根據(jù)給定的素材“烹飪”出精美的數(shù)學(xué)題

浙江省柯橋中學(xué) (郵編：312030)

烹飪大師在一定時(shí)間內(nèi)都能根據(jù)給定的素材烹飪出一道道味道好、色相好、營(yíng)養(yǎng)好的菜肴，同樣的食品素材經(jīng)過(guò)不同大師的烹飪的菜肴不同，美食家們針對(duì)菜肴評(píng)價(jià)其烹飪水平，類(lèi)似地，數(shù)學(xué)大師(教師)也應(yīng)該在一定時(shí)間內(nèi)根據(jù)提供的素材與要求創(chuàng)造出精美的數(shù)學(xué)題，這可以成為一種教學(xué)技能訓(xùn)練、教學(xué)水平評(píng)價(jià)、教學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)比武的方法，

德國(guó)物理學(xué)家海森堡說(shuō)過(guò)：“提出正確的問(wèn)題，往往等于解決了問(wèn)題的大半”． 提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題顯得更加重要，提出一個(gè)問(wèn)題需要一個(gè)人具有敏銳的眼光、細(xì)致的觀察、深入的思考．作為教師，不僅要會(huì)教學(xué)生解決問(wèn)題，而且自己也應(yīng)能夠提出問(wèn)題，創(chuàng)作出提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的問(wèn)題.

1 函數(shù)性質(zhì)示例

編題素材

(1)函數(shù)f(x)的奇偶性，周期性，零點(diǎn)；

(2)函數(shù)f(x)=2x+m，x屬于某個(gè)單位長(zhǎng)度區(qū)間內(nèi)；

(3)f(2019)的值自定.

編制要求

(1)試題要涉及編題全部素材；

(2)設(shè)問(wèn)目標(biāo)與形式自定；

(3)試題必須具備準(zhǔn)確性，創(chuàng)新性，試題閱讀文字量(含符號(hào))不超過(guò)100字；

(4)創(chuàng)作試題，給出解答，時(shí)間為40分鐘.

測(cè)試目的

(1)檢測(cè)應(yīng)試者對(duì)函數(shù)“奇偶性，周期性，零點(diǎn)”概念的理解力；

(2)檢測(cè)應(yīng)試者具有一定的邏輯推理與運(yùn)算能力；

(3)檢測(cè)應(yīng)試者的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力；

總之，以檢測(cè)應(yīng)試者的核心素養(yǎng)為基本點(diǎn).

評(píng)價(jià)水平

(1)能夠在熟悉的情境中，用歸納或類(lèi)比的方法，發(fā)現(xiàn)數(shù)量或圖形的性質(zhì)，數(shù)量關(guān)系或圖形關(guān)系；

(2)能夠?qū)εc學(xué)過(guò)的知識(shí)有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)命題，通過(guò)對(duì)其條件與結(jié)論的分析，探索論證的思路，選擇合適的論證方法予以證明，并能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述論證過(guò)程；

(3)能夠掌握常用邏輯推理方法的規(guī)則，理解其中所蘊(yùn)含的思想，對(duì)于新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠提出不同的假設(shè)前提，推斷結(jié)論，形成數(shù)學(xué)命題.

創(chuàng)作試題1

函數(shù)f(x)為R上奇函數(shù)，且滿足f(1-x)=f(1+x)，函數(shù)f(x)在[0，1]上的表達(dá)式為f(x)=2x+m.

(Ⅰ)如果函數(shù)f(x)在(2020，2021)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的范圍；

(Ⅱ)如果f(2019)=0，試確定實(shí)數(shù)m的值.

解析函數(shù)f(x)為R上奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x)，又f(1-x)=f(1+x)，所以

f(x+2)=f(1-(1+x))=f(-x)=-f(x)，f(x+4)=f(x)，即f(x)是周期為4的周期函數(shù).

(Ⅰ)函數(shù)f(x)在(2020，2021)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)周期性f(x)在(0，1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，于是f(0)f(1)<0，即(1+m)(2+m)<0，

所以-2

(Ⅱ)f(2019)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-(2+m)，所以m=-2.

設(shè)計(jì)解讀此題為檢測(cè)高一學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性、周期性、零點(diǎn)概念后的水平而設(shè)置，使其達(dá)到評(píng)價(jià)水平一：能夠在熟悉的情境中，用歸納或類(lèi)比的方法，發(fā)現(xiàn)數(shù)量或圖形的性質(zhì)，數(shù)量關(guān)系或圖形關(guān)系.

創(chuàng)作試題2

函數(shù)f(x)為R上偶函數(shù)，且滿足f(1-x)=f(1+x)，函數(shù)f(x)在[0，1]上的表達(dá)式為f(x)=2x+m.

(Ⅰ)若x=0是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，求f(x)在[2，4]上的表達(dá)式；

(Ⅱ)若f(2019)=1，求f(1)+f(2)+…+f(2018)的值.

解析函數(shù)f(x)為R上偶函數(shù)，則f(-x)=f(x)，又f(1-x)=f(1+x)，所以

f(x+2)=f(1-(1+x))=f(-x)=f(x)，即f(x)是周期為2的周期函數(shù).

(Ⅰ)因f(0)=0，即1+m=0，m=-1，x∈[0，1]時(shí)，f(x)=2x-1，

x∈[-1，0]時(shí)，f(x)=f(-x)=2-x-1，

x∈[2，3]時(shí)，x-2∈[0，1]，f(x)=f(x-2)=2x-2-1，

x∈[3，4]時(shí)，x-4∈[-1，0]，f(x)=f(x-4)=2-x+4-1，

(Ⅱ)f(2019)=f(1)=2+m=1，m=-1，f(x)在[0，1]上的表達(dá)式為f(x)=2x-1，

于是f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=1，f(1)+f(2)+…+f(2018)=1009.

設(shè)計(jì)解讀此題為高一期末考試而設(shè)計(jì)，檢測(cè)學(xué)生綜合理解函數(shù)的性質(zhì)并學(xué)會(huì)分析的能力，使其具備評(píng)價(jià)水平二：能夠?qū)εc學(xué)過(guò)的知識(shí)有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)命題，通過(guò)對(duì)其條件與結(jié)論的分析，探索論證的思路，并能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述論證過(guò)程.

創(chuàng)作試題3

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)為R上奇函數(shù)，求函數(shù)F(x)=f(x)-sinx，x∈[-π,π]零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析

(Ⅰ)如圖，當(dāng)m>0時(shí)，不符合題意；m=-1時(shí)，不符合題意，

圖1 圖2

當(dāng)m=0時(shí)，符合題意；當(dāng)-1

(Ⅱ)函數(shù)f(x)為R上奇函數(shù)，所以f(0)=0，從而m=-1，f(x)的圖象如圖

圖3

F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9個(gè).

設(shè)計(jì)解讀此題設(shè)計(jì)為利用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，適合高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)檢測(cè)，目的使學(xué)生達(dá)到評(píng)價(jià)水平三：能夠掌握常用邏輯推理方法的規(guī)則，理解其中所蘊(yùn)含的思想，對(duì)于新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠提出不同的假設(shè)前提，推斷結(jié)論，形成數(shù)學(xué)命題.

2 空間圖形示例

編題素材

圖4

(1)圖1中的三棱錐形體結(jié)構(gòu)稱(chēng)為“鱉臑(bie nao)——肩下謂之臂，臂下謂之臑(禮經(jīng)釋例·釋牲)”，AC為圓O的直徑，B為圓周上不與點(diǎn)A、C重合的點(diǎn)，PA垂直于圓O所在的平面，連結(jié)PB、PC、AB、BC；

(2)提出一個(gè)平面與平面垂直的證明；

(3)提出一個(gè)直線與平面所成角的最值.

編制要求

(1)試題要涉及編題全部素材；

(2)具體設(shè)問(wèn)目標(biāo)與形式自定；

(3)試題必須具備準(zhǔn)確性，創(chuàng)新性，試題閱讀文字量(含符號(hào))不超過(guò)150字；

(4)創(chuàng)作試題，給出解答，時(shí)間為50分鐘.

測(cè)試目的

(1)檢測(cè)應(yīng)試者的空間想象能力與邏輯推理能力；

(2)檢測(cè)應(yīng)試者的運(yùn)算能力；

(3)檢測(cè)應(yīng)試者的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，

總之，以檢測(cè)應(yīng)試者的核心素養(yǎng)為基本點(diǎn)，

評(píng)價(jià)水平

(1)能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中，借助圖形的性質(zhì)和變換(平移、對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn))發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；能夠描述簡(jiǎn)單圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系及其特有性質(zhì)；

(2)能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，想象并構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形；能夠借助圖形提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)圖形與圖形，圖形與數(shù)量的關(guān)系，探索圖形的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；

(3)能夠在綜合的情境中，借助圖形，通過(guò)直觀想象提出數(shù)學(xué)問(wèn)題.

圖5

創(chuàng)作試題4如圖2，AC=2R為圓O的直徑，∠PCA=45°，PA垂直于圓O所在的平面，B為圓周上不與點(diǎn)A、C重合的點(diǎn)，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，

(Ⅰ)求證：平面ANS⊥平面PBC；

(Ⅱ)設(shè)PB與平面PAC所成角為θ，求sinθ的最大值.

解析：

(Ⅰ)平面ANS⊥平面PBC

(Ⅱ)作BD⊥AC于D，連結(jié)PD，

?BD⊥面PAC，所以∠BPD為PB與平面PAC所成的角θ.

(*)

即t2+(u-1)t+u=0，△=(u-1)2-4u≥0.

設(shè)計(jì)解讀設(shè)計(jì)的問(wèn)題中，面面垂直關(guān)系較多，選擇證明的一對(duì)平面垂直關(guān)系可以將其他垂直關(guān)系一并帶入，這是訓(xùn)練學(xué)生理解直線與平面垂直定義，直線與平面垂直判定以及平面與平面垂直判定的經(jīng)典范例；所求直線與平面所成角的最值，引入?yún)⒆兞浚⒛繕?biāo)函數(shù)，這樣數(shù)學(xué)建模思想融入其中，最后求其最值的方法很多，限于篇幅這里只介紹一種．問(wèn)題設(shè)計(jì)目的使學(xué)生達(dá)到評(píng)價(jià)水平二：能夠在關(guān)聯(lián)的情境中，想象并構(gòu)建相應(yīng)的幾何圖形；能夠借助圖形提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)圖形與圖形，圖形與數(shù)量的關(guān)系，探索圖形的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

3 作用

根據(jù)給定的素材創(chuàng)作新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于數(shù)學(xué)教師不僅是一種教學(xué)能力，而且可以提升教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這樣才能有效的落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重任.

3.1 教學(xué)的基礎(chǔ)性

數(shù)學(xué)教學(xué)除了基本的教學(xué)理念之外，數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，然而“活而新”的問(wèn)題才是取之不盡、用之不完的源泉，這應(yīng)該是“教書(shū)匠”的基本功.它首先要求教師具有良好的數(shù)學(xué)語(yǔ)言(文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、關(guān)系語(yǔ)言)表達(dá)能力.

3.2 功能的創(chuàng)新性

數(shù)學(xué)教師的解題能力，尤如家庭主婦天天要烹飪一日三餐一樣；而限時(shí)編題能力尤如家中來(lái)客人，需要主人拿出一些特色美食招待客人，在一定時(shí)間內(nèi)創(chuàng)造出符合學(xué)生認(rèn)知，檢測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題并非易事，需要教師必須具備創(chuàng)新意識(shí)，創(chuàng)造能力，這才是真功夫.

3.3 評(píng)價(jià)的科學(xué)性

在有限時(shí)間內(nèi)教師創(chuàng)作的數(shù)學(xué)問(wèn)題的水準(zhǔn)，需要根據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，科學(xué)地加以評(píng)判，正象烹飪大師的作品也要經(jīng)過(guò)美食家、營(yíng)養(yǎng)家、評(píng)判專(zhuān)家的評(píng)判一樣，雖然每個(gè)人的評(píng)價(jià)可能是模糊評(píng)判，但整體而言還是可信的，所以對(duì)于教師創(chuàng)造的數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可以用模糊評(píng)價(jià)方法實(shí)施.