復雜激勵下復合行星傳動系統頻率耦合與耦合共振研究

竇作成， 李以農， 曾志鵬， 杜明剛， 楊 陽

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；2.中國北方車輛研究所,北京 100072 )

復合行星變速傳動系統具有高扭矩/質量比、高可靠性、高平穩性、高傳動效率等優點，被廣泛運用汽車和航空工業中[1-2]。行星傳動系統在運行過程中，不僅受到外界載荷激勵影響[3-4]，同時受到時變剛度等內部激勵的作用[5-6]，從而對系統傳動穩定造成較大影響[7-8]。而內外激勵又會產生各種耦合振動，由此導致系統產生非固有頻率共振，給系統參數設計帶來更大的困難。針對行星傳動的耦合振動問題，Inalpolat等[9]研究了行星齒輪制造誤差對輪齒嚙合力調制邊頻帶的影響。王世宇[10]研究了嚙頻及其倍頻激勵對行星齒輪傳動共振失效概率的影響。楊建明等[11]對各構件彈性化引起的三環減速器超諧振現象進行了分析。劉輝等[12]對兩級簡單行星傳動系統的行星排級間的頻率耦合進行了研究。目前對行星傳動頻率耦合的研究主要還集中在簡單行星排和定值或單頻驅動轉矩，對內外復雜激勵共同作用下復合行星系統的頻率耦合研究還比較少。

本文以復合行星傳動系統為研究對象，建立了考慮時變嚙合剛度、嚙合間隙、嚙合誤差等多種非線性因素的復合行星傳動系統動力學模型，研究了發動機時變轉矩輸入、定值轉矩輸入等不同外界激勵與多種內部非線性激勵同時作用下對復合行星傳動系統頻率耦合的影響。并分析了內外激勵引起的頻率耦合產生的系統耦合共振問題，為系統設計時避開非固有頻率的耦合共振和了解系統耦合共振特征提供參考。

1 系統動力學建模

本研究系統為車輛行星變速傳動系統中一種典型復合行星傳動系統，其結構簡圖如圖1所示。該系統含有三個離合器C1、C2、C3，通過改變離合器的分離與結合實現多種速比的傳動，受篇幅所限，本次僅研究采用C1結合C2、C3分離一種傳動工況。該工況下，動力通過右側內圈齒圈傳入系統，然后通過輸出軸輸出到左右兩端的負載，太陽輪始終處于空載狀態。

圖1 復合行星傳動系統簡圖

1.1系統動力學模型

研究中對齒圈、太陽輪、行星架采用相對地面不動的固定坐標系，行星輪采用隨著行星架轉動的旋轉坐標系。復合行星傳動系統的扭轉振動力學模型如圖2所示，模型中每組行星輪的個數用N表示，則模型共含有2N+6個自由度，下標c、s、r1、r2、1pi、2pi分別表示行星架、太陽輪、內齒圈、外齒圈、第i個內圈行星輪、第i個外圈行星輪。kw1、kw2、cw1、cw2分別為行星架與左右側負載連接主軸的扭轉剛度和扭轉阻尼，k1pis、c1pis、b1pis、e1pis分別表示內圈行星輪1pi與太陽輪s的嚙合剛度、嚙合阻尼、嚙合間隙以及嚙合誤差，其余參數都以該方式命名，不再贅述。

圖2 復合行星傳動系統扭振力學模型

Fig.2 Torsional vibration mechanical model of compound planetary transmission

為了便于系統方程的統一建立與求解，建模時將模型中的角位移通過式(1)轉換為線位移。

ul=rlθl,l=c,r1,s,1pi,2pi

(1)

式中:rl分別為太陽輪s中心與內圈行星輪1pi中心的距離、內齒圈r1基圓半徑、太陽輪s基圓半徑、第i個內圈行星輪1pi基圓半徑、第i個外圈行星輪2pi基圓半徑，(l=c,r1,s,1pi,2pi)。

在系統動力學分析建模中，各構件運動方向均以圖2中箭頭標注方向為正，嚙合彈性變形以引起嚙合線壓縮時為正，拉伸為負，同時認為齒輪嚙合誤差造成的彈性變形一直處于嚙合線上，各輪齒間的嚙合彈性變形量為式(2)所示。

(2)

根據系統彈性變形的能量關系建立第二類拉格朗日方程，可求出系統動力學微分方程

(3)

(4)

式中:Tr1、Ts、Tc、T1pi、T2pi、Tw1、Tw2均為外界激勵。

方程組式(3)可整理為矩陣形式：

(5)

式中:M為系統等效質量矩陣，C為系統阻尼矩陣，K為系統剛度矩陣，X為系統廣義坐標線位移陣列，F為外載荷列陣。

1.2 系統內外激勵

研究中外部激勵考慮發動機轉矩波動變化引起輸入系統轉矩的變化，內部激勵則考慮嚙合時變剛度、齒形誤差、嚙合間隙及嚙合相位等非線性因素對系統的激勵。

選用Maatar等[13]所推導的公式對時變嚙合剛度按嚙合頻率進行傅里葉展開

(6)

An=sin(2πnε)/(πnε)

(7)

Bn=(1-cos(2πnε))/(πnε)

(8)

式中:τ=t/Tm，t為時間;Tm為嚙合周期;b為齒寬;ε為直齒圓柱齒輪副的重合度;k0為靜載荷下單位齒寬單齒嚙合剛度;n為傅里葉級數的項數。

輪齒嚙合頻率及嚙合周期：

(9)

(10)

式中:zr1，zr2分別為內外齒圈齒數;ωr1為齒圈r1轉速;ωm為復合行星傳動系統輪齒嚙合頻率。

在對復合行星傳動系統進行建模時，考慮偏心誤差和齒形誤差作為系統綜合誤差。假定行星架的安裝和制造偏心誤差都包含在了太陽輪和齒圈誤差中，因此分析中僅考慮齒輪的偏心誤差。

太陽輪、齒圈、行星輪間的輪齒嚙合誤差用齒輪嚙頻為激勵頻率的正弦函數表示

(11)

式中:ex1pir1為內齒圈r1和第i個內圈行星輪1pi的齒形誤差;ex2pir2為外齒圈r2與第i個外圈行星輪2pi的齒形誤差;ex1pis為太陽輪s與第i個內圈行星輪1pi的齒形誤差;expii為第i個內圈行星輪1pi與第i個外圈行星輪2pi的齒形誤差；A1pir1、A2pir2、A1pis、Apii分別表示與其對應的誤差幅值，β1pir1、β2pir2、β1pis、βpii分別表示與其對應的齒形誤差初相位。

太陽輪、齒圈、行星輪的偏心誤差均可用各自相對轉頻的正弦函數表示，將內外齒圈、太陽輪、行星輪的偏心誤差投影到齒輪嚙合線方向，可得出

(12)

式中:Φ=ωzct+ηz-2π(i-1)/N;Θ=ωzct+ηz；Ex1pir1為內齒圈r1和第i個內圈行星輪1pi的偏心誤差在其嚙合線上的分量；Ex2pir2表示外齒圈r2與第i個外圈行星輪2pi的偏心誤差在其嚙合線上的分量；Ex1pis表示太陽輪s與第i個內圈行星輪1pi的偏心誤差在其嚙合線上的分量；Expii為第i個內圈行星輪1pi與第i個外圈行星輪2pi的偏心誤差在其嚙合線上的分量；Es、Er1、Er2、E1pi、E2pi分別表示太陽輪s、內齒圈r1、外齒圈r2、內圈行星輪1pi、外圈行星輪2pi的偏心誤差，ωzc分別表示與其對應的各齒輪相對于行星架的轉速，ηz分別表示與其對應的偏心誤差初相位，(z=r1,r2,1pi,2pi)。

則復合行星齒輪傳動系統的偏心誤差及齒形誤差激勵在嚙合線上的等效位移可表示為

eΔ=exΔ+ExΔ,Δ=1pir1,2pir2,1pis,pii

(13)

齒側間隙通常可用如圖3所示的一個分段函數表示，嚙合間隙函數f(δ)的表達式為

(14)

式中:b為單邊齒側間隙;δ為齒輪嚙合的相對扭轉位移。

圖3 非線性齒側間隙函數

復合行星傳動系統的外界驅動激勵主要來自于發動機，系統輸入驅動激勵源于V型8缸四沖程柴油發動機，其轉速為1 000 r/min、2 500 r/min時的扭矩輸出分別如圖4(a)、(b)所示。

(a) 轉速為1 000 r/min時發動機輸出扭矩

(b) 轉速為2 500 r/min時發動機輸出扭矩

2 內外激勵頻率耦合分析

2.1 耦合機理

行星傳動系統在運行中受到發動機、負載等外界載荷激勵，還受到時變嚙合剛度、嚙合誤差、嚙合間隙等多種內部激勵的影響，研究內外激勵對系統振動的耦合影響可以更好地分析系統振動產生的原因和特點。本文通過分析內齒圈r1與內圈行星輪1pi的嚙合力來研究內外激勵下系統振動的耦合機理，研究內外激勵對產生系統耦合振動的原因和特點。嚙合變形量可展開成以各內外影響因素各自激勵頻率為基頻的Fourier級數之和，輪齒的嚙合剛度也分解為Fourier級數之和，則系統嚙合力F1pir1可表示為

(15)

F1(t)～F5(t) 這五類含不同頻率成分的彈性嚙合力是嚙合力中波動部分的主要成分，是引起系統振動的原因，對各彈性嚙合力進行相應的時頻變換可得F1pir1在頻域中的表示

(16)

由此可得系統的調制頻率為

f=Mfm+Nr1fr1+Nefe+Nr2fr2+Nsfs

(17)

從F1pir1(f)可以看出，嚙合力因時變嚙合剛度、各種嚙合誤差、外界激勵發生周期性波動而出現調制現象，在頻譜上會產生一系列以嚙合頻率及其倍頻為載波頻率，以各部件相對行星架轉頻及其倍頻、外界激勵頻率及其倍頻為調制頻率的邊頻帶。

2.2 頻率耦合數值分析

復合行星傳動系統計算采用的相關參數如表1所示，取系統在轉速為1 000 r/min、2 500 r/min時，恒定驅動力矩為700 N·m、2 000 N·m以及發動機時變轉矩激勵作用下，對系統的內齒圈r1與內圈行星輪1p1的嚙合力及主軸左端軸段剪切力頻譜分布規律進行分析。系統分別在恒定驅動力矩2 000 N·m、700 N·m作用下轉速為2 500 r/min與1 000 r/min的頻譜圖如圖5、圖6所示。

表1 復合行星傳動系統相關參數

(a) n=2 500 r/min嚙合力

(b) n=2 500 r/min軸段剪切力

(d) n=1 000 r/min軸段剪切力

(a) n=2 500 r/min嚙合力

(b) n=2 500 r/min軸段剪切力

(c) n=1 000 r/min嚙合力

(d) n=1 000 r/min軸段剪切力

從圖5(a)、(c)與圖6(a)、(c)中可以看出，輪齒嚙合力所含的主要頻率成分中有嚙頻及其倍頻，內齒圈的相對轉頻fr1、太陽輪的相對轉頻fs、以嚙頻為基頻各相對轉頻為調制頻的頻譜，如fm±fr1、fm±fr2、fm±fs。輪齒的嚙頻及其倍頻1fm～4fm幅值較大，各中心旋轉構件相對于行星架的轉頻以及其與嚙頻的調制頻率幅值較小。由于系統輪齒含有時變嚙合剛度及嚙合間隙等非線性因素，因此系統中也出現特殊頻率成分，如圖6(a)A中出現2倍太陽輪相對轉頻2fs以及1～3階派生固有頻率。由fm的幅值分析可得，系統定值驅動力矩越大，嚙頻激勵引起的響應幅值越大。而定值驅動力矩一定時，轉速變化對嚙頻激勵引起的響應幅值影響較小。圖5(b)、(d)與圖6(b)、(d)中由于復合行星傳動系統中的時變剛度及沖擊等非線性因素，系統主軸軸段剪切力的頻譜圖中也出現了前幾階派生固有頻率。頻譜幅值較大的為第三階派生固有頻率fn3、太陽輪相對轉頻fs、系統輪嚙頻fm。同時還可以看出，系統低轉速時嚙頻對主軸的影響較高速時更大。

圖7、圖8分別為約束轉矩為2 000 N·m、700 N·m時，考慮發動機時變轉矩激勵，不同轉速對應的系統輪齒嚙合力及軸段剪切力頻譜。從圖7(a)、(c)與圖8(a)、(c)中可以看出，在不同轉速和激勵下，嚙頻及其倍頻、發動機激勵頻率及其倍頻引起的輪齒嚙合力幅值都較大。除此之外還存在各中心旋轉構件相對于行星架的轉頻，以及以嚙頻及其倍頻為基頻與各中心旋轉構件相對轉頻、發動機激勵頻率之間的調制頻率，但其值較小。從圖7(b)、(d)與圖8(b)、(d)中可以看出，發動機激勵的引入對主軸剪切力影響較大。軸段剪切力頻譜中頻譜幅值較大的為發動機基頻及其倍頻fe、2fe、太陽輪相對轉頻fs、輪齒嚙合頻率fm。由于系統非線性因素的影響，系統的局部也出現了某些特殊頻率，如系統2、3階派生固有頻率等。

(a) n=2 500 r/min嚙合力

(b) n=2 500 r/min軸段剪切力

(c) n=1 000 r/min嚙合力

(d) n=1 000 r/min軸段剪切力

(a) n=2 500 r/min嚙合力

(b) n=2 500 r/min軸段剪切力

(c) n=1 000 r/min嚙合力

(d) n=1 000 r/min軸段剪切力

通過以上對系統不同轉速及轉矩條件下的嚙合力及軸段剪切力的頻域分析可以看出，當系統的驅動力矩為定值時，輪齒嚙合力的主要頻率成分為輪齒嚙合頻率及其倍頻，主軸扭轉剪切力的主要頻率成分為輪齒嚙合頻率及派生頻率。當系統的驅動力矩為時變轉矩時，系統輪齒嚙合力及軸段剪切力的頻率成分引入了發動機激勵頻率，輪齒嚙合力的主要頻率成分為發動機轉頻及其倍頻、輪齒嚙合頻率及其倍頻、輪齒嚙合頻率為基頻發動機轉頻為調制頻的耦合頻率。主軸扭轉剪切力的主要頻率成分為發動機轉頻及其倍頻、輪齒嚙合頻率，且低速時嚙率激勵影響占優，高速時發動機激勵影響占優。

當系統處于定值驅動時，系統中輪齒嚙合力主要受時變嚙合剛度等因素的影響，且一階嚙合頻率的影響最大，然后影響程度依次遞減，而齒輪的偏心誤差及嚙合誤差對嚙合力有一定的影響但不明顯。主軸剪切力主要受系統時變嚙合剛度的影響，當系統轉速較低時時變嚙合剛度的影響較為明顯，隨著轉速的增加，系統時變剛度的影響逐漸弱化。當系統受到時變轉矩激勵時，系統中嚙合力主要受發動機激勵、時變嚙合剛度的影響以及其相互耦合的影響，且各轉速下時變嚙合剛度的影響較發動機激勵更為明顯。主軸扭轉剪切力主要受發動機激勵及時變嚙合剛度的影響，低轉速下主軸扭轉剪切力受時變嚙合剛度影響更為明顯，高轉速下受發動機激勵影響更為明顯。

3 系統耦合共振分析

通常情況下線性系統的受迫振動共振轉速只考慮系統固有頻率及外界激勵，但非線性系統受迫振動中，不僅含有外部時變激勵，還包含眾多內部激勵，如輪齒間非線性系統中，嚙合誤差激勵、時變嚙合剛度激勵以及嚙合頻率與外界激勵頻率調制產生的新激勵頻率，可能會出現主共振、超諧共振、亞諧共振、內共振等。因此僅考慮線性固有頻率引起的振動必然會丟失掉某些重要激勵頻率導致的共振，而考慮系統內部及外部因素共同形成的耦合共振，可以更加全面分析系統振動特性。

非線性系統耦合共振主要考慮內部激勵、外部激勵以及內外部耦合激勵三大類激勵，這里主要是指輪齒嚙合頻率及其倍頻、各相對轉頻及其倍頻、外界激勵頻率及其倍頻、嚙合頻率各階諧頻和外界激勵各階諧頻調制產生的耦合頻率等。系統的固有頻率均可表示為平行于轉速坐標軸的直線，而激勵頻率均可以表示為系統轉速的函數，呈一系列通過轉速原點的輻射狀直線，當這些激勵頻率與固有頻率相等時，系統就有可能發生共振，且該激勵頻率所對應的轉速即為共振轉速，它們的計算表達式為

(18)

定值轉矩及時變轉矩作用時，系統共振轉速分析如圖9所示，恒定轉矩時系統嚙合頻率考慮了前3階1fm～3fm，發動機時變嚙合轉矩為前兩階1fe～2fe，其內部激勵與外部激勵的調制頻率fm±fe、2fm±fe、3fm±fe、fm±2fe、2fm±2fe、3fm±2fe。從圖中可以看出，當系統僅含有內部激勵時，系統共振轉速僅為點狀分布，當系統含有外界激勵時，系統中出現了由于調制頻率作用引起的較為密集的共振轉速帶如圖9(b)中G1～G5、F1～F5、E6～E10等。且系統在恒定轉矩作用下的共振轉速均落于內外界激勵調制頻率導致的共振轉速帶中。系統的共振轉速分布如表2所示，共振點1是由于發動機激勵頻率及其倍頻所對應的共振轉速，共振點2為系統嚙合頻率及其倍頻所對應的共振轉速，共振帶是由于嚙合頻率及其倍頻與發動機激勵頻率調制所產生的共振轉速帶。可以看出系統中由嚙合頻率及其耦合頻率引起的共振轉速帶主要集中于1 200 r/min以下，而發動機激勵頻率導致的共振轉速主要集中于1 200 r/min以上。

(a) 定值驅動轉矩

(b) 時變驅動轉矩

表2系統耦合共振轉速

Tab.2Systemcouplingresonancespeed

4 結 論

本文考慮定值、時變等多種不同外界激勵與時變嚙合剛度等多種非線性內部激勵，以內齒圈和內圈行星輪嚙合力、主軸扭轉剪切力為例研究了復合行星傳動系統在內外激勵共同作用時產生的耦合振動特性，并分析了在內外激勵下系統在工作轉速范圍內的耦合共振問題，得到了以下結論：

(1) 在定值轉矩驅動時，齒輪嚙合力與主軸剪切力的主要頻率成分都為嚙合頻率及其倍頻，系統定值驅動力矩越大，嚙頻激勵引起的響應幅值越大，但轉速變化對嚙頻激勵引起的響應幅值影響不大。

(2) 在時變轉矩驅動時，齒輪嚙合力和剪輯力在各轉速下的主要頻率成分都為嚙合相關頻率，但主軸剪切力響應中嚙合頻率激勵的影響隨著轉速的增大而逐漸減小，發動機激勵的影響卻呈相反規律。

(3) 復合行星傳動系統共振轉速帶中，由嚙合頻率及其耦合頻率引起的共振轉速主要集中于1 200 r/min以下，而發動機激勵引起的共振轉速主要集中于1 200 r/min以上。