變剛度Winkler地基上受壓非均質矩形板的自由振動與屈曲特性

滕兆春， 衡亞洲， 崔 盼， 劉 露

(1. 蘭州理工大學 理學院， 蘭州 730050； 2. 江蘇興達鋼簾線股份有限公司, 江蘇 興化 225721)

彈性地基上新型材料矩形板的靜、動力學特性的研究在工程領域有十分重要的意義和廣泛的應用背景。工程實際中常見的彈性地基雖然大都是均勻的，但也會遇到非均勻彈性地基的情況，例如建筑物的彈性地基變剛度調平設計、復合地基中的筏板基礎和含填充物的彈性地基等。功能梯度材料(Functionally Graded Material，FGM)作為一種新型非均質先進復合材料[1]，對其研究如今已由最初的耐高溫高熱和應力緩和型材料逐漸擴大到機械、電子信息、航空航天、核工業、光學器件、生物、汽車以及土木工程等領域。目前的研究多集中在材料參數沿厚度方向變化的情況，給出了FGM結構在彎曲、振動、屈曲以及斷裂等方面的響應，而對FGM板剛度面內變化的研究則很少[2-4]。求解非均質材料矩形板自由振動和屈曲問題的方法雖然較多，如有限單元法[5]、微分求積法[6-7]、樣條法[8]、里茲法[9]、辛彈性方法[2]等，但是這些方法中有些需要較多的網格和和較大的前處理工作量以及計算量才能達到需要的精度，有的方法往往又需要繁瑣的公式推導和較多的邊界條件限制，給求解帶來不便。

微分變換法(Differential Transform Method, DTM)是一種能有效將線性或非線性微分方程(組)變換成代數方程(組)求解的半解析方法[10]，最初被用來對電路中問題的分析[11]，近年來DTM也逐漸用于結構的靜、動力學響應求解[12-21]，求解過程編程簡單且具有較高的計算精度，所得結果完全能滿足工程方面的要求。在DTM應用中，Lal等[22]采用DTM求解了軸對稱功能梯度材料(FGM)圓板的無量綱固有頻率和臨界屈曲載荷，給出了與頻率對應的前三階振型。Shariyat等[23]采用DTM求解了雙參數彈性地基上雙向功能梯度材料圓板的自由振動和模態應力問題，給出了不同邊界下受材料性質和地基剛度系數影響的固有頻率和模態應力。Kumar[24-25]基于經典薄板理論，采用DTM分別分析了Winkler彈性地基上各向同性矩形板和Winkler彈性地基上晶體矩形板的自由振動，得出了不同邊界下的前三階無量綱固有頻率和相應的振型。Semnani等[26]基于經典薄板理論，采用DTM分析了四邊簡支和四邊固定邊界下各向同性變厚度矩形板的自由振動，研究了此方法對求解自振頻率的收斂性，得出了等厚度板前八階固有頻率和變厚度板的基頻。Mukhtar[27]基于精細板理論，采用DTM和Talyor配置法分析了正交各向異性矩形板的自由振動，驗證了DTM和Talyor配置法求解自振頻率的結果一致。目前，用DTM分析變剛度彈性地基上受壓非均質材料矩形板的振動和屈曲問題的研究，在國內外仍然鮮見有文獻報道。

本工作假設彈性地基剛度系數、矩形板的彈性模量和密度沿板的長度方向呈指數變化，基于經典薄板理論，通過Hamilton原理建立變剛度Winkler地基上受壓非均質矩形板自由振動與屈曲問題的控制微分方程并進行無量綱化，采用DTM再將無量綱控制微分方程及其邊界條件變換為等價的代數方程，對變剛度Winkler地基上受壓非均質矩形板的自由振動和屈曲特性展開研究。

1 控制微分方程及參數的無量綱化

考慮一各向同性非均質矩形薄板，建立如圖1所示的笛卡爾坐標系。板的尺寸為a×b×h且受到垂直于y軸截面上的法向力Ny，將其放置在變剛度Winkler彈性地基上，這里k表示Winkler地基剛度系數。y=0和y=b處為簡支邊界(S)，其它兩邊邊界條件則為簡支(S)、固定(C)或自由(F)任意組合。下面在對矩形板四個直邊的邊界條件表示中，均按x=0、y=b、x=a和y=0處的次序給出。

圖1 變剛度Winkler彈性地基上受壓非均質矩形板的幾何

Fig.1 Geometry and coordinates of a compressed non-homogeneous rectangular plate resting on Winkler elastic foundation with variable stiffness

假設矩形板材料的彈性模量E、密度ρ和地基剛度系數k只沿x方向呈指數梯度變化，即

(1)

式中：E0、ρ0、k0分別為x=0處的彈性模量、密度和地基剛度系數；μ、β、α分別為彈性模量變化參數、密度變化參數和地基剛度變化參數。

這里僅考慮系統的橫向位移而忽略縱向位移，由薄板振動理論，非均質矩形板橫向運動時的應變能U、動能T和外力引起的勢能V分別可表示如下

(w,yy)2+2(1-ν)(w,xy)2]dxdy

(2)

(3)

(4)

式中：D=Eh3/12(1-ν2)為板的彎曲剛度；ν為泊松比；Ny=-N0(1-γx/a)，N0為x=0處的壓力強度；γ為載荷變化參數；w(x,y,t)為板的橫向位移，t為時間。

Hamiltion原理表示如下

(5)

將式(2)～(4)代入式(5)，則變剛度Winkler地基上受壓非均質矩形板橫向運動的控制微分方程為

D(w,xxxx+2w,xxyy+w,yyyy)+2D,x(w,xxx+w,xyy)+

D,xx(w,xx+vw,yy)-Nyw,yy+kw+ρhw,tt=0

(6)

假設矩形板作簡諧振動，橫向位移w(x,y,t)可表示為

(7)

A0W″″+A1W?+A2W″+A3W′+A4W=0

(8)

式中：

A0=1，A1=2μ，A2=μ2-2λ2，A3=-2μλ2，

λ=mπa/b，K=a(1-ν2)k0/E0，

至于在X=0和X=1處的邊界條件，其無量綱形式可分別表示如下

簡支(S)：

(9)

固定(C)：

(10)

自由(F)：

(11)

2 控制微分方程及其邊界條件的DTM變換

式(8)表示的變剛度Winkler地基上受壓非均質矩形板橫向自由振動的無量綱控制微分方程為變系數常微分方程，結合邊界條件求其解析解較為困難，這里采用微分變換法(DTM)求解固有頻率、振型以及屈曲臨界載荷。DTM基于Taylor級數展開來求解微分方程，使用充分可微的多項式形式作為精確解的近似。經DTM變換，可將原微分方程(組)和系統邊界條件轉化為由離散函數構成的的代數方程(組)，非常適合計算機編程進行求解。對于原函數f(x)，根據函數的Taylor公式，經過DTM變換后的函數Fk定義為[10]

(12)

式(12)稱為函數f(x)為x=x0時的微分變換的正變換式，Fk稱為f(x)的微分變換形式。

設函數f(x)能展開為Talyor級數且收斂，則微分變換式可變換成原函數，其變換式為

(13)

式(13)稱為微分變換的反變換形式。由式(12)和式(13)可得

(14)

由式(14)可知，微分變換法基于Talyor級數展開式，但DTM不需要進行函數各階導數的求解。實際應用中，f(x)通過有限的級數表示，式(13)可改寫為：

(15)

當X0=0時，式(8)由DTM變換為等價的代數方程形式如下：

(16)

(17)

(λ2μ/12)c1+[(2λ2-μ2)/12]c2-(μ/2)c3，

4λ2μ2-λ4+Ω2+λ2μ2ν)/120-

K/10H3]c1+[-(λ2μ+μ3)/30]c2-(μ/2)c3，

…，

(18)

這里，S0，S1，S2，S3是式(16)和(17)通過迭代r次而得到關于c0，c1，c2，c3的系數，c0，c1，c2，c3為待求的未知量。邊界條件由DTM變換如下：

在X=0處，

簡支(S)邊界條件：

(19)

固定(C)邊界條件：

(20)

自由(F)邊界條件：

(21)

在X=1處，

簡支(S)邊界條件：

(22)

固定(C)邊界條件：

(23)

自由(F)邊界條件：

(24)

(25)

(26)

令無量綱固有頻率Ωmn=0，給定參數可以求出各階屈曲載荷Ncr。Ncr的求解過程類似于Ωmn的求解過程，同理可得

(27)

在對邊簡支對邊固定(CSCS)、一邊固定三邊簡支(CSSS)邊界條件下，同理可求出含有未知量無量綱固有頻率Ωmn以及屈曲載荷Ncr特征方程：

(28)

(29)

在FSSS、FSCS、FSFS邊界條件下，同理可得：

(30)

(31)

由式(26)～(31)，SSSS、SSCS、SSFS、CSSS、CSCS、CSFS、FSSS、FSCS、FSFS邊界條件下的無量綱固有頻率Ωmn和屈曲載荷Ncr可求出。為控制Ωmn和Ncr的精度，計算要求滿足

(32)

式中：η1、η2為給定的迭代誤差限，后面計算中均取η1=η2=0.000 001。

3 計算結果及分析

表1為a/b=1，K=0，N0=0，ν=0.3時SSSS邊界條件下變剛度板前六階無量綱固有頻率Ωmn，并與何建璋等的辛彈性方法(精確解)進行對比，結果吻合。表1結果表明：采用DTM求解矩形板的自由振動與屈曲問題具有精度高、適用性強的特點。

表1 SSSS邊界條件下變剛度方板自振前六階無量綱固有頻率Ωmn

表2 不同邊界條件下變剛度Winkler地基上受壓非均質方板的無量綱屈曲臨界載荷

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

(a)

(b)

(c)

11振型(Ω11=26.872 3) 21振型(Ω21=44.119 9)

31振型(Ω31=79.575 8)

11振型(Ω11=31.490 7) 21振型(Ω21=58.041 1)

31振型(Ω31=35.972 2)

11振型(Ω11=22.456 2)21振型(Ω21=25.752 7)

31振型(Ω31=35.972 2)

Fig.8 The first three modes for compressed non-homogeneous rectangular plates resting on Winkler foundations with variable stiffness for SSSS, CSCS and FSFS boundary conditions

4 結 論

(4) 本文采用DTM求解變剛度Winkler地基上受壓非均質矩形板的自由振動與屈曲問題原理簡單，易于編程，具有較高的計算精度，從而為求解此類問題提供了一種可供選擇的簡便有效方法。