(jù)約定，其實(shí)質(zhì)是構(gòu)造“三角形全等”問(wèn)題．解答此題的關(guān)鍵是理解題意、領(lǐng)悟題意，再分層(點(diǎn)Q在OB上或點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)都在AB上)分類(lèi)(再對(duì)每種情形嘗試構(gòu)圖)，多面討論，最終確定滿(mǎn)足題意的圖形．由此可見(jiàn)，借“圖形”關(guān)聯(lián)，明思維之道，用“模型”引路，逐步引導(dǎo)學(xué)生“由此向，及遠(yuǎn)方”．一旦悟透并掌握，這對(duì)于提高學(xué)生全面分析研究問(wèn)題的能力大有裨益，真所謂“腦中有模型，心中有全等”，解法自然來(lái).

圖14(1)

(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)若在對(duì)稱(chēng)軸上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q(點(diǎn)P在點(diǎn)Q的上方)，且PQ=2，求四邊形BCQP周長(zhǎng)的最小值；

(3)在△OCA的邊上是否存在兩點(diǎn)M、N，使得以M、N、O為頂點(diǎn)的三角形與△ODM全等？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)略.

圖14(2)

圖15

圖16

圖17

圖18

評(píng)注第(3)小題，關(guān)于構(gòu)造“三角形全等”問(wèn)題，解答除了需要經(jīng)歷觀(guān)察、猜想、嘗試等數(shù)學(xué)活動(dòng)外，還要具備較深厚的構(gòu)圖功底．對(duì)于能分類(lèi)探求出圖14(1)—圖17的情形已經(jīng)不易，然后能構(gòu)造出圖18的情形，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)實(shí)屬不易，因?yàn)檫@一情形學(xué)生往往疏忽、遺漏．因此，如解決此類(lèi)幾何問(wèn)題的一個(gè)基本策略就是：首先要認(rèn)真審題，分析條件，將條件與相關(guān)“全等模型”結(jié)合起來(lái)，利用這個(gè)“全等模型”的性質(zhì)，獲得相應(yīng)的結(jié)論．有時(shí)圖形不一定有與條件匹配的“全等模型”，這是還需要聯(lián)想相關(guān)知識(shí)作輔助圓構(gòu)造出有效的“全等模型”，再通過(guò)眾多信息的提取、組合，與已有模型關(guān)聯(lián)、步步進(jìn)階，才能得心應(yīng)手地將積累的知識(shí)及所提煉的方法應(yīng)用創(chuàng)新，使思維敏捷，技法嫻熟.

3 鞏固提升

鄭毓信教授曾說(shuō)過(guò)：“知識(shí)求連，方法求變”.變則靈動(dòng)，變則鮮活，變出智慧，變出情趣，“變”打開(kāi)了學(xué)生獲取解題方法的有效通道.進(jìn)行有效試題“變式”可以鏈接中考試題或改編題，進(jìn)一步感悟、理解問(wèn)題的本質(zhì)，數(shù)學(xué)思想方法，提升分析、思考、研究問(wèn)題的思維能力.

圖19

(1)求AC所在直線(xiàn)的函數(shù)解析式；

(2)過(guò)點(diǎn)O作OG⊥AC，垂足為G，求△OEG的面積；

(3)已知點(diǎn)F(10，0)，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)P、Q，是否存在以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△OFP全等，且這兩個(gè)三角形在OP的異側(cè)？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

通過(guò)上述例題的分析，我們不難看出：上述幾種構(gòu)造三角形全等的模型，單獨(dú)來(lái)看，絕大部分中等偏上的同學(xué)已經(jīng)掌握，可是在解題中隱藏著需要通過(guò)構(gòu)造模型、構(gòu)造輔助圓時(shí)，學(xué)生的分析能力和關(guān)聯(lián)能力還是普遍欠缺，需要教師在平時(shí)的微專(zhuān)題復(fù)習(xí)中，開(kāi)設(shè)相關(guān)的專(zhuān)題，重視對(duì)“問(wèn)題串”的設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)一系列相互“關(guān)聯(lián)”的、有“層次性”的“問(wèn)題串”可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)的、連續(xù)的思維活動(dòng)；另一方面要重視對(duì)問(wèn)題的變式探究，在比較、變化中體會(huì)問(wèn)題的“形變而質(zhì)不變”，進(jìn)而促使學(xué)生能將掌握的知識(shí)、技能和模型意識(shí)應(yīng)用到新問(wèn)題解決過(guò)程中去，以提升學(xué)生的思維品質(zhì)和綜合能力.