集中沖擊荷載作用下修正Timoshenko梁剪力動載系數研究

曹 振, 馬海英, 周軍勇, 李 徽, 石雪飛

(同濟大學 土木工程學院,上海 200092)

近年來數起車輛撞擊橋墩的事故引發了廣泛關注，2006年9月8日，一輛掛車撞向位于Corsicana附近跨越IH-45跨線橋的橋墩，造成直徑76.2 cm橋墩的破壞[1]；2009年4月17日，湖南郴州市一輛罐車撞上京珠高速一處跨線橋橋墩，2個橋墩被撞斷[2]；2012年6月11日，在Dallas附近一輛卡車撞上Dolphin Road跨越I-30公路跨線橋的橋墩，造成橋墩的剪切開裂[3]。這些事故顯示在車輛撞擊作用下，橋墩產生了剪切破壞。許多文獻也報道了設計為在靜力荷載作用下發生彎曲失效的鋼筋混凝土梁，在落錘沖擊試驗中會發生剪切破壞[4-6]。這是因為撞擊力為沖擊荷載，在橋墩內引起的內力分布與靜力作用下并不相同，故而造成破壞模式的改變。

因剪切破壞為脆性破壞，降低了結構吸收能量的能力，結構設計中往往禁止發生剪切破壞。但各國長期以來采用等效靜力設計法對橋墩進行防撞設計，而等效靜力的確定方法是不確定的，比如：美國AASHTO-LRFD(2012)橋梁設計規范[7]第3.6.5條規定，在沒有足夠防護措施的情況下，橋墩應設計為能夠抵抗2 670 kN的等效靜力；BS EN 1991-1-7[8]規定按道路的類型確定車輛撞擊支撐結構等效靜力設計值，并采用風險評估的方法確定撞擊力調整系數；中國公路橋涵設計通用規范[9]第4.4.3條規定，汽車撞擊力標準值在車輛行駛方向取1 000 kN，在車輛行駛垂直方向取500 kN；El-Tawil等[10]在進行車輛撞擊橋墩的數值模擬時認為持續時間較短的峰值動力荷載不必考慮。這些規范和研究沒有將撞擊力考慮為動力荷載及其在結構構件中引起的動力響應。

為進行構件的抗沖擊設計，需要得到構件位移或內力響應時程曲線的最大值。從工程設計角度，就是要使結構能夠安全度過這一最大值。Biggs[11]提出了動力荷載系數的概念(Dynamic Load Factor, DLF)，剪力動力荷載系數即為動力作用下梁最大動剪力與沖擊峰值荷載作為靜力荷載施加在結構上產生的剪力之比。為求得剪力動力荷載系數，需要求出結構在沖擊荷載作用下的動剪力響應時程曲線。計算結構動力響應的方法有等效單自由度法(Equivalent Single Degree of Freedom,SDOF)，Bernoulli-Euler梁理論和經典Timoshenko梁理論。Biggs求得了單自由度體系在不同沖擊荷載形式下最大動力荷載系數響應譜。等效SDOF系統得到的是構件代表點的響應，求得的內力或支座反力與真實構件存在一定差異[12]。對于沖擊荷載，由于Biggs法沒有考慮高頻高次振型的影響，使得梁中實際作用的動剪力與該方法算出的動剪力有較大的差別，且在集中力沖擊荷載作用下用Biggs法求解支座反力時的誤差較大。為考慮沖擊荷載激發的結構高頻響應和其對內力響應的影響，應采用振型疊加法分析結構的動力響應。Magnusson等[13]采用Bernoulli-Euler梁理論定性的分析了簡支梁在沖擊荷載作用下的早期響應。線彈性梁Bernoulli-Euler受迫振動方程只考慮了彎曲和橫向慣性力，高估了高階模態的自振頻率，在高頻振動下會引起很大的誤差[14]。經典的Timoshenko梁模型考慮了梁的彎曲變形引起的轉動慣量和梁的剪切變形，這兩個量在模態階數越高時影響越顯著[15]。方秦等[16]采用經典Timoshenko梁理論，計算得到了簡支梁在均布和跨中集中沖擊荷載下的剪力動力荷載系數。在此基礎上，錢七虎等[17]提出了抗爆結構動剪力的實用分析方法，該方法只考慮抗爆結構主要承受的均布荷載作用，不考慮集中荷載情況；只考慮簡支梁，不考慮固結梁；所以該方法較粗略。

萬春風[18]在經典Timoshenko梁理論的基礎上，考慮梁的剪切變形所引起的轉動慣量，對經典Timoshenko梁的運動方程進行了修正，修正的Timoshenko梁理論在計算梁自振頻率時更加精確[19]。本文基于修正的Timoshenko梁理論，推導出梁在跨中集中力沖擊荷載下的內力響應計算方法，計算結果與經典Timoshenko梁理論進行比較，證明修正Timoshenko梁理論的優越性，在此基礎上得到跨中集中力沖擊荷載作用下簡支梁和固結梁剪力動力荷載系數，為設計提供方便精確的確定剪力需求的方法。

1 修正Timoshenko求內力響應

圖1 梁跨中受集中力沖擊荷載作用示意圖

Fig.1 Diagram of the concentrated impact load on the midspan of beam

經典Timoshenko梁理論同時考慮了由彎曲引起的轉動慣量和剪切變形，在此基礎上考慮由剪切變形引起的轉動慣量的影響，得到修正Timoshenko梁的運動方程：

(1)

(2)

1.1 修正理論的正交條件

修正Timoshenko梁在自由振動情況下運動方程為

(3)

設第n階振型的位移函數為

yn(x,t)=Yn(x)tn(t)

(4)

將式(4)代入式(3)，得

(5)

同理可得

(6)

式(5)左右兩邊乘以Ym(x)，式(6)左右兩邊乘以Yn(x)，并相減得

(7)

對式(7)在梁長度內進行積分，通過簡支梁或固結梁在跨中受到沖擊荷載作用時的邊界條件可得：

(8)

(9)

1.2 沖擊響應計算

令Timoshenko梁在荷載強迫作用下的位移為：

(10)

式中：Tn(t)為表示第n階振型在總位移中所占比例的關于時間的幅值函數。

代入式(1)和式(2)得

(11)

由式(5)可知：

(12)

將式(12)代入式(11)得

(13)

式(13)兩端乘以Ym(x)并積分，利用正交條件可得

(14)

令Mn、Pn為相應于Timoshenko梁第n階振型的廣義質量和廣義荷載，則

(15)

在均布荷載的情況下

(16)

若荷載為集中荷載P=P0f(t)，其中P0為沖擊荷載的峰值，f(t)為沖擊荷載隨時間變化的函數。則應用Dirac函數積分得

(17)

方程(14)變為

(18)

用Duhamel積分解該微分方程，

(19)

為了求等效質量Mn，需要求振型位移形狀函數Yn(x)，第n階振型的位移形狀函數為

(20)

式中g1，g2，g3和g4都是頻率ω的函數：

(21)

根據邊界條件求出梁的自振頻率ωn和振型形狀函數Yn(x)，將求得的梁的自振振型形狀函數Yn(x)和關于時間的幅值函數Tn(t)代入式(22)計算出梁內剪力響應。

(22)

1.3 荷載形式

本文選取的沖擊荷載為無增長時間的直角三角形荷載和有增長時間的三角形荷載，如圖2所示。在進行防護結構的設計時，爆炸荷載是按照無增長時間的壓力時程曲線考慮的，即當沖擊波到達時刻，超壓幾乎是瞬時達到峰值，無增長時間的直角三角形荷載是一種簡化。在某些情況下集中力沖擊荷載也可以按照直角三角形荷載來考慮，比如曾翔[22]在進行鋼筋混凝土梁的落錘沖擊試驗時得到了沖擊力的時程為持續時間1.5 ms的脈沖荷載，荷載幾乎是瞬時達到最大峰值力，可以認為是無增長時間的三角形荷載，如圖2(a)所示。

Thilakarathna等[23]在進行車輛撞擊橋墩的研究中建議使用等腰三角形荷載，荷載持續時間為100 ms。El-Tawil等[24]進行車輛撞擊橋墩的數值模擬，得到了持續時間約為10 ms的脈沖荷載，荷載形狀也為等腰三角形。Buth等[25]進行了車輛撞擊橋墩的試驗，得到撞擊力時程為等腰三角形脈沖荷載。但是由于車輛構造的不同，車輛的前端剛度也會不同；或當車輛剛性部件如發動機撞擊橋墩時，其荷載可能增長很快，增長時間占總持續時間的比值可能較低[26]。所以有增長時間的三角形荷載，通過ζ值的改變調整增長時間占荷載持時的比值，ζ=0.5時即為等腰三角形荷載，如圖2(b)所示。

(a) 無增長時間三角形荷載(b) 有增長時間三角形荷載

圖2 無增長時間的三角形荷載和有增長時間的三角形荷載

Fig.2 Diagram of triangular impact load with and without increasing time

對于無增長時間的三角形荷載，其荷載變化函數為：

(23)

式中:td為荷載持續時間。

一般三角形荷載變化函數為

(24)

式中:ζ為荷載增長時間與荷載持續時間的比。

1.4 Timoshenko梁經典與修正理論計算結果比較

如圖3所示，對兩端固結梁的支座截面和距離跨中一半梁高截面的剪力動力荷載系數時程曲線進行研究，選取長細比為16.7的A梁和長細比為6.2的B梁，A梁為直徑0.6 m的圓形截面，B梁為高1.4 m，寬0.5 m的矩形截面。取材料密度為ρ=2 600 kg/m3，彈性模量為E=30 GPa。在跨中受到無增長時間三角形集中力沖擊作用，荷載持續時間td分別為15 ms和10 ms。

剪力響應實際上由無窮階振型響應組成，一般計算都是截取前幾階影響較大的階次。首先對計算結果的收斂性予以證明。圖4(a),(b)是A梁和B梁在沖擊荷載作用下，取不同階數振型計算得到的支座截面剪力時程曲線。由圖可以看出，取前3階和前5階振型得到的結果與最終結果仍有差異，取前20階和前50階振型得到的曲線已經重合，說明計算結果收斂。另外，取前20階振型得到的最大剪力比只取前5階和前3階振型時要大，說明高階振型對剪力的影響比較顯著。

圖3 剪力時程選取位置示意圖

圖4(c)～(f)為根據經典Timoshenko梁理論、修正Timoshenko梁理論和ABAQUS實體單元建模計算的結果。由圖可以看出，在梁長細比較大的情況下，經典Timoshenko梁和修正Timoshenko梁計算結果與ABAQUS計算的結果都比較相符。但是梁長細比的較小的時候，經典Timoshenko梁理論計算結果與ABAQUS產生了偏差。如圖4(e)所示，經典理論計算結果表明，在剪切波傳遞到支座之前，支座截面就已經有剪力產生，這與實際情況是不相符的，而且根據剪力DLF時程曲線中得到的最大剪力是偏大的。如圖4(f)所示，經典理論計算得到的距跨中一半梁高位置處的剪力也明顯與ABAQUS計算結果偏差較大。而在梁長細比較小的情況下，根據修正Timoshenko梁理論計算的到的結果與ABAQUS計算結果都符合較好。

2 剪力動力荷載系數

由圖4可以看出，跨中附近剪力DLF要小于支座部位的剪力動力荷載系數，即剪力響應最大值會發生在支座截面，所以本文基于修正Timoshenko梁理論進行簡支梁和固結梁在跨中集中力沖擊荷載作用下的支座截面最大剪力DLF計算。

(a) 取前n階振型算得A梁支座截面剪力時程

(b) 取前n階振型算得B梁支座截面剪力時程

(c) A梁支座截面剪力DLF時程曲線

(d) A梁距跨中一半梁高截面剪力DLF時程曲線

(e) B梁支座截面剪力DLF時程曲線

(f) B梁距跨中一半梁高截面剪力DLF時程曲線

圖4 梁在跨中沖擊荷載作用下剪力DLF時程曲線

Fig.4 DLF Time-history Curve of Shear Force under the Impact of concentrated Impact at midspan

2.1 無增長時間的三角形荷載

圖5為不同長細比固結梁和簡支梁在不同持續時間無增長時間突加三角形沖擊荷載下支座截面剪力動力荷載系數，td/T1為橫坐標，以對數坐標顯示，T1為梁第一階自振周期。由圖可以看出，在無增長時間的三角形荷載作用下：①支座截面最大剪力DLF隨著td/T1的增加而增加；②支座截面最大剪力DLF和長細比并沒有單調關系，即同樣的td/T1，支座截面剪力DLF隨著長細比的增加或減小并不會單調變化；③沖擊位置在跨中時，支座剪力DLF隨著td/T1的增加會趨近與某一個值；④在td/T1很大時，固結梁和簡支梁的支座截面最大剪力DLF都達到了2.5以上，與按照等效單自由度計算得到的最大DLF為2相比，提高了很多；⑤同時可以看出簡支梁支座截面處最大剪力DLF比固結梁的要小。

(a) 固結梁

(b) 簡支梁

2.2 有增長時間的三角形荷載

對于有增長時間的三角形荷載，增長時間所占持續時間td的比值為ζ。不同ζ值的三角形荷載作用于長細比為10的固結梁和長細比為20的簡支梁跨中時，梁端剪力響應最大動力荷載系數,如圖6所示。

由圖6可以看出：①在增長時間較小的情況下，即ζ<0.1時，支座剪力最大DLF隨著td/T1變化的趨勢與無增長時間三角形沖擊荷載作用下的相同；②在增長時間較大的情況下，即ζ>0.1時，隨著td/T1的增長，最大剪力DLF會首先上升，在td/T1=0.8附近達到最大值，之后出現下降的趨勢；③0.1≤ζ<0.3時，固結梁在不同的td/T1下能夠達到的支座最大剪力DLF比簡支梁能夠達到的最大剪力DLF要大，ζ≥0.3時，兩者之間區別不是很明顯；④簡支梁在td/T1<0.5時，不同ζ值的最大剪力DLF是相近的，且DLF隨著td/T1減小會下降，而固結梁在td/T1<0.3時，最大剪力DLF會穩定在1.4附近。由圖6可以看出，在同樣荷載持續時間的情況下，延長荷載的增長時間比例，即提高ζ值，可以顯著降低支座反力的DLF；即在有同樣峰值和同樣沖量的沖擊荷載作用下，增加荷載的增長時間，可以降低最大剪力響應；所以在防撞設計中，通過設置緩沖防撞設施不僅可以增加荷載持續時間，減小荷載峰值，還可以提高荷載增長時間比例，降低最大動剪力響應。

(a) 固結梁

(b) 簡支梁

許多文獻中得到了等腰三角形的車輛撞擊沖擊荷載，所以取ζ=0.5，研究不同長細比的梁在等腰三角形沖擊荷載作用下的最大剪力DLF。圖7為不同長細比的固結梁和簡支梁在跨中受到等腰三角形荷載時的最大剪力動力荷載系數。由圖7可以看出，梁在跨中受到等腰三角形沖擊荷載作用時，隨著td/T1增長，最大剪力DLF會先增長，在td/T1增長到0.8附近是達到最大值；之后開始降低，隨著td/T1的增長，最大剪力DLF仍有起伏，但都小于最大值。固結梁和簡支梁最大剪力DLF值都約為1.9，相對于單自由度體系得到的最大值為1.5，提高到了約27%；在td/T1<0.5時，固結梁跨中受等腰三角形沖擊荷載作用時，隨著梁長細比的減小最大剪力DLF逐漸增大；在td/T1>0.5時不同長細比的梁最大剪力DLF是相等的；對于簡支梁，不同長細比的梁在不同td/T1下，最大剪力DLF都是相等的。

(a) 固結梁

(b) 簡支梁

2.3 最大剪力DLF計算方法

通過以上方法獲得大量數據進行回歸擬合，得到最大剪力DLF的計算公式。固結梁和簡支梁在跨中受到無增長時間三角形沖擊荷載作用下，剪力DLF隨td/T1變化曲線符合增長模型，所以采用增長模型函數進行擬合。在等腰三角形荷載作用下剪力DLF隨td/T1變化采用多項式進行擬合。

固結梁在跨中受到無增長時間三角形沖擊荷載作用下，最大剪力DLF計算公式為式(25)，該公式的相關指數R2=0.985。

(25)

其中

(26)

簡支梁在跨中受到無增長時間三角形沖擊荷載作用下的最大剪力DLF計算公式仍采用式(25)，其他參數按式(27)計算，得到的相關指數R2=0.974。

(27)

固結梁在跨中受到等腰三角形沖擊荷載時，得到的最大剪力DLF計算公式為：

(28)

式中:t1=td/T1≤4，該公式的復判定系數R2=0.924。

簡支梁在跨中受到等腰三角形沖擊荷載作用時，得到最大剪力DLF計算公式為：

(29)

式中:t1=td/T1≤4，該公式的復判定系數為R2=0.89。

在確定受沖擊荷載作用構件的剪力需求時，可根據剪力動力荷載系數確定剪力需求。首先將荷載峰值作為靜力荷載求出跨端最大靜剪力；然后確定結構構件的長細比和第一階自振周期，再根據沖擊荷載形式和持續時間，求得相應的剪力動力系數；最大動剪力即為最大靜剪力乘以剪力動力系數。得到的擬合公式可以方便的確定墩柱在車輛撞擊力作用下的剪力需求，相比較現有規范對車輛撞擊等效靜力設計值的規定，動力分析過程清晰，剪力動力放大系數的確定有依據且精度較高。

3 結 論

(1) 本文根據修正Timoshenko梁運動方程得到了其正交條件，并在此基礎上得到了梁在沖擊荷載作用下的內力響應計算方法，根據該方法得到不同長細比的梁在跨中受到沖擊荷載時的最大剪力動力荷載系數。計算結果表明，在梁長細比較小時，修正Timoshenko梁理論計算的結果較為精確。

(2) 得到梁的最大剪力動力荷載系數表明：在無增長時間三角形沖擊荷載作用下，動載系數隨著荷載持續時間的增長而增長，并趨近于某一漸進值，該值受長細比影響較大；在有增長時間的三角形沖擊荷載作用下，剪力動載系數會隨著增長時間占荷載持續時間的比例增加而減小；在等腰三角形沖擊荷載作用下，荷載持續時間約為梁第一階自振周期的0.8倍時，剪力動載系數達到最大，且長細比對動載系數影響較小。

(3) 對數據進行擬合分析，得到固結梁和簡支梁在跨中受到無增長時間的三角形荷載和等效三角形荷載作用下，支座最大剪力動載系數的計算公式，可以方便的用來確定受沖擊構件的剪力需求。