對一道函數隱零點問題的思考

新疆維吾爾自治區石河子市教育局教研室 (郵編：832000)

案例已知函數f(x)=x·ex-1,g(x)=lnx+kx,且f(x)≥g(x)對任意的x∈(0,+∞)恒成立,則實數k的最大值為.

本題是一道不等式恒成立問題，也是一個函數隱零點問題.主要考查導數的運算、利用導數研究函數的極值和最值、恒成立問題等基礎知識，考查學生的轉化能力、計算能力、分析解決問題的能力，屬難題．其主要考查：(1)函數與導數、單調性、最值；(2)不等式與函數的轉化；(3)轉化與化歸的思想方法；(4)構造法.

解決數學問題不是僅解決學會了多少知識點，而是研究在解決問題的過程中所涉及知識點上有多少思維點，有哪些關鍵過程，蘊含了哪幾個數學核心素養，教師要有意識地引導學生學習和掌握思維點，創造學生思考的時間和機會，讓學生學會思考，形成和發展數學素養.

關鍵過程一理清思路 匯聚智慧

在解決該問題的過程中，能夠培養學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等的綜合素養.

通常來講，解決這類問題的思路，一般有以下三種思路.

思路1利用數形結合，問題轉化為kx≤xex-1-lnx，x>0時恒成立，即φ(x)=xex-1-lnx(x>0)的圖象在直線y=kx的上方.

思路2將不等式恒成立轉化為函數的單調性，借助于導數得到所求參數不等式，通過函數最值求得k的取值范圍.問題轉化為xex-1-lnx-kx≥0，x>0時恒成立，即y=xex-1-lnx-kx(x>0)的最小值大于或等于0.

解題思路形成、匯聚和選擇的過程，就是智力活動養成習慣的過程,也是數學核心素養的重要成長點.不難看出，上述三種思路的形成過程中，包含了數形結合、函數與方程、轉化與化歸等數學思想，也就是發展學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等素養的具體過程.

關鍵過程二異曲同工 凸顯過程

按照以上思路，下面是對應三種解法：

三種解都有相對完整的階段性過程，核心素養的培植離不開這些看得見、摸得著的解題步驟.數學符號、多樣的方法、詳實的解題過程，呈現在學生面前，知識與技能在解決問題的過程中積累，數學抽象、邏輯推理、直觀想象素養在解題過程中無聲無息中形成，感悟知識與數學素養的有機融合.

關鍵過程三步步為營 追本溯源

所以h(x)在(0,x0)內單調遞減，在(x0,+∞)內單調遞增.

關鍵過程四臨門一腳 揭曉謎底

核心素養的培養需要給學生提供多樣態的學習方式.特別是被稱為“數學基本功”的邏輯推理素養，需要長期不斷、多角度、多方式地綜合培育.經過上面解題的“行不通”，學生才會發現問題的難點，也就是關鍵點，如何求出h(x)的最小值.在云計算和人工智能時代，利用信息技術也是一種必需的學習手段，如借助幾何畫板來探尋上面的問題.畫出函數h(x)(圖中的f(x))的圖象，由圖不難發現，hmin(x)=1.所以k≤1，故填1.

通過數學應用軟件，使問題得到初步解決，但數學是培養人的嚴密的邏輯思維素養的學科，邏輯思維需要經過縝密的推理過程來形成，解題過程就是推理過程，這個結果不能讓人“心服口服”.從解決問題的過程來看，借助幾何畫板，看似“合情”，但不一定“合理”.這樣解決問題不僅要“知其然”，還要“知其所以然”，數學素養的培養就是要“刨根問底”，找到解決這個問題的根本理由和依據，特別是嚴格的邏輯推理過程.需要設置問題的合理性、解決過程的簡潔性、數學思維的批判性和嚴密性，這就是說，即便是普通學生，也渴望發展邏輯推理素養.數學核心素養成了學生的內需，這就是數學核心素養在“問題”的解決中逐步落實的過程.

嚴格推理，詳細解答，才能使對知識的接受與發現、對結果的理解和認可、對解決問題與數學素養有統一的認識.接著前面的過程深入進行：

則ln(x0ex0)=lnm，即lnx0+x0=lnm，

所以φ(x)在(0,+∞)內單調遞減，而φ(1)=0，

所以hmin(x)=1，

所以k≤1.故填1.

通過巧妙的構造，經過嚴格的計算、推理，經歷了從始至終的過程體驗，問題解決了，學生心中的“疑云”消失了，心里敞亮了，學生的智慧被啟迪了，也就改變了他們的思維方式.在學生的解題過程中，數學核心素養如“潤物無聲”般地發芽、生根、開花、結果，將來才能成為能夠獨立解決問題的人.

基于案例中解決問題過程對數學知識、思想、方法的靈活應用，面對具體的數學問題，學生通過認真觀察、分析、思考、歸納、大膽質疑，提出新的問題.為了解決問題，必須重新積極思考、探究、創造性地建立假設.所以，以筆者拙見，解決數學問題的過程是培育學生數學核心素養的基本方法和重要抓手，目標和難度適當的問題情境，以及參與、思考、探索的過程會為數學核心素養的培育提供強勁動力.

由此，在解決問題中培育數學核心素養的幾點啟示：

(一)設置數學問題的質優性

對數學問題的有效解決不僅僅表現為對問題的思考，學生與教師、學生與學生之間的對話，更是與數學實質的一種思辨和表達——這才是觸及數學學科實質的有效交流，但它的最基本條件是問題本身要適合學生的生活實際，科學合理，要選擇優質的數學問題.優質數學問題應具有普遍性、針對性、合理性、活動性和思維性.

(1)普遍性

對擬解決的數學問題情境的設置和選擇，應規避陌生、偏難等現象，具有在學生的生活中普遍存在的數學問題，學科間具有的基礎、共性和綜合的問題.需要學生在活動中、在生活體驗中慢慢形成.

(2)層次性

提供的數學問題，既不能過于簡單，也不能過于復雜到學生無法解決.一般來說，問題蘊藏的條件逐步加強，所運用的綜合知識漸漸增多，難度應該逐步上升，素養要求也循序漸進.當然不能難度無極限，甚至不合理，這樣就失去了解決問題的價值.解決方法比較靈活，問題難度有梯度，具有很強的層次感，有助于問題的解決，更能激發學習數學的興趣，有益于數學核心素養的形成.

(3)合理性

在選擇數學問題情境時，對培養對象、內容、目標都應全面平衡，是否合理.明確要解決的數學問題應適合哪個年齡段的學生，首先要關注學生是如何思考、如何理解的，要尊重學生的認知規律.他們的認知規律，已經具備了哪些數學知識、有哪些相關的數學活動經驗.要解決這個問題應該儲備的知識、思想和能力，解決過程中或解決后，能培育哪幾個具體的數學核心素養.如上面的案例，對高中低年級的學生就不適合，沒有具備必要的知識和解決綜合問題的能力，而針對高三的學生，不僅可以復習函數與導數的知識、開闊思路，激發學習的欲望，還可以提高必要的數學核心素養.

(4)活動性

優質、開放的數學問題包含了豐富的數學活動空間.利用所學知識，通過獨立思考、展示交流、深入探究等活動性過程，既有一題多解，還有多解歸一；既有動腦，還有動手運算，形成解決問題的全過程，這就是數學活動經歷，也是數學活動經驗，這也是所要解決數學問題的價值所在，更使解決過程更有培育素養的意義.

(5)思維性

數學學科的作用是培養人的思維素養，使人更有邏輯地分析問題，提高解決問題的能力.其中數學問題承載著培養多樣思維的任務，蘊含著多種思維品質.學生的學習生活中，機械、簡單運算，這種不注重思維的培育只關注計算結果和算法一統的數學問題，對培育和發展學生的思維沒有多大價值的數學問題，不該至少是盡量不出現在學生的學習中.由此可見，數學問題與思維要相匹配，問題情境應該具有一定的思維價值.

(二)解決數學問題過程的完整性

解決問題的完整性包括解決問題的過程、思維的過程、培育數學核心素養的過程.基于核心素養問題的解答，不僅僅是學生對思維結果和思維過程的表達，還能促進學生思維的發展，它更象一種對話——多種觀點的分享、溝通和理解，更是多種思維的分析、比較、歸納、批判和整合的互動過程，并最終促進學生對知識的深刻理解，對數學核心素養的無聲內化.

(1)解答要有過程性

記錄自己的思考過程，哪怕是任何轉瞬即逝的想法，更應尊重解決問題過程中的多種方法并合理表達，其實就是讓學生成長的過程.解決質優量適的數學問題，讓學生表達不同算法的思考過程、達到相互溝通理解，實際上就是承認了解答過程是一個群體中互動的經驗過程；對不同的算法做出比較、判斷和優化，也即把解答視為一個具有“社會協商”性質的主動建構過程.從這個角度來看，多種解法問題的實質與當前人們對學習的認識是一脈相承的.原來認為數學學習中只要讓學生解決某個問題就行了，現在的理解是僅僅解決問題還是不夠的，還得有過程，過程中還要引導學生彼此的思想碰撞和獨特的個性.

(2)解答保證完整性

解決數學問題中基本數學活動過程非常重要，它包括思維的過程和解答的經驗，其本質是會想問題、會做事情，而這些主要來源于積累.對一個數學問題的完整解答，全方位、大視角就是把“想法”、“做法”表達完整，突出解決問題的細節描述，才使學生疑惑變“透亮”.完整的過程要放在培養創造性思維和提高問題解決能力上，多角度探究，讓學生有理性和批判精神.要鼓勵學生創造，寬容錯誤和失敗，學生要不怕思考不畏運算，鼓勵學生質疑問難，進行自主、合作、探究式學習，就是在用多種方式，追求完整的解決問題的過程.學生更像在知識叢林中散步，在其中慢慢探究、深入思考、全身心感悟.看似“低效”的“散步式”課堂教學，讓學生離核心素養更近了一些.

(3)解答方法多樣性

解答不必過度關注過程的技巧，以及問題解得是否精彩，而是要更多地關注學生是如何思考的、能否很好地接受學習內容，視角是否獨特，想法是否有創意，敢幻想敢嘗試，盡情展示思維的發散性，倡導深層次、多樣態的解答方法，保證解法完整無缺，討論各種解法的異同，最終找到最優解法.通過對截然不同，或“形散神聚”解答的深度體驗，蘊含其中的數學素養根植于學生靈魂，同時也能真正實現從“被動接受”到“主動探究”的學習性質的轉變.

(4)過程性評價

完整的過程應包含過程性評價.對每個關鍵步驟想法的創新性、解答情況、思維的表達情況和數學素養的生成情況，形成階段性、過程性的評價標準.這樣的評價指標使學生始終知道自己做到什么程度了、距離更高的標準還有多遠，能很好地引領學生感悟數學本質，提升數學素養.過程性評價強調過程，能夠及時、有效地反饋到每一位學生才會有更好的效果.

(三)數學核心素養在解決問題中生成

在解決數學問題中獲得一些基本知識、學會一些基本技能之外，終極目標是培養核心素養.數學核心素養在解決問題中生成，大致可以分為三個階段：

第一階段是解決問題.對具體的數學問題能夠徹底解決，對過程無可置疑，對結果毫無疑義，這是初級階段，也是數學核心素養在學生中生長的必經歷程.

第二階段是強化解決問題的過程.解決問題本質上是一種過程，可能是思考的過程或者智慧結晶的過程.因此以素養為本、致力于能力的問題，在本質上是一種強調過程的解決問題.這種完整的解答過程，無論繁與簡，優與劣，甚至對與錯，都應在解決問題中凸顯，如獨立思考的過程、書寫的過程、交流展示、自我評價的過程等.

第三階段是對問題智慧解決的過程.現在提出的解決問題目標不是一維的而是三維的，不僅重視結果(知識)，還要重視過程(智慧)、重視學科素養的培養.首先對解決方法和過程進行優化選擇，然后明確在具體環節、以最易接收的方式融入哪(幾)個數學核心素養.

解決問題的過程要突出什么？就是要突出教師的教學方式，而改變教師的教學方式只是手段，不是目的，目的是要改變學生的學習方式，最終改變學生的思維方式，在過程中培育數學核心素養.

學生的個性化成長，特別是數學核心素養成長成為數學學習的中心目標之后，優質的數學問題將逐步演變為數學素養的平臺中心、測評中心、活動中心和個性化教育培育中心.

總之，數學核心素養的形成，不是依賴單純的數學問題，而是依賴學生參與其中的數學活動；不是依賴記憶與理解，而是依賴感悟與思維；它應該是日積月累的、自己思考的經驗的積累.基于核心素養的數學問題，要求教師要抓住數學問題的關鍵，結合學生的認知規律合理優化數學問題，啟發學生充分思考、展示、交流，讓學生在解決問題的同時，深度感悟數學知識的生成、發展過程，積累數學思維和數學實踐的活動經驗，形成和發展核心素養.

將核心素養的培養融入到解決問題過程當中，學生數學核心素養才會生根、發芽、成長，終究學會在關聯，甚至在綜合的環境下，從數學角度發現問題，可以用數學的思維方法分析問題，還可以用數學的方法解決生活中的實際問題.