遠看方知出處高
—— 一道數列模考題講評課教學設計

安徽省太湖中學 (郵編：246400 )

1 題目

本題是2018年南昌市一次高考模擬考試中第16題填空壓軸題，在做題和思考中，我發現此題立意高遠、涉及面廣、綜合性強、推廣度大、豐富深刻，引起了我的重視. 于是我從試題背景、解法、聯想、啟示等多方面認真分析和探究，上了兩節講評課，“遠看方知出處高”的感受油然而生.現將教學設計整理如下，供2019年高考備考復習參考[1].

2 背景

3 解答

第三步, 等價轉化恒成立不等式，得到答案.

4 聯想

4.1 引申聯想

結論1對于等差數列{an}，Sn為其前n項和，則S2n-1=(2n-1)an.

學生練習1已知數列{an}的前n項和Sn=2n2-n,n∈N*，則通項an=.

解析顯然{an}是等差數列，所以S2n-1=(2n-1)an.

因為Sn=2n2-n=n(2n-1),所以S2n-1=(2n-1)(4n-3).

于是(2n-1)(4n-3)=(2n-1)an，an=4n-3.

學生練習2已知{bn}是各項非零的等差數列，其前n項和為Sn，且S2n+1=bn·bn+1,則通項bn=(2017年高考山東數學題)

解析因為S2n-1=(2n-1)bn，所以S2n+1=(2n+1)bn+1.于是S2n+1=bn·bn+1就是

(2n+1)bn+1=bn·bn+1，所以bn=2n+1,n∈N*.

A．5 B．4 C．3 D．2

當n+1=2、3、4、6、12,即n=1、2、3、5、11時，滿足條件.故選A.

設計意圖 從解題中發現一些事實，自然引申出等差數列的兩條重要性質，再通過三道簡單的練習題，鞏固結論，加深理解，實現解題過程的延伸與拓廣.

解析設等差數列{an}的公差為d.

4.2 類比聯想

從等差數列向等比數列類比，得到

解析 因為a1an+1=a2an=a3an-1=…=an+1a1，所以

解析(1)設t1、t2、…、tn+2構成等差數列，其中t1=1,tn+2=100，

則Tn=t1+t2+…+tn+1+tn+2=50.5n+101. 所以an=10Tn=1050.5n+101,n∈N*.

(2)顯然{an}是以10151.5為首項、公比為1050.5的等比數列.

4.3 逆向聯想

對結論3和結論4作逆向思考，得到

所以a1=nan-(n-1)an+1(n≥2). 由兩式相等得遞推公式，2nan+1=n(an+2+an),

即2an+1=an+an+2(n≥2).

故{an}是等差數列.

而數列a1,a2,…,an,…中的每一項都為正數, 所以an+12=an·an+2(n≥2).

a22=a1·a3.即an+12=an·an+2對任何n∈N*都成立，故{an}是等比數列.

設計意圖所謂逆向思維往往是相對于正向思維而言的，簡單地說就是指從問題的反面入手，進行觀察、思考、分析與探索的一種思維活動. 在數學學習中，逆向思維主要表現在：逆用定義、公式、法則；逆向進行推理；反向進行證明(反證法)；從反方向形成新結論(如探討性質、定理的逆命題是否成立)，等等. 這里是從反方向形成判定等差數列與等比數列的新結論，培養學生思維的批判性和深刻性，發展創造性思維.

4.4 混合聯想

設計意圖只要分別將結論3與結論5、結論4與結論6的證明合并即可得到結論7和結論8的證明.所謂混合聯想，簡單地說就是在引申聯想、類比聯想、逆向聯想中至少含有兩種或兩種以上思維形式的聯想. 這里從結論3和結論5得到結論7，從結論4和結論6得到結論8，獲得等差數列和等比數列一個新的充要條件，對兩類特殊數列又有了進一步的深度認識與理解.

5 啟示

以上我們從一道高考模考題出發，通過透視解題要素、發掘隱含性質、聯想多個結論、練習反饋矯正，形成了一串知識網絡、方法網絡和思想網絡，收到了點動成線、線動成面、面動成體的效果.在整個探究過程中, 融直觀想象、數學抽象、邏輯推理和數學運算等數學核心素養于一體，有效培養了學生的直覺思維能力、合情推理能力和探究證明能力[3]，并讓等差數列和等比數列規律的對稱美、和諧美和統一美盡現其中. 這給我們的啟示是: 好的模考題或高考題往往具有針對性、示范性和拓展性，如果教師講解前認真思考、認真發掘、認真研究, 通過發現其聯系、發現其差異、發現其規律、發現其本質等等，讓模考題或高考題發揮復習功能，起到以點帶面、以一當十、舉一反三、融會貫通的作用，促使學生的思維水平和解題能力達到一個新的高度. 這不失為高考備考復習一種很好的課堂教學模式.