微探究 深理解 提素養

江蘇省徐州市第一中學 (郵編：221140)

學生在數學的學習過程中常常會出現“聽起來頭頭是道，做起來莫名其妙”的現象．在教師的教導下，學生做了大量的題，見識了不同尋常的新奇解法，但碰到新題的時候又會一籌莫展．這與我們的大容量、快教學有著很大的關系．學生在教師的“過度”指導下，更多地是模仿，而少有思考．我們的課堂教學應該“慢”下來，在核心內容與重點問題上，給學生足夠的思考時間與空間，放手讓學生“大展拳腳”，觸發學生的思維，激發學生的學習潛能.

微探究是圍繞某個小知識點或某一問題，以學生已有的知識和經驗為基礎的數學探究活動．教師根據教學內容，精心設定問題，在課堂上組織學生進行“微”探究，對問題進行刨根問底，對解法進行對照優化，促使學生將知識轉化為能力，將經驗提升為素養.

在一次直線與圓的復習課上，學案中有如下一道題(2014年高考新課標Ⅱ卷理科第16題)，雖然是填空題中的壓軸題，但結果卻很容易得到．經了解，學生對本題有著繁簡各異的處理方式，或“投機取巧”，或“縱橫聯想”，思考的出發點不盡相同．因此有必要創設探究環境，讓學生在多角度分析與本質探尋的過程中，合作交流，碰撞思維，互相提升.

1 問題呈現

題目設點M(x0,1)，若在圓O：x2+y2=1上存在點N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是______.

本題中的點M、N分別是直線、圓上的動點，可以看成是雙變量問題，有一定的思維難度．不過因為∠OMN的特殊性，學生可以輕易(浮于表面)獲得答案.

2 問題探究

圖1

師：為什么∠OMN變大了？

生1：當點M向y軸移動時，OM越來越短，所以∠OMN的正弦越來越大，因此∠OMN越來越大.

師：也就是說，當N為切點時的∠OMN不小于45°時，圓O上就一定存在滿足題意的點N.我們如何來刻畫∠OMN≥45°呢？

圖2

師：很好！說理要嚴謹，尤其是結合圖形的敘述，你是怎樣想到圓P的呢？

生3：因為△OMN的邊ON與其所對的角都是定的，所以可把這個三角形放在一個圓內，∠OMN就是同弦所對的圓周角了.

師：哦，隨著點M的移動，△OMN隨之變化，而生3抓住了這一變化中的不變量，將OM作為一個等腰三角形的底邊．而腰長又是確定的，所以OM的最大值隨之即來.

圖3

師：很好．將點N的存在轉化為MN長的有解．通過三角形的邊角關系得到m與x0的等量關系，繼而將問題轉化為含參的一元二次方程有解問題．不過，該方程只要有解就行了嗎？

師：嗯，注意轉化的等價性哦．兩根中的哪一個是m的值呢？

生4：有一個就行吧．(略作思考)因為直線MN與圓O相交，兩個點都可以是N，所以兩個根都是m的值.

師：△=0的時候呢？

生4：直線MN與圓O相切，N是切點，m只有一個值.

師：非常好！理，越理越清晰．形的角度“點的存在”與數的角度“方程有解”形成了完美對應，妙哉！

圖5

師：噢，原來本題是由一道三角形有幾解的問題改編而來．從圓的角度看，其實，點N是直線MN與圓O的公共點，因此“存在點N”可看成是直線MN與圓O相交或相切，所以圓心O到直線MN的距離小于或等于半徑，也就是OQ≤ON.殊途同歸啊！

3 探究感悟

在普通高中數學課程標準(2017年版)中，“數學建模活動與數學探究活動”作為必修課程與選擇性必修課程的主題之一，旨在通過發現與提出問題、分析與解決問題的綜合實踐活動促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展，提升數學學科核心素養．探究應成為教師組織教學活動的基本意識，精心設計課堂“微”探究活動，讓學生經歷艱苦探究、驚喜發現、享受數學的探究過程，使探究成為學生的一種習慣，指導學生后續的自主成長．為高質量地實施微探究，教師應做問題的開發者、活動的參與者、學生的引路人.

3.1 做問題的開發者

美國數學家哈爾莫斯曾說：“數學真正的組成部分應該是問題和解，解題才是數學的心臟．”數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程．問題是實施數學探究的載體，也是關鍵，選好問題是進行數學探究的第一步．教師應精選問題，研究透徹，以便在課堂微探究活動中充分發揮問題的價值．一個好的問題應該富有啟發性、趣味性、挑戰性、開放性、探索性等特點，能吸引學生的目光，使學生“縱橫聯想”所學知識與方法進行多角度分析與求解．本題的解法多樣，看似考查直線與圓的位置關系，實又涉及解三角形、函數與方程、幾何最值等多方面的知識．生5的解法正是基于課本(必修5)中對三角形有幾解的探究經驗，因此也探尋到了本題的課本之源.

3.2 做活動的參與者

教師應居高臨下地設計教學，俯下身來參與課堂活動．葉瀾教授曾說：“課堂是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情的行程．”教學過程是復雜的、豐富多變的，教師應善待課堂上隨時出現的“意外”．本節課中，題目的常規解決就是極端位置分析(生1的解法)或轉化為直線與圓有公共點(教師最后總結出)，對于學生對∠OMN=45°的“別開生面”的刻畫，教師沒有制止，而是尊重學生的“第一思考權”，讓他們一一說完，最后卻驚現了問題的本質，殊途同歸．在師生、生生、生本交流的過程中，學生的思維被激發，思想在碰撞，甚至有學生想到了利用“到角公式”來求直線MN的斜率．多給學生“想一想”的時間，多與學生進行平等地交流，將充分調動學生思維，于學生成長大有裨益.

3.3 做學生的引路人

著名教育家葉圣陶先生曾說：“我以為好的先生不是教書，不是教學生，乃是教學生學．”我們的課堂教學應追求數學思想的滲透、通性通法的提煉、思維習慣的培養，使學生在參與探究活動的過程中形成科學的探究方法，能夠在后續的學習過程中自主開展數學探究活動．本節課中，題目的解決始于學生的“投機取巧”，教師不斷地追問，促使學生想清楚、說明白，并就此引導學生進行一般性探究．學生經歷了從特殊到一般，從復雜到簡單，從模糊到清晰的系列過程，可以說還原了探究的真實過程．在追問中，學生的念頭逐漸清晰；在聯系中，知識的體系逐漸完善；在求簡中，學生的思維得以歷練；在探尋中，問題的本質得以揭示；在活動中，學生的學習獲得獨立．我們應致力于將學生引到科學探究之路，自主發展之路，素養自育之路.