曲線軌道參數對鋼軌振動衰減率的影響研究

劉衛豐， 杜林林， 劉維寧

(北京交通大學 土木建筑工程學院， 北京 100044)

鐵路交通和城市軌道交通在方便居民出行的同時，也存在一些環境影響問題，最主要的問題之一就是列車運行引起的振動與噪聲影響。其中，輪軌噪聲和車內噪聲是最主要的噪聲影響之一。尤其是在曲線軌道地段，列車運行引起的振動與噪聲往往要比直線地段要大。而且，曲線軌道的輪軌相互作用比直線軌道復雜得多，也會產生多種軌道振動與噪聲問題，例如鋼軌波磨、曲線嘯叫等[1-3]。

鋼軌振動衰減率是一個重要的鋼軌動態參數，定義為：鋼軌振動沿鋼軌縱向能量(振幅)傳遞的變化率，以dB/m為單位，它反映了在某種軌道結構中，鋼軌振動沿縱向的綜合衰減能力，分為豎向振動衰減率和橫向振動衰減率[4]。它已成為評判軌道聲學特性的一個重要指標，是鋼軌的有效聲輻射長度的重要控制指標。當鋼軌振動幅值一定時，衰減率越大，振動沿鋼軌縱向衰減越快，鋼軌的聲功率也越低。另外，它可以用來表示軌道結構的阻尼特定，即在某些頻段內抑制鋼軌振動的能力。鋼軌振動衰減率越大，說明軌道系統的阻尼越大。如果鋼軌振動衰減率過低(小于0.1 dB/m)，表示鋼軌有脫離扣件約束進行自由振動的趨勢。鋼軌振動過大可能引發和加劇波磨損害，嚴重時可能會使扣件松脫及彈條斷裂，例如，北京地鐵4號線、5號線、10號線等線路上剪切型軌道減振器上出現的鋼軌波磨問題就符合這樣的特征[5-7]。國外學者對鋼軌振動衰減率進行了一系列研究，主要研究了鋼軌振動衰減率的工程意義、測試方法、影響因素等[8-9]。另外，鋼軌振動衰減率也作為衡量鋼軌阻尼器減振和降噪效果的重要指標[10-12]。

對于曲線軌道的研究，近年來國內外學者已經開展了一些工作。Kostovasilis等[13]利用一個曲線軌道有限元模型比較了曲梁單元和直梁單元在計算曲線軌道動力響應上的差異。在另外一篇論文中，Kostovasilis等[14]建立了一個考慮豎向/橫向相互作用的曲線軌道動力解析模型，并討論了曲線軌道的豎向/橫向耦合效應問題。Ang等[15]采用三角函數逼近法推導了移動荷載作用下黏彈性地基上的曲線軌道動力響應的解析解。李克飛等[16-18]基于Duhamel積分和動力互等定理推導了移動荷載作用下曲線Timoshenko梁平面外振動響應的解析解。Zhang等[19]在李克飛的研究基礎上，通過引入了車輛模型計算了移動列車引起的軌道的動力響應。

通常，鐵路軌道的鋼軌被軌枕或扣件周期性離散支承，所以許多學者都把周期性的概念引入到軌道的動力模型中。例如Gry等[20]基于梁的廣義橫截面位移法提出一個周期性鐵路軌道模型并分析了此模型的適用性。Sheng等[21-22]把鋼軌考慮為無限長周期性Euler梁，推導了在固定荷載作用下鋼軌動力響應的解析解。Clouteau等[23-25]基于Floquet變換建立了一個周期性軌道-隧道-地層的有限元-邊界元耦合模型，并計算了固定荷載和移動荷載作用下多種軌道、隧道結構以及地層的動力響應。馬龍祥[26]利用無限周期性結構理論推導了地鐵軌道中的普通整體道床軌道和浮置板軌道動力響應的解析解。

上述文獻中的周期性理論均是應用到直線軌道，本文提出一個周期性曲線軌道解析模型，該模型中，鋼軌考慮為曲線Timoshenko梁，支承于周期性離散分布的扣件上。利用此模型，可計算固定諧振荷載作用下鋼軌的振動速度頻響函數，然后據此計算出鋼軌的振動衰減率。并討論了扣件剛度、扣件阻尼、扣件間距和曲線半徑對曲線鋼軌振動衰減率的影響。

1 周期性曲線軌道動力響應推導

本文的曲線Timoshenko梁具有如下假定：① 曲線梁為等截面的勻質梁；② 曲率半徑為常數，梁的橫截面具有豎直的對稱軸；③ 忽略曲線梁的翹曲變形。曲線梁的坐標系符合右手螺旋法則規定，如圖1所示，圖中，R為曲線半徑，ux、uy和uz分別為x,y,z三個方向的位移，φx,φy和φz為繞三個坐標軸的轉角。在曲線鋼軌的軌頭上作用兩個移動的單位諧振荷載eiwFt，速度為v，如圖2所示，圖中C點為鋼軌的形心，S點為鋼軌的剪切中心，扣件的豎向支承和橫向支承作用于軌底上，而扭轉支承作用于剪切中心S點上。由于作用在軌頭B點上的荷載可以等效為一個作用于鋼軌形心C點的橫向荷載(屬于平面內荷載)和一個繞z軸旋轉的力矩荷載h1eiwFt(屬于平面外荷載)，所以在作用于軌頭的橫向荷載作用下，鋼軌將產生平面內和平面外運動，而豎向荷載則只產生平面外運動。根據曲線Timoshenko梁理論，平面外與平面內運動方程是解耦的，式(1)～(3)為頻域內曲線軌道的平面內運動方程[27-28]，分別表示為x軸和z軸方向的平移運動，以及繞y軸的扭轉運動。

(1)

(2)

(3)

式(4)～(6)為頻域內曲線軌道的平面外運動方程[28-29]，分別表示為y軸方向的平移運動，以及繞x軸和z軸的扭轉運動。

(4)

(5)

(6)

圖1 曲線梁坐標系示意圖

由于軌道結構在z軸上可以看作是周期性結構，所以可以將周期性結構理論應用于軌道的運動方程。設無限長的周期性軌道由無限個元組成，每個元都具有相同的性質，任意選擇其中一個元作為基本元，則在移動諧振荷載作用下基本元的位移與其他元的位移具有如下的關系[30-31]：

(7)

(8)

把式(7)代入式(8)，可以得到：

(9)

(10)

式中：ξn=2πn/L，C=(Ux,Φy,Uz,Φx,Uy,Φz)T。則鋼軌的位移可以寫成：

(11)

式(11)可以考慮有限個模態函數，設考慮2N+1個模態函數，并令κ=(ω-ωF)/v，則鋼軌位移可以寫成：

(12)

(13)

ρA(ωF+vκ)2-KxAG*-E*A(ξm-κ)2LUzm-

(14)

ρIy(ωF+vκ)2-KxAG*-E*Iy(ξm-κ)2LΦym+

(15)

(16)

iKyAG*(ξm-κ)LUym=0

(17)

(18)

式中，

(19)

kh·V︵^-N(z︵r1)-1V︵^-N(z︵r2)-1…V︵^-N(z︵rNs)-1V︵^-N+1(z︵r1)-1V︵^-N+1(z︵r2)-1…V︵^-N+1(z︵rNs)-1??…?V︵^+N(z︵r1)-1V︵^+N(z︵r2)-1...V︵^+N(z︵rNs)-1V︵^-N(z︵r1)V︵^-N+1(z︵r1)...V︵^+N(z︵r1)V︵^-N(z︵r2)V︵^-N+1(z︵r2)…V︵^+N(z︵r2)??…?V︵^-N(z︵rNs)V︵^-N+1(z︵rNs)…V︵^+N(z︵rNs)Ux-N Ux(-N+1)?Ux(+N)(20)同理可以計算式(16)和(18)中kv∑Nsj=1V︵^m(z︵rj,κ,ωF)-1V︵^y、kr∑Nsj=1V︵^m(z︵rj,κ,ωF)-1φ︵^z。式(13)～(15)可以歸納為:K︵in(κ,ωF)Uin(κ,ωF)=F︵^in(κ,ωF)(21)式中Uin(κ,ωF)={Ux(-N),…,Ux(+N),Φy(-N),…,Φy(+N),Uz(-N),…,Uz(+M)}T,K︵in(κ,ωF)為廣義剛度矩陣,F︵^in(κ,ωF)為外荷載向量,同理,平面外運動可表示為:K︵out(κ,ωF)Uout(κ,ωF)=F︵^out(κ,ωF)(22)式中Uout(κ,ωF)={Uy(-N),…,Uy(+N),Φx(-N),…,Φx(+N),Φz(-N),…,Φz(+N)}T,外荷載向量可以表示為:F︵^in(κ,ωF)=F'inLeiκz︵?F0/vF︵^out(κ,ωF)=F'outLeiκz︵F0/v (23)這里,F'in的第j個元素為:F'in(j)=1,0,(j=N+1)(j=其他) (24)F'out的第j個元素為:F'out(j)=1,h1,0,j=N+1j=5N+3j=其他(25) 鋼軌上任意一點的動力響應為: u^in(z,κ,ωF)=ei-ncκLB(z,κ,ωF)K︵in(κ,ωF)-1F︵^in(κ,ωF)(26) u^out(z,κ,ωF)=ei-ncκLB(z,κ,ωF)K︵out(κ,ωF)-1F︵^out(κ,ωF)(27)式中為B(z,κ,ωF)模態矩陣。通過Fourier變換,時域內鋼軌上任一點的位移為:u(z,t,ωF)=12π∫+∞-∞u^(z,ω,ωF) eiωtdω=12π∫+∞-∞u^(z,κ,ωF) ei(ωF+vκ)tvdκ= 12π∫+∞-∞Le-iκ(ncL-zF0)B(z,κ,ωF)K︵(κ,ωF)-1F' eivκtdκ eiωFt(28) 令式(28)中的v=0,則由固定諧振荷載引起的鋼軌上的位移為: u(z,t,ωF)= 12π∫+∞-∞Le-iκ(ncL-zF0)B(z,κ,ωF)×K︵(κ,ωF)-1F' dκ eiωFt(29) 式(28)和(29)中,K︵(κ,ωF)可以是K︵in(κ,ωF)或者K︵out(κ,ωF),F'可以是F'in或者F'out。2 鋼軌振動衰減率的計算根據歐洲標準BS EN 15461∶2008+A1∶2010進行[4],鋼軌振動衰減率的計算公式如下:DR≈4.343∑nmaxn=0A(xn)2A(x0)2Δxn(30)