與其“面面俱到” 不如“以點(diǎn)帶面”
——以“雙曲線”復(fù)習(xí)為例

安徽省臨泉田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué) (郵編：236400)

高三第一輪復(fù)習(xí)，教師大都追求的是面面俱到，滴水不漏，把每一個(gè)“知識(shí)細(xì)節(jié)”覆蓋完，這種復(fù)習(xí)策略高效嗎？筆者認(rèn)為未必.考慮到學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過一遍，再這樣復(fù)習(xí)會(huì)感到乏味，復(fù)習(xí)效果也會(huì)打折扣.與其這樣“耗”下去，不如從小處入手，以點(diǎn)帶面，直擊目標(biāo).下面以“雙曲線”復(fù)習(xí)為例，談?wù)効捶?

1 考情目標(biāo)

解析幾何是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，在高考中占有重要地位.縱觀近幾年的高考試題，解析幾何一般設(shè)置兩小一大或一小一大，分值大約17～22分.而雙曲線作為一種重要的圓錐曲線，是高考的“常客”，尤其是它的兩大性質(zhì)——漸近線與離心率，其命題大都圍繞二者展開.相對于橢圓與拋物線，考試大綱對雙曲線的要求要低一些，一般是以客觀題的形式出現(xiàn)，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，從中滲透數(shù)形結(jié)合思想.

2 復(fù)習(xí)概要

2.1 扎根基礎(chǔ)

著名心理學(xué)家奧蘇貝爾曾說過：“如果我不得不把全部教育心理學(xué)還原為一條原理的話，我將會(huì)說，影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，根據(jù)學(xué)生的原有知識(shí)狀態(tài)進(jìn)行教學(xué).”因此，回顧雙曲線的漸近線與離心率，目的是激活學(xué)生原有的知識(shí)狀態(tài)，構(gòu)筑進(jìn)一步學(xué)習(xí)的平臺(tái)，為復(fù)習(xí)作好準(zhǔn)備.盡管雙曲線是一種重要的圓錐曲線，是高考的常考知識(shí)點(diǎn)，但是筆者仍然拋棄了“大面積撒網(wǎng)”這種費(fèi)時(shí)費(fèi)力的復(fù)習(xí)策略，從漸近線與離心率這一小處入手，引領(lǐng)整節(jié)內(nèi)容的復(fù)習(xí).

2.2 立足聯(lián)系

高考命題注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，不刻意追求知識(shí)的覆蓋面.而雙曲線的漸近線與離心率之間通過c2=a2+b2建立聯(lián)系，而明確二者的聯(lián)系對縮短解題路徑，優(yōu)化解題思路有很大的幫助.

2.3 聯(lián)通模擬

解析本題涉及橢圓、雙曲線的方程與性質(zhì)、直線的斜率、直線與橢圓的位置關(guān)系、垂直等知識(shí)，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，難度大，綜合性強(qiáng).由雙曲線的漸近線與離心率的關(guān)系知，解決本題的關(guān)鍵是如何求漸近線的斜率.

圖1

點(diǎn)評(píng)本題立足于橢圓，借助于垂直，分別從代數(shù)與幾何的角度求出雙曲線的離心率，而這兩種方法的本質(zhì)源于直線斜率的計(jì)算方法.本題通過雙曲線的漸近線與離心率之間的關(guān)系，縮短了思維，減少了運(yùn)算.

點(diǎn)評(píng)本題是雙曲線的漸近線與離心率之間關(guān)系的直接應(yīng)用，簡化了思路，為求最值節(jié)省了時(shí)間與精力.又由求最值方法的多樣性，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性，反映了命題的一般要求.

2.4 直擊高考

解析本題考查雙曲線的方程、頂點(diǎn)、漸近線以及離心率、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、三角形等知識(shí),對邏輯推理與運(yùn)輸求解能力有一定要求.

消去y得(1+k2)x2-2ax+(a2-b2)=0.

圖2

點(diǎn)評(píng)本題的突破口在于如何使用“∠MAN=60°”.通過圓的性質(zhì)構(gòu)造正三角形，建立雙曲線的漸近線與離心率的聯(lián)系，從而求出離心率.

解析本題考查的知識(shí)涉及雙曲線方程、性質(zhì)、圓以及直線與圓的位置關(guān)系、三角形等.

圖3

點(diǎn)評(píng)本題與上題相比，難度降低，若結(jié)合圖形，會(huì)有助于解題.

3 反思

3.1 立足考情，有的放矢

高三復(fù)習(xí)，不僅要照顧到基礎(chǔ)知識(shí)，也要注意知識(shí)之間的聯(lián)系與綜合.在具體操作中，要放棄經(jīng)驗(yàn)至上的思想，要著眼于教材，立足考情，認(rèn)真研讀考試大綱與考試說明，做到心中有數(shù)，方能有的放矢.復(fù)習(xí)課不同于新課，復(fù)習(xí)課大都省略了知識(shí)生成過程，省略了概念等的歸納概括過程.復(fù)習(xí)課以學(xué)生已學(xué)為基礎(chǔ)，如果再面面俱到、滴水不漏的展開，不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，事倍功半，學(xué)生也容易生厭，影響學(xué)生的復(fù)習(xí)興趣與積極性.故教師要立足考情，合理設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)課堂，抓住內(nèi)容的要點(diǎn)與關(guān)鍵點(diǎn)，以點(diǎn)帶面，打造“生命課堂”.

3.2 立足聯(lián)系，培養(yǎng)思維

《考試大綱》指出“注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，不刻意追求知識(shí)的覆蓋面.從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題，使對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到必要的深度.”[1]因此復(fù)習(xí)要立足于知識(shí)間聯(lián)系，構(gòu)筑知識(shí)網(wǎng)絡(luò).章建躍博士指出：“數(shù)學(xué)是培養(yǎng)思維能力的最佳載體.”而高三復(fù)習(xí)課基于知識(shí)的綜合性與聯(lián)系，思維量一般更大和對思維的靈活性要求也更高，因而對錘煉思維有很大的幫助，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

3.3 立足“小處”，以點(diǎn)帶面

高三復(fù)習(xí)要鞏固基礎(chǔ)，提升能力.考慮到高三時(shí)間的緊迫性，內(nèi)容的綜合性，如若把復(fù)習(xí)課上成了新課，想必不利于備考，也不利于提升學(xué)生的能力.因此，教師要遵循復(fù)習(xí)課的規(guī)律，不拘泥于“細(xì)膩”，與其面面俱到，不如嘗試從小處入手，以點(diǎn)帶面，推動(dòng)復(fù)習(xí)課有效開展.就像雙曲線的漸近線與離心率，二者通過參數(shù)a、b、c與雙曲線的方程以及其它性質(zhì)建立了聯(lián)系.復(fù)習(xí)不妨從二者入手，順藤摸瓜，連帶出其它知識(shí)，既省時(shí)省力，又能抓住關(guān)鍵，可謂一舉兩得.