妙用三個不等式秒殺2018年全國卷壓軸題

陜西省漢中市鎮巴中學 (郵編：723600)

不等式與函數綜合問題是高考壓軸題的熱點與難點，在全國卷壓軸題中更是屢見不鮮.以2018年全國卷I、II、III文理科高考數學六道壓軸題為例，其中三道壓軸題的壓軸第2問都是不等式與函數綜合問題，筆者在高三復習備考時，仔細將這三道壓軸題的解法探究之后發現，這三道壓軸題除官方給出的參考答案解法外，還可以妙用下述三個不等式進行秒殺，供參考.

不等式2對于正實數x，則lnx≤x-1.

證明要證原不等式，即證lnx-x+1≤0.

構造函數f(x)=lnx-x+1,x>0，需證f(x)≤0.

由f′(x)>0，解得01，即f(x)為(1,+∞)內的減函數.

所以f(x)≤f(1)=0，故原不等式得證.

不等式3對于任意實數x，則ex≥x+1.

證明與不等式2的方法類似，不再重述.

上述三個不等式都有著優美的幾何意義，即“無字證明”，如下：

圖1

圖2

如圖1，曲邊梯形面積大于直角邊梯形面積，即

不等式1右邊得證；如圖2，直角邊梯形面積大于曲邊梯形面積，同理不等式1左邊得證.

圖3

圖4

如圖3，f(x)=lnx在點(1，0)處的切線為y=x-1，即不等式2得證.

如圖4，f(x)=ex在點(0,1)處的切線為y=x+1，即不等式3得證.

妙用上述三個不等式可以輕松對2018年全國卷三道壓軸題的壓軸問實施秒殺，如下：

(1)討論f(x)的單調性；

例2(2018年全國卷Ⅰ文科壓軸題)已知函數f(x)=aex-lnx-1.

(1)設x=2是f(x)的極值點，求a，并求f(x)的單調區間；

解(1)略；

=ex-1-lnx-1，要證f(x)≥0，

即證ex-1-lnx-1≥0

由不等式2得lnx+1≤x，

即-lnx-1≥-x

①

由不等式3得ex-1≥x

②

①+②得ex-1-lnx-1≥0.

(1)求曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程；

(2)證明：當a≥1時，f(x)+e≥0.

解(1)略.

故原不等式得證.

學習數學就要善于解題，數學解題的工具是基本知識與基本技能，正如波利亞所說：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本”，也就是說知識面越廣對數學解題的幫助勢必越大，而此文所述的三個不等式雖然教材上未曾提及，然而無疑是解決相關高考壓軸題的好工具.