培養數學閱讀方式的教學實踐創新

淮北師范大學數學科學學院 (郵編：235000)

在教師必須完成某些數學施教任務時，學習者總是需要具備某些數學技能、知識、觀念、思想、理論、經驗等的前提條件，當這些前提條件不能充分滿足時，學習者個體就必須要進行額外的學習，使這些前提條件得到滿足，才能完成目前所需要完成的這項新的學習任務.學習的途徑很多，如果從獨立完成學習任務的視角上看，主體最常選擇的途徑就是查找與閱讀相關的學習材料，這就需要進行閱讀.因此，數學閱讀素養構成了學習者發生其他素養的基礎條件.從這個意義上來說，數學閱讀素養就是學生學習數學的最為重要、最為基礎的核心素養之一.當主體具備了數學閱讀素養，其他核心素養就可以由主體自己獨立地發展起來.伴隨著這一過程，數學閱讀核心素養可以迅速地轉化為學習者學習數學的其他多方面的能力，或者為這些數學能力的產生與完善提供必要的支持.

1 數學閱讀特點

眾所周知，學科內容差別的最為重要的標識，就是學科共同體正在使用的語言(或者是語言的內涵)的不同.學科語言的不同決定了不同學科學習方式也不同，因此，學科語言學習組成了學習活動的最為基礎的部分.閱讀總是學習活動的基礎中的基礎，學習材料的性質決定了學習者閱讀活動的類型、方法與方式.學習數學材料時的閱讀活動不同于學習文史哲材料時的閱讀活動，數學知識的(精確性、結構性、嚴謹性、邏輯性等)特點，所決定了閱讀者需要具備精確、條理、靈活、精力集中與盈科而后進[注]注：語出孟子的《離婁篇》.原文為“原泉混混,不舍晝夜,盈科而后進,放乎四海.”盈，是充滿，“科”通“窠”，指坑洼，盈科而后進的意思是，水流動時，總是要把前面的坑洼填滿了，才能繼續前進.本研究使用這個概念，指學生學習具有某種特點的數學知識時，組成這個知識的前在要素必須要得到完全的滿足，才能在學習者的心理上產生新的數學知識.等心理特點的要求；在閱讀文史哲的相關材料時，學習者主要是吸收材料中所內含的核心思想的過程，可以不注意材料中的某些細節，也無需“盈科而后進”的要求，可以不按照文章所表達的順序閱讀，還可以跳讀，或只注意文章的某些主題句甚至幾個關鍵詞.

表達數學知識的要素，除了我們所習慣使用的母語語言，還有符號語言、圖形語言、圖表語言，它們共同組織成了數學知識.因此，在閱讀數學材料時，學習者必須理解這段材料中的每個數學術語、每個數學符號的精確含義.每個數學符號的一義性，決定了母語語言在數學知識中的使用也必須形成嚴格的一義性，不能產生任何歧義，沒有含蓄、猜測、推測與想象的余地，這是數學語言所形成的數學知識的特點.當閱讀者試圖通過閱讀理解一個數學概念、數學原理，或要看懂一個解題過程時，學習者不能忽視任何一個數學術語、符號或圖形，更不用說數學概念與原理了，否則，他就不可能準確地理解這個概念、原理或掌握這個已經解決了的問題，在數學的學習中就不能繼續前進.

要想通過獨立閱讀的方式理解書面數學材料，學習者必須集中精力.如果學習者對自己所閱讀的數學材料不感興趣，或者他無心思、無毅力閱讀，就不可能認識這段書面材料的順序、結構與組織性，就不可能揭示出數學語言材料中的數學思想、觀念更不可能把這種思想觀念轉化為數學才能和技能.因為隨后而來的新的數學事實、概念與原理等，通常都是以先前的數學對象(符號、概念、原理等)為素材加以闡述與說明(盈科而后進)的，如此，學習者心智中的錯誤的、似是而非的或具有缺失的材料(事實、概念、原理或母語中語義分歧等)，就可能導致學習者的闡述混亂和理解上的缺陷，致使新的閱讀活動難以為繼.

學習者數學閱讀技能欠缺的原因，一方面，可以追溯到他們對先前的學習內容在某些方面的忽略與錯誤理解；另一方面，學習者數學閱讀難點就是理解各個數學分支中的許多事實、技能、概念與原理之間所生成的復雜關系.如有些學生試圖把數學內容當做互相獨立的事實與技能去記住，他們就不能理解對若干個數學對象的分析、綜合和組織所形成的數學表達.那么，作為數學教師，如何在自己的數學教學過程中，促進學生形成數學閱讀技能、掌握數學閱讀方法、獲得數學閱讀能力呢？首先要培養學生適應不同的閱讀材料，而并不僅限于數學教科書.本研究就是據此展開.

2 數學閱讀方式

《現代漢語詞典》(第五版)在第353頁中將“方式”一詞釋義為“說話做事所采取的方法與形式”.由此，我們可以界定數學閱讀方式這個概念，指的是數學閱讀所采取的方法與形式.學習者要完成任何一項具有一定難度的學習任務，都必須要講究方式、策略與方法.學習者要想在數學學習中取得好的成績，就要講究數學學習方式，其中閱讀數學教科書的方式就構成了學好數學活動基礎中的基礎，這是無庸置疑的，因為任何想要學好數學學科的學習者，總是無法繞過獨立閱讀這種途徑.那么，數學教師在教學過程中，如何培養學生良好的閱讀數學教科書的方式和習慣呢？

2.1 數學閱讀的領悟性方式

在學生閱讀數學教科書而產生一個數學問題時，他從思考到解決往往需要經由思維活動過程中復雜的分析、綜合、歸納、演繹、想象、猜想、抽象與概括等加工過程，盡管這些過程所需要的時間不等，但這個過程中的某些關鍵性環節是不可逾越的(盈科而后進).然而，一旦學生有了領悟能力，對閱讀文本中的字面意義的辨別、判斷就可以無須經過每一個環節而往往只需要在感知活動中將儲存在大腦智囊神經化學網絡中相關概念、定理和性質、解題思路與所要學習的新內容比較一下便能直接作出判斷了.其中的分析等心智加工的過程是具有個性化的，因為，每個人頭腦中的相關知識量、學習經驗、閱讀體驗等是不相同的，所以在學生群體中必然會出現感覺與推理等領悟能力不同的格局、層次與水平.

閱讀數學教科書的領悟性方式的重要價值在于，求異之心有助于從平常的現象中產生出不平常的關系，從似乎是無所作為的平淡的信息中發掘出意想不到的新知識.因此，領悟性具有化腐朽為神奇的力量.記得研究者1985年第二輪教學“數軸”概念時，首先要求學生閱讀這一節課的內容，然后準備使用“溫度計”演示，采用類比的手段幫助學生理解“數軸”概念.然而，當學生的閱讀活動一結束，研究者向學生提出了一個問題，你對“數軸”概念有什么認識？有一名名叫金澤濤(1991年考入了當時的“華東冶金學院”，現在的“安徽工業大學”)的同學說，“‘數軸’概念是為了表示所有的有理數的而構造出來的一種工具，因此，就是要考慮用一條直線上的點表示所有有理數所需要附加的一些條件，我通過閱讀發現，只要有‘原點’、‘正方向’與‘單位長度’這三個要素就可以達成這種目的了.”

他的這句話就是通過閱讀教科書而產生的對“數軸”概念的深層次領悟，它不依靠現象性的“溫度計”的類比，而是直接地深入到了“數軸”概念的本質.這種領悟啟發了教師對這個知識點結構的深層次領悟這種領悟形成了教師后來“數軸”概念教學的經典設計，現將這種設計的關鍵步驟實錄如下：

師：有理數組成：負有理數；零；正有理數(板書).

師：(初始問題)可以用一直線上的點表示有理數嗎？

圖1

生1：負數、正數都無限多，零只一個，因此，可以首先在MN上任取一點O，規定它表示零(如圖1).

師：如此，點O將直線MN分成三部分，自身表示0，稱點O為“原點”.于是，負、正數該由射線OM，或射線ON(除端點O)上的點來表示.究竟哪一條射線上的點表示負數，哪一條射線上的點表示正數呢？(學生想出許多區分方案)

師：這些方案中，那種更簡單、更實用？

生：用箭頭！

師：在圖1的直線MN上，畫一個箭頭.規定，用具有箭頭的射線上的點表示正數，反之，表示負數.稱箭頭為“正方向”(如圖3).

圖2

師：在圖2中表示有理數+2？(兩個同學各自選擇不同的點A和點B表示+2.如圖3)

圖3

師：哪一個才是表示+2的點？(學生決定用一把“尺子”來裁決，以原點O為起點，在具有正方向的那條射線上次第量兩尺，規定“尺子”落腳的終點C為表示+2的點.如圖4)

圖4

師：“尺子”是一個度量長度的“單位”，稱之為“單位長度”.

師(板書)：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫數軸[1].

閱讀數學教科書的領悟性方式對于教師的施教與學生的學習都提出了極高的要求.其一，學生需要具有反常規的獨創，經由這種獨創，透視從教科書呈示的現象性知識過渡到結構性的本質，這種領悟的心理活動建于舊有的模糊意識，在與傳統的思維方式作斗爭的過程中成長起來.在此過程中，要勇于克服思維的消極定勢、自信心不足的不利因素；其二，形象地說，學生閱讀教科書的領悟性方式表現為懸置自己舊有的思維經驗，在一片空白的空間中翱翔自己思維的翅膀，從而具有居高臨下，一覽眾山小的思維格局與氣勢.這是教師在教學過程中要特別注意的地方.

2.2 數學閱讀的釋疑性方式

學生在閱讀數學教科書時，由于閱讀經驗不足，閱讀技能、閱讀方法與閱讀能力等都是處在形成過程中，他們不能輕易地深入到教科書所呈示的文字的本質結構(如“數軸”概念所顯示的)，經常出現分不清輕重緩急、眉毛胡子一把抓，撿到芝麻、丟了西瓜的現象，往往對關鍵性的數學事實、數學概念與數學原理所組成的結構關系有所忽視，此時，教師就要在這些關鍵環節處，精心設計教學活動過程，有針對性地促使學生注意，這對培養學生組織零碎的數學材料，從而生成數學知識結構，對形成數學的言之有據的理性精神具有十分重要的作用.看研究者自己的一個教學中的例子.

例1(教科書上的例2[2])解方程組

師：如何解這個方程組？

生5：由⑤，得x=13-4y.

⑥

把⑥代入④，得2(13-4y)+3y=16，-5y=-10，y=2.

把y=2代入⑥，化簡得x=5.

師：“把⑥代入④”為什么可以實現呢？

生6：這是“代入消元法”所規定了的.

師：聽清楚我的問題，我所問的正是“代入消元法”為什么可以實現？

生：……

師：在教科書引言中(第99-103頁[2])的“雞兔同籠”問題中，是怎樣實現“代入消元法”與“加減消元法”的？

生7：那里，所設的x與y是分別指那個問題中的兔數與雞數，于是，兩個方程中的x是同一個數，y也是指同一個數，因此，可以使用“代入消元法”與“加減消元法”.例1這個方程組卻沒有說明方程④與方程⑤中的x與y分別是指同一個數，……

師：生7同學的分析非常有道理.因此，大家如此使用“代入消元法”與“加減消元法”求解這個方程組的解就成問題了，在這道沒有了實際意義的抽象方程組中，x與y還一定指的是同一個數嗎？這已經沒有了依據，因此，它失去了邏輯的起點.怎么辦？

生：……

師：書到用時方恨少，事非經過不知難.大家閱讀第一節“認識二元一次方程組”[2](103-105)這幾頁的教學內容，看看可否找到解決這個問題的依據？

生8：我看到了“適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的解；……二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解”[2](105).所謂“公共解”就是相同的解，因此，這兩個方程的解就是相等的了，于是，由定義的規定，我們知道，方程組中的兩個方程的相同的未知數的值是相同的，因而，可以使用“代入消元法”與“加減消元法”來求方程組的解.

學生在解二元一次方程組使用“代入消元法”與“加減消元法”時，學生往往只注意到了具體的求解二元一次方程組的具體方法，而沒有意識到這種方法的來源及其方法產生的內在邏輯性，這就造成了巨大的教學損失，教師要明確地認識到，這只是憑依實物的數據特點進行的課堂教學活動，它培養學生的只是一種實用性的思維的層次，課堂教學的更為重要的目的，就是要將這種實用性思維層次上升到理性思維的層次，這就要避免用雞兔的具體頭與腳的具體數字的(相同)特點作為產生“代入消元法”“加減消元法”的解決問題的方法的依據，它只能構成具體的實物性的邏輯起點，數學的本質旨在規定解決問題的一般性的依據，從而構成抽象性的邏輯起點，這就要“二元一次方程組的解”這個核心概念，以此構成了求解二元一次方程組的解的抽象的邏輯起點.[3]

2.3 數學閱讀的批判性方式

閱讀數學教科書時，伴隨著閱讀活動過程，往往在學習者的思維中需要進行一系列質疑與批判活動，其一，對學習內容(教科書的呈示)具體體現于對教科書所呈示的教學內容的可靠性展開質疑與批判；其二，對學習的思維活動自身，即運用自己的經驗理解或領悟學習內容活動時自己的理解途徑或形成經驗過程本身展開質疑與批判等.看研究者在教學中所遇到的一個教學中的例子.

當研究者在課堂上要求學生閱讀完這段文字，詢問他們對此有什么感受時，不少學生說，這段敘述明白無誤，有一個二次根式，相應地就會產生一個有理化因式；當研究者追問，你是怎樣理解的？有學生回答，我們過去學習過了“互為倒數”，“互為相反數”，形成了具體的這一類型問題的學習經驗，在面對“有理化因式”概念時可以運用理解“互為倒數”，“互為相反數”的經驗，于是，認為一個二次根式的“有理化因式”也是唯一的.但是，當研究者教科書為什么要想大家提出“你認為有理化因式是唯一的嗎？”這個問題呢？此時，有同學發現了一個二次根式的有理化因式不唯一，并且舉出了合適的例子，加以說明.研究者在課堂上進一步追問，如果教科書不提出“你認為有理化因式是唯一的嗎？”時，你也能自己提出這樣的問題嗎？幾乎所有的學生都承認，想不到提出這樣的問題.

閱讀數學教科書時，一方面，萌生出對教科書常規呈現的教學內容的質疑，從而做到不盲從教科書，不迷信專家，實現學生自己閱讀與思維活動的創造性；另一方面，從司空見慣的現象中深入到它的本質，進而改造自己已經形成了學習經驗，完善自己思維的監控系統，完善自己的認知結構，從而為完備自己的認識活動及其產生的認識成果.在這兩個方面，批判性方式閱讀都可以發揮獨到的作用，因此，批判性方式是非常重要，這對學生個體獨到性地理解具有具體結構的數學知識，發現知識間的難以揭示出的關系，奠定了基礎.但是，由于培養學生的批判性閱讀方式確實不是一件容易的事情，所以教師必須要仔細地檢視教學內容，不放過培養學生批判性閱讀的點滴機會，只有這樣，才能實踐教學目標.

3 簡要結語

俄爾(R. Earle)指出，“大多數專業人員一致同意，認為任何一門學科領域中的閱讀，不能、也不應當與該領域中的概念發展分割開來.”[5]俄爾的論述雖然只是針對所有學科的概念學習這個部分而言的，但是它對于數學學科中的數學事實與數學原理的發展也是適用的，試想，學生在課堂上聽教師講課的時間畢竟是少而又少的，絕大部分的數學學習活動都繞不過學生通過自己的數學閱讀(例如，預習、做作業時查閱教科書與輔導書等，必須要經過)這一基本途徑來完成的.具有數學閱讀素養的學習者通過獨立的數學閱讀，可以接受數學事實，形成數學概念，理解數學原理，萌發數學技能，吸收數學思想，窺視數學方法；并為從這些內容的閱讀學習中轉化為數學能力提供基礎.研究者的親身實踐證明，在數學教學過程中，依據具體閱讀方式，培養學生閱讀教科書的能力，可以獲得良好的效果.