《直角三角形相似的判定》教學實錄與反思

安徽省滁州市第六中學 (郵編：239000)

1 教學背景

前不久，本人有幸參加了安徽省初中數學青年教師優質課評比活動，上課課題是滬科版九年級上冊第22章第2節第五課時“直角三角形相似的判定”，上課學生來自安慶市外國語學校，學生基礎較好，具備一定的思考、交流、探究的意識和能力.我與亳州的胡云龍老師、黃山的謝偉老師進行了同課異構的教學，能有機會和來自全省各地的優秀數學教師和專家評委進行了面對面的交流學習，給我的教學生涯留下了一次寶貴而難忘的學習經歷.

2 教學設想

本節課之前，學生已經掌握了直角三角形全等的判定方法和一般三角形相似的判定方法，為進一步探究直角三角形相似的特殊判定方法積累了經驗和探究方法.為此，我確定了本節課的教學定位：如何引導學生類比“HL”，通過“探究、發現、猜想、證明”推導出判定方法是本節課的切入點，判定方法有多種證法，教材中采用了“設k法”，并運用勾股定理證明，這種代數證法是一種重要的思想方法，體現了數形結合的思想，要求學生能夠理解掌握.

3 課堂實錄

3.1 創設情境，引入新課

師：同學們，還記得我們已經學習了哪些相似三角形的判定方法嗎？

生：兩角對應相等的兩個三角形相似.

兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似.

三邊對應成比例的兩個三角形相似.

師：我們知道直角三角形是一種特殊的三角形，這些方法能用來判定直角三角形相似嗎？

生：能.

師：我們在研究相似三角形的特例全等三角形時，就知道直角三角形全等還有其獨特的判定方法，大家還記得是什么嗎？

生：HL.

師：既然直角三角形全等有特殊的判定方法，那么直角三角形相似會不會也有類似的判定方法呢？今天我們就一起來探究直角三角形相似的判定方法.

3.2 合作探究，學習新知

師：下面先來探究一個具體的問題，類比HL，我們也給定兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊，那么這兩個直角三角形相似嗎？

已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=2，BC=1，A′B′=4，B′C′=2.求證：Rt△ABC∽ Rt△A′B′C′.

學生獨立自主探究后分享解題思路，用展臺投影展示學生解題過程，并由學生完成自評.

生1：利用勾股定理求出AC、A′C′邊的長，然后利用三邊對應成比例的兩個三角形相似，就可以證明這兩個三角形相似了.

生2：利用勾股定理求出AC、A′C′邊的長后，也可以用兩條直角邊對應成比例，且所夾得角都是直角來證明這兩個直角三角形相似.

師：請同學們仔細觀察本題的條件和結論，你有什么發現嗎？

生：知道了兩個直角三角形的斜邊和直角邊就能夠證明它們相似了.

師：需要知道幾條直角邊？

生：一條直角邊.

師：已知條件給定的斜邊和一條直角邊有著怎樣的關系？

生：比值相等.

師：也就是對應成比例，同學們能不能根據探究和發現，類比HL，大膽猜想一下直角三角形相似的特殊判定方法？

生說出猜想，教師規范語言表述并板書猜想：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似.

師：同學們，怎樣才能知道我們的猜想是否正確呢？

生：證明.

師：我們如何證明一個文字命題呢？

生：先畫出圖形，然后根據圖形和命題寫出已知和求證.

師：請同學認真分析一下題目，根據已知條件，你準備如何證明這兩個直角三角形相似？

生：我想求出第三邊的長，用三邊對應成比例來證明.

師：好，那請同學們嘗試求出第三邊的長.

生嘗試后發現無法求出第三邊的長.

生：可以用“設k法”.

師：之前我們遇見過“設k法”嗎？

生：學習比例性質的時候遇見過.

師生合作完成證明過程，教師板書.

師：在這里我們采用“設k法”，利用勾股定理求出另一條直角邊，從而得出三邊對應成比例，請同學注意這種代數證法是一種重要的數學思想方法.這樣我們就證明了猜想是正確的，它可以作為直角三角形相似的判定依據.

3.3 學以致用，深化理解

師：請同學們嘗試獨立完成下面的練習.

已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=5，AC=3，DE=10，當DF=______時，Rt△ABC∽ Rt△DEF.

師：Rt△ABC∽ Rt△DEF是條件還是結論？這樣做對嗎？

師：我們要審清題目的條件和結論，不能把結論當作解題的條件來用，如果老師把題目做一個小小的改動，你覺得答案還會是6嗎？

變式當DF=______時，Rt△ABC∽Rt△EDF.

生：答案不是6，是8.

師：為什么小小的改動，答案就不一樣了？

生：因為題中的對應關系發生了改變.

師：看來同學們都已經掌握了直角三角形相似的判定方法，下面我們再來挑戰一下自己吧.(出示例題)

如圖，∠ABC=∠CDB=90°，CB=a，AC=b.問當BD與a、b之間滿足怎樣的關系式時，以點A、B、C為頂點的三角形與以點C、D、B為頂點的三角形相似？

師：題中的條件是什么？結論是什么？想得到這樣的結論還缺少什么條件？請同學們小組交流、討論.

小組代表分享本組探究交流成果后，教師利用幾何畫板動態演示兩種可能的圖形，規范解題過程.

師：請同學們回顧本題探究和解答過程，你有什么收獲？

生：象這題用文字語言描述兩個三角形相似，對應關系是不明確的，解題時要分類討論.

3.4 課堂小結，分層作業

師：請同學們靜思一下，想一想這節課我們學習了哪些知識？

生：我學會了直角三角形相似的特殊判定方法.

師：在探究判定方法的過程中你有哪些新的收獲？

生1：我們可以通過“探究、發現、猜想、證明”這樣的方法獲得新的數學定理.

生2：我們是類比直角三角形全等來探究相似的，還用到了設k法來證明直角三角形相似的判定方法.

分層作業

必做題：課本第85頁習題22.2 第4、6、7題.

選做題：請嘗試用其他方法證明直角三角形相似的判定定理.

4 教學反思

4.1 巧設問題，誘發學生思考

章建躍博士曾說過，教師提問的質量決定了教學的質量，而問題的質量主要體現在“啟發度”的把握上，我在設計課堂導入時，通過一系列問題串，從一般三角形相似到直角三角形相似，再從直角三角形全等到直角三角形相似，讓學生體會事物之間從一般到特殊，從特殊到一般的關系，為本節課從特殊的直角三角形相似到一般的直角三角形相似的探究過程埋下伏筆.同時，學生在探究例題的過程中，教師適時設問和追問，引導學生多角度思考問題，使學生在問題的驅動下產生進一步求知的欲望.

4.2 多樣探究，體現學生主體

學生是課堂的主體，是課堂活動的實踐者，在教學過程中要發揮學生的主體作用，讓他們去思考，去實踐，去交流，去總結，去分享，親身經歷的才能印象深刻，自己總結的才會成為經驗.本節課的探究活動從具體的例子開始，問題淺顯易懂，適合學生已有認知，因此采用學生自主探究的方式進行.而直角三角形相似的判定方法的證明，學生可能對通過“設k法”尋找證明思路，以及對代數證法這種重要的思想方法的理解有困難，所以這里采用了師生合作探究的形式. 練習及其變式的設置既讓學生體會到對應的重要性，又為解決例題積累了經驗，因而例題采用了小組合作探究的方式.通過學生自主探究、師生合作探究、小組合作探究等多樣的探究形式，發揮學生的主體作用，充分分析和估計學生的最近發展區范圍，由易到難，把學生的思維逐步引入深處.

4.3 善于追問，重視思想方法

在數學教學中滲透數學思想方法，有助于學生形成正確的認知結構，有利于教師高起點的分析解讀教材.本節課的教學中，不僅教給學生直角三角形相似的判定方法，而且在每個問題探究結束后，教師都及時追問，提升探究問題的深度和廣度，引導學生開展解題分析，不斷看透本質，抽絲剝繭，拋開題目對數字的非本質依賴，從特殊走向一般，從“一個”發現“一類”，形成具有一般性規律的結論，發現解決問題的一般途徑，讓學生體會類比、代數證法、數形結合、分類討論、從特殊到一般等重要的數學思想方法.

4.4 現代信息技術的合理應用

本節課恰到好處地將現代信息技術與數學學科整合，教學中用展臺投影展示學生的解題過程，用PPT課件展示探究問題、例題、練習、作業等，而將教學的知識重點留在傳統的板書上，使傳統板書與教學課件優勢互補，省下很多的板書時間，讓學生有更多的時間去思考、交流，提高了課堂的教學容量和效率.用幾何畫板動態演示例題的兩種分類，形象直觀，易于理解，既讓學生感受到數形結合、分類討論的思想，也突破了例題的教學難度.

4.5 教學中的遺憾

在學生猜想直角三角形相似的判定方法時，語言表述的不夠規范，為了順利完成課堂教學，我直接糾正了學生的說法，沒能及時引導學生進行自我反思.課堂教學是一個開放的、不斷生成的過程，教學中應重視課堂生成，并合理、有效地運用生成，才能給課堂教學帶來精彩.其實，學生的回答即使是錯的，教師也要耐心傾聽，并給予激勵性評析，這樣既可以幫助學生糾正錯誤認識，又可以激勵學生積極思考，激發學生的求異思維.

直角三角形相似的判定方法有多種證明方法，教材選用“設k法”這種代數證法進行證明，由于受到課堂教學時間的限制，我采用了師生合作探究的方式來完成這一教學環節，學生的思維被教師設置的問題所牽制，沒能嘗試從不同的角度尋求解決問題的方法，沒能體現出學生思維的多樣性.

5 我的一些疑惑

直角三角形相似的判定，在有些版本的教材中并沒有將其單獨作為判定定理來進行編排，滬科版教材中也沒有標注這是一條判定定理，而只是注明這是直角三角形相似的判定依據.馬鞍山市教育科學研究院劉義杰主任在課后點評時提出一個問題，既然一般三角形相似的判定方法都可以用來解決直角三角形相似的判定，那么我們有沒有必要研究它的特殊判定方法呢？我想，作為一線教師是否應該更深入地研究教材、思考教材，從一般三角形相似的判定定理到直角三角形相似的判定方法，正是體現了從一般到特殊的數學思想，而判定條件的弱化和減少，也體現了數學的簡潔之美.

教材例題中有這樣一句表述“問當BD與a、b滿足怎樣的函數表達式時”.函數關系是兩個變量之間的關系，而本題中a、b是已知量，只有BD一個未知量，能不能稱為函數表達式呢？在教學中我將這句話改為“問當BD與a、b滿足怎樣的關系式時”，不知是否得當？

6 結束語

在探究、發現、猜想、交流中獲得對數學學習的興趣，促進學生數學思維能力的提高，數學教學需要關注知識的來龍去脈、前后聯系、蘊含的思想方法，因此教師一定要精心設計好教學探究流程，突出學生主體，注重課堂生成，讓學生在探究中體驗成功，領悟數學思想方法，使數學課堂煥發出勃勃生機.相信通過這樣的評比展示活動，不斷地反思和改進，所有參賽和觀摩的教師把握、處理教材的能力都會有明顯的提升.