去偽存真 等價求證
——2017全國卷Ⅲ客觀題第12題的解法思考

甘肅省蘭州市永登縣第二中學 (郵編：730302)

2017年全國卷第3卷客觀題第12題是一道壓軸好題，題目設置精巧，科學合理，考查學生數學思維的深刻性，廣闊性，批判性，敏捷性.如果考生沒有深入的思考和探究，就會犯一些難以察覺的錯誤.本文通過該題的一個典型錯解分析，借以澄清認識，厘清數學思維，提高考生數學思維能力和數學素養.

1 錯解思維過程

圖1

圖2

然后利用線性規劃來求目標函數的最大值.

令t=λ+μ，當t=0時，目標等值線l0:λ+μ=0,即μ=-λ,平移l0:λ+μ=0到l:λ+μ=t使得l與橢圓環外邊界相切時，t可取得最大值.

圖3

2 錯因分析

這個典型錯解幾乎可以混淆真解，是個似真的偽解.只有用深厚的數學功力練就數學“火眼金睛”，才會識破偽裝，獲得數學本真.

3 正解展示

上述解題過程中，參變量范圍等價，解題過程等價，故此解法為正解.

數學命題的等價正是源于數學的等價思想，保證了命題的真值性，也就保證了數學的完整性和科學性.類似于物理學中的能量守恒定律，數學研究的是數學問題解決過程中，參與的變量保證等價轉換，物理學探討的是物體形態變化中，能量形式變化，但在轉化和轉移過程中，其總量不變.

4 變式拓展

其中θ∈[0,2π)，

5 本質挖掘

事實上，由平面向量基本定理知道，平面內任意一個向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合.因而，將這兩個不共線向量作為一對基底，可以建立平面仿射坐標系.在仿射坐標系下的整個仿射過程中，平行性不變.我們可以利用這個性質來解決第12題.

圖4

圖5

圖6

綜上知，當目標等和線掃過整個圓C，達到兩個相切位置時，即當點P運動到兩個點M、N時，λ+μ分別取得最小值和最大值，即(λ+μ)min=1,(λ+μ)max=3.