再談區(qū)間端點(diǎn)賦值的合理性

甘肅省蘭州市第五中學(xué) (郵編：730000) 甘肅省蘭州新區(qū)舟曲中學(xué) (郵編：730087)

函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)的重要概念，特別地，由于在導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)不相同，函數(shù)的單調(diào)性不相同，所以導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)在解決函數(shù)的單調(diào)性中起著決定性的作用. 但是有些問題，首先需要判斷導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)是否存在，這就需要借助零點(diǎn)存在性定理構(gòu)造一個(gè)區(qū)間，使得區(qū)間端點(diǎn)導(dǎo)函數(shù)值異號(hào)，那么，有些試題答案中的區(qū)間端點(diǎn)為何偏偏就是那兩個(gè)數(shù)據(jù)呢？取點(diǎn)很巧妙，方法來得很突然[1]，是偶然還是另有玄機(jī)，文1給出了區(qū)間端點(diǎn)賦值的常見方法，本文通過幾道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題的探析，再次給出幾種取點(diǎn)賦值的方法.

1 根據(jù)已知條件給定的區(qū)間，直接得到賦值的區(qū)間端點(diǎn)

例1(2018年四川省遂寧市高三第二次模擬考理科)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex-a.

(1)若函數(shù)f(x)在[0，2]有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

解(1)f′(x)=(x-1)ex.

當(dāng)0

當(dāng)10，f(x)單調(diào)遞增，f(x)min=f(1).

令g(x)=(x-2)ex-x+lnx+1，下面求函數(shù)g(x)的最小值，

當(dāng)x00，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減.

2 利用切線不等式變化得到的常見不等式，尋求賦值的區(qū)間端點(diǎn)

例2(2013年全國卷2第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m的值，并討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.

當(dāng)-10時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.

(2)令g(x)=ex-ln(x+2)(x>-2)，

由于f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)(m≤2)，故只需證明g(x)>0即可.

當(dāng)-2

當(dāng)x>x0時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.

評(píng)析本題判斷g′(x)零點(diǎn)的時(shí)候，選擇的區(qū)間端點(diǎn)為什么右端點(diǎn)賦值為x=0呢？由切線不等式ex≥x+1，

故x≥0，或x≤-3(舍)，

3 執(zhí)果索因，推導(dǎo)出合理賦值的區(qū)間端點(diǎn)

例3(四川德陽市2018屆高三第二次診斷數(shù)學(xué)(理)試題)已知函數(shù)f(x)=a+lnx2，且f(x)≤a|x|.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

解(1)令g(x)=f(x)-a|x|，則g(x)=g(-x).

當(dāng)00，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

故g(x)≤g(1)=0，符合題意，因此a=2.

令h(x)=x-2lnx-4，

故h(x)單調(diào)遞增，h(8)h(9)<0，?x0∈(8，9)使得h(x0)=x0-2lnx0-4=0.

當(dāng)2

當(dāng)x>x0時(shí)，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增.

則f(m)=m-2∈(6，7).

評(píng)析h(8)h(9)<0是怎么來的呢？事實(shí)上，根據(jù)已知條件結(jié)合推理過程，在(2，+∞)內(nèi)，函數(shù)g(x)先減后增，所以g(x)min的最小值只能是在極小值點(diǎn)x0處取得，并且g(x)min=g(x0)=x0=m，因此要證明f(m)=m-2=x0-2∈(6，7)，只需證明x0∈(8，9)時(shí)，h(8)h(9)<0，從結(jié)論上推導(dǎo)得出了零點(diǎn)存在的區(qū)間端點(diǎn)賦值的合理性.

4 參數(shù)放縮與切線不等式齊發(fā)力，得到賦值的區(qū)間端點(diǎn)

例4(2018北京市西城區(qū)高考一模數(shù)學(xué)(文)試題)已知函數(shù)f(x)=ex(a+lnx)，其中a∈R.

(2)記f(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)，

當(dāng)a∈(0，ln2)時(shí)，證明：g(x)存在極小值點(diǎn)x0，且f(x0)<0.

5 幾點(diǎn)感悟

(1)函數(shù)區(qū)間端點(diǎn)的賦值問題，本質(zhì)考查導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理，縱觀這幾年高考試題和一些省市的高三診斷試題，落腳點(diǎn)幾乎都在判斷導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是否存在的特殊情況，即單調(diào)函數(shù)存在零點(diǎn)時(shí)，最多只有一個(gè)零點(diǎn).并且當(dāng)條件中的區(qū)間為開區(qū)間時(shí)，函數(shù)的最值一定在導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)x0處取得；同時(shí)，在得到導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)之后，常借助導(dǎo)函數(shù)在x0處的值為0，實(shí)現(xiàn)超越式和其他代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，是化歸思想指導(dǎo)解題的有力體現(xiàn).

(2)含參數(shù)的函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)賦值問題，參數(shù)是困惑函數(shù)取點(diǎn)的主要矛盾，可根據(jù)已知條件中參數(shù)的范圍，合理放縮，去掉參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的區(qū)間端點(diǎn)賦值問題.