巧結合大作用：函數思想的構造應用

江西省南昌市蓮塘第一中學 (郵編：330200)

高中階段數學思想主要有四個：函數與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、化歸轉化思想.也是新課改中數學核心素養的主體，高考就是圍繞以考查考生對數學思想的理解與掌握為重心，高考試題中經常出現一類函數題， 常常采用函數與方程思想構造函數法解答能起到優化解題思路，提升思維的效果.一般在抽象函數中出現了含有函數導數符號的不等式或等式時，在解題思路上可以從構造函數來解決問題，可以得到較快捷的解題思路，體現了函數思想在與方程及不等式的巧妙結合獲得的大作用.本文就此做一這方面的探討.

1 條件中含f′(x)的不等式的題型

含f′(x)的不等式時，一般結合所給不等式進行變形，兩邊同乘或同除某個式子，比如x、x2、ex、(ex)2或某個抽象函數符號.再由所構造的函數形式求導以判定構造出來的函數的單調性解決問題.

題2在數列{an}中，(an)n+1=n+1,(n∈N*).則數列{an}中的最大項為( ).

易得a1a3>a4>…….

猜想當n≥2時，{an}是遞減數列.

故當x≥3時，lnx>1，則1-lnx<0，即f′(x)<0.

故f(x)在[3,+∞)內為單調遞減函數，

2 條件中含f′(x)的等式的題型

含f′(x)的等式時，也是先一般結合所給條件等式，進行變形，也是兩邊同乘或同除某個式子比如x、x2、ex、(ex)2或某個抽象函數符號.但是因為是等式，不像前面給出的是含f′(x)不等式，更容易判定單調性解決問題.構造完后，還需要進一步結合表達式本身特征來分析再構造討論函數性質.

即有f′(x)≤0，則函數f(x)在[0，+∞)上為減函數；

3x-2x-1>0.

解可得x>1，則不等式的解集為(1，+∞).

所以f′(x)≤0，即f(x)在[0,+∞)上單調遞減.

所謂構造函數法是指通過一定方式，設計并構造一個與有待解答問題的相關函數，并對其進行觀察分析，借助函數本身性質如單調性或利用運算結果，解決原問題.構造本身非常巧妙地把函數與方程、函數與不等式聯系起來，既考查到考生對數學知識的掌握，也考查到了考生處理數學問題的能力，符合高考新課標的要求.