纏繞式提升系統懸繩橫向振動特性的理論與實驗研究

彭 霞， 龔憲生， 李濟順， 巫顯照

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044；2.重慶大學 機械工程學院，重慶 400044；3.石河子大學 機電工程學院，新疆 石河子 832003；4.河南科技大學 機電學院，河南 洛陽 471039)

超深礦井提升鋼絲繩在多層纏繞時面臨的最大問題：隨著纏繞層數和提升高度的增加，卷筒與天輪間的鋼絲繩(本文稱之為懸繩)的橫向振動過大而出現亂繩，跳繩等現象，使多層纏繞不能有序進行；多層纏繞鋼絲繩在卷筒兩側過渡換層時產生較為劇烈的沖擊、磨損并導致亂繩、卡繩而降低鋼絲繩壽命。采用具有合適過渡區的平行折線繩槽及層間過渡裝置可望解決這一難題。

本文著重研究“合適過渡區的平行折線繩槽”這一重要問題.提出用“提升系統懸繩的橫向振動振幅大小”作為鋼絲繩多層纏繞平行折線繩槽優劣的評價指標,通過理論推導建立提升系統的動力學方程,建立繩槽過渡區按不同位置布置的激勵函數，得到邊界激勵下懸繩橫振響應的數值仿真結果，在此基礎上設計實驗，通過實驗測得“提升系統懸繩的橫向振動振幅大小”，并將其與對應的仿真結果進行比較來驗證理論模型的正確。

鋼絲繩提升系統的振動特性已有學者做了較多研究，主要集中在對高速電梯、摩擦式提升機和纏繞式提升機的研究上。文獻[1-5]以高速電梯為研究對象,建立了變長度鋼絲繩提升系統振動方程和橫縱耦合振動模型，并進行了實驗驗證。文獻[6-7]以摩擦式提升機為研究對象，對鋼絲繩的橫、縱振規律做了較詳盡的理論和實驗研究。文獻[8-9]以纏繞式提升機為研究對象，基于Hamilton原理,建立并求解了變長度鋼絲繩提升系統的橫、縱向振動耦合振動方程，主要探討了在不同的速度激勵下，鋼絲繩的動態響應規律，但此研究是基于對稱繩槽開展的。

對于鋼絲繩振動的實驗研究，摩擦式提升機和電梯多用加速度計來實現。針對纏繞式提升機懸繩的橫向振動的測量做的研究還較少。文獻[10]開展了基于機器視覺技術的落地摩擦提升懸繩的橫向振動測量，但文中提到的方法并不完全適用于測量纏繞式提升懸繩的橫向振動，因為文中測量的落地摩擦式提升機的懸繩沒有排繩和換層運動，而纏繞式礦井提升機鋼絲繩在多層纏繞時懸繩在繩槽的引導下會發生沿卷筒軸線方向的排繩運動和在層間過渡裝置的作用下沿卷筒徑向的換層運動，如圖1所示。

圖1 鋼絲繩運動軌跡示意圖

因此用傳統接觸式或非接觸式傳感器不宜測量纏繞式提升懸繩橫振，但是基于機器視覺的非接觸式的傳感器檢測振動，具有不與被測物接觸、測量范圍寬、不改變被測物的振動特性等優點。

綜上所述，本文首先將鋼絲繩看作連續的彈性體，建立并求解邊界激勵下懸繩橫向振動方程。然后，根據現有實驗臺參數制作兩種型式繩槽并安裝在試驗臺上，基于文獻[10]的測量原理，改進其圖像處理方法，用高速工業相機來檢測懸繩的橫向振動，對比實測結果與數值仿真，驗證本文模型的有效性。

1 振動模型的建立與求解

纏繞式鋼絲繩提升系統力學模型如圖2所示，卷筒纏繞點與天輪間的鋼絲繩稱之為懸繩，長度用ls表示，天輪與提升容器間的變長度鋼絲繩稱之為垂繩，用lv(t)表示，鋼絲繩總長用L(t)表示。鋼絲繩與卷筒的分離處作為固定坐標系oxyz的原點，鋼絲繩上任意一點P的彈性變形位置為P′，鋼絲繩上l(t)處懸繩的平面內橫向振動、平面外橫向振動、縱向振動為u[l(t),t]，w[l(t),t],vc[l(t),t],垂繩的縱向振動vv[l(t),t]，取豎直向上為正方向。則負載和繩子的整體縱向速度為：

(1)

圖2 礦井提升系統力學模型

本文的模型建立和求解基于以下假設：①忽略井筒內氣流對系統阻尼的影響。②忽略鋼絲繩的扭振。③忽略垂繩的橫向振動。④在天輪處鋼絲繩不滑動。⑤鋼絲繩的物理參數在運動過程中始終保持恒值。

在l(t)=0處的邊界條件為：

u(0,t)=vc(0,t)=w(0,t)=0

(2)

在l(t)=ls處的邊界條件：

u(ls,t)=w(ls,t)=0

u,t(ls,t)=w,t(ls,t)=0

(3)

根據Hamilton原理，可得

(4)

式中:T,Ek,Ep,W分別指系統的動能、鋼絲繩的彈性應變能、系統的重力勢能和虛功。本文假設卷筒提供提升系統運行的全部能量，因此纏繞到卷筒上鋼絲繩的這部分動能可以不予考慮，提升系統動能表達式為：

(5)

式中:V是提升容器和鋼絲繩的整體縱向速度;ρ表示鋼絲繩線密度;Ms表示天輪的慣性質量;Mc表示載荷的質量。系統總勢能表達式為：

(6)

式中:Ek,Ep分別指鋼絲繩的彈性應變能、系統的重力勢能;Ek0為鋼絲繩在預張力下的初始應變能;Ep0表示系統在鋼絲繩未變形的重力勢能。為了更清晰的表述問題，本文作出如下約定:

(7)

根據文獻[8]懸繩應變量為：

(8)

垂繩應變量為：

εv=vv,l

(9)

懸繩張力為：

Tc=[Mc+ρ(L(t)-ls)]g

(10)

垂繩張力為：

Tv=[Mc+ρ(L(t)-l(t))]g

(11)

系統阻尼力的虛功為：

(12)

其中δWvc,δWu,δWw,δWvv分別為懸垂繩的橫、縱向阻尼力所做虛功，δWs是天輪摩擦力所做虛功，cv,cw,cs分別為鋼絲繩縱振、橫振阻尼系數和天輪的阻尼系數[13]。微分算子為：

(13)

將式(5)，式(6)和式(12)代入式(4)，經一系列變換運算后系統的運動方程為：

式(14)～(17)表示懸、垂繩在無激勵狀態下的橫、縱耦合的振動方程，式(18)和(19)鋼絲繩在l(t)=ls和l(t)=L(t)時的振動方程。

根據文獻[8-9]垂繩的縱向振動遠小于懸繩的橫向振動，考慮到垂繩系統受到的外部干擾較多，天輪具有限位作用，本文主要研究在不同圈間過渡區布局的繩槽激勵下，提升系統懸繩橫向振動位移響應及其對排繩的影響，故可以暫且忽略懸繩的縱向振動和垂繩的縱向振動，只考慮懸繩的橫向振動，即式(15)、(16)。

鋼絲繩在卷筒多層纏繞時，卷筒表面安裝對稱或非對稱的平行折線繩槽，會在l(t)=0處產生不同的周期性激勵，文獻[9]推導了對稱繩槽的激勵函數，本文改變兩過渡區的間隔時間或距離推導得出兩過渡區按不同位置布置的位移激勵函數：

wi=d/2

(20)

圖3 繩槽折線過渡區布置示意圖

坐標原點處邊界條件變為：

(21)

因此懸繩橫振的邊界條件變為非齊次，根據文獻[13-14]可得：

(22)

式中:u1、w1是滿足齊次邊界條件部分，u2、w2是不滿足齊次邊界條件部分。

(23)

因此，懸繩橫振的控制方程為：

ρ(V2u1,ll+2Vu1,lt+au1,l+u1,tt)-Tcu1,ll-

EAu1,l(u1,lu1,ll+w1,lw1,ll)=

-ρ(V2u2,ll+2Vu2,lt+au2,l+u2,tt)+Tcu2,ll

(24)

ρ(V2w1,ll+2Vw1,lt+aw1,l+w1,tt)-Tcw1,ll-

EAw1,l(u1,lu1,ll+w1,lw1,ll)=

-ρ(V2w2,ll+2Vw2,lt+aw2,l+w2,tt)+Tcw2,ll

(25)

使用Galerkin方法，將式(24)，(25)無限維偏微分方程轉化為有限維的常微分方程。鋼絲繩上各點具有相同頻率和相位的振動，只是不同位置位移大小隨時間變化而變化[6]。因此，鋼絲繩上各點隨時間變化而變化的位移u1(x,t)和w1(x,t)可以分解為兩部分的乘積，即：

(26)

式中:φ(x)表示與時間無關的鋼絲繩在空間的形狀，p(t),q(t)確定繩上各點隨時間變化的規律。根據文獻[11-12]懸繩橫振的形函數可以設為：

(27)

式中:φ=(φ1,φ2,…,φn)T;p,q是廣義坐標向量,并且是時間的函數，且p=(p1,p2,…,pn)T，q=(q1,q2,…,qn)T，將式(26)代入到控制方程(24)和(25)，等式左邊乘φ，并將其在l(t)∈[0,ls]內積分，將偏微分方程離散成常微分方程。則控制方程變為：

(28)

其中廣義坐標向量

x=[p1,p2,…,pn,q1,q2,…,qn]TM,C,K,F,P

分別為質量矩陣，阻尼矩陣，剛度矩陣和廣義力矩陣，廣義坐標耦合項。各變量計算式為：

(29)

2 實驗驗證與數值仿真

2.1 實驗目的

鋼絲繩在不同型式的繩槽(非對稱κ=0.8和對稱κ=1)上纏繞，在纏繞點會形成不同的邊界激勵，懸繩會產生不同的動態響應。通過比較懸繩的橫向振動位移響應的數值仿真與實驗結果，驗證在邊界激勵下提升系統懸繩橫振的振動模型的正確性。經過實驗驗證有效的振動模型，將為未來設計真正工程實用超深礦井提升樣機上平行折線繩槽兩過渡區的布置形式提供理論和實驗依據。

2.2 實驗設計

實驗在“國家安全生產洛陽礦山機械檢測檢驗中心”的布萊爾雙繩纏繞式提升機試驗臺進行，試驗臺基本參數：運行速度為V=1.8 m/s，加速度為a=0.5 m/s2,懸繩長度ls=50.8 m，垂繩長度lv=36 m，卷筒半徑Rd=0.4 m，鋼絲繩直徑d=0.01 m，鋼絲繩線密度ρ=0.41 kg/m3，鋼絲繩彈性模量E=1.1×1011N/m2，橫向阻尼系數cw=0.02，每根鋼絲繩負載Mc=1 000 kg。左右卷筒通過齒式聯軸器連接，左卷筒下出繩，右卷筒上出繩，即右卷筒提升時左卷筒下放，如圖4所示。

圖4 試驗臺布置圖

鋼絲繩在第一層纏約1圈(其中摩擦圈12圈)，第二層纏13圈，第三層纏1圈左右。提升機的運行由控制臺統一控制。對懸繩固定點的橫向振動進行檢測，測量點為距離鋼絲繩與卷筒的切點2 500 mm處。

左卷筒安裝的繩槽參數為：對稱系數κ=0.8，過渡區圓心角對應弧度γ=0.3 rad，右卷筒安裝的繩槽參數為：對稱系數κ=1，過渡區圓心角對應弧度γ=0.375 rad，根據式(12)鋼絲繩在兩種不同型式繩槽纏繞一周形成的位移函數,如圖5所示。

2.3 數據采集系統

懸繩的橫向振動選用高分辨率的IX-Cameras I-Speed 211型高速工業相機測量，4G內存，1280×1024像素，相機自帶控制軟件Control2 Series，測量精度可達10-2mm。經計算懸繩橫振的前三階固有頻率的最大值為5.007 Hz,所以設置采樣頻率為60 Hz,見圖6。

圖5 兩種型式繩槽上鋼絲繩轉動一周的位移函數圖

Fig.5 Displacement function graph when the wire rope in different grooves wind a round

圖6 數據采集系統布置圖

當把相機放在鋼絲繩的正下方，背景板置于鋼絲繩之上并與兩鋼絲繩所在平面接近平行，然后調節三腳架云臺,使相機鏡頭與鋼絲繩垂直，然后可以測量鋼絲繩的平面外橫向振動；把相機放在鋼絲繩的側面，調節三腳架使相機與被測點同高，調節三腳架云臺使視場內的鋼絲繩處于豎直狀態，把背景板置于兩鋼絲繩的中間并使其與地面垂直并與鋼絲繩平行，這樣就可以測量鋼絲繩的平面內振動,如圖7所示。

2.4 圖像處理

確定被測點為距離鋼絲繩與卷筒的切點2 500 mm處，并標記測量點，調整焦距使圖像清晰，調整相機三腳架及相機云臺使背景板、鋼絲繩在相機視場范圍內，并使鋼絲繩在控制軟件的視場中呈豎直位置。否則處理圖像時還需校正X、Y方向的分量。使標記點在視場中間部位，拍攝一張照片作為初始位置比例尺的參考照片，此后相機的位置不可移動，如圖8所示。

(a) 平面外振動圖像采集

(b) 平面內振動圖像采集

圖8 比例尺相片與被測點相片

對拍攝的每一幀圖像二值化，即鋼絲繩為1，白背景板為0，找到被測點所在位置，取被測點所在的幾行像素，如圖9所示。

圖9 圖像處理原理圖

(30)

其中：

(31)

式(31)中λ為比例因子;i為照片幀數，即實際距離與像素距離的比值;fc為采樣頻率;s0為0時刻對y軸的靜矩之和;si為i時刻參考線內所有點對y軸的靜矩之和;Ai為i時刻參考線內所有點之和。以后拍攝的每張照片都這樣處理，就可以得到標記點在對應方向的振動位移，高速相機測得的原始數據為一系列圖像序列，通過這樣的圖像處理和算法可以得到鋼絲繩相對平衡位置的振動位移。

2.5 數值仿真與試驗結果對比分析

試驗臺按照1.8 m/s速度的實際運行曲線如圖10所示，圖像初次處理的結果是懸繩上固定點測量點處鋼絲繩與初始標記位移之間的絕對值，在實驗驗證時要比較的是懸繩橫向振動位移的相對值，因此這些結果還需二次處理成相對位移，處理結果如圖12、圖14所示。

圖11和圖13為對稱和非對稱繩槽激勵下懸繩固定點處橫振響應的數值仿真結果，在前4 s平面內振動響應(即u向)為零，是因為在仿真時認為鋼絲繩在第一層的兩圈纏繞半徑沒變化，即沿卷筒直徑方向的激勵為0，所以此時懸繩橫振的平面內振動響應(即u向)也為0，但是數值仿真時是人為的把橫向振動響應分成了平面內和平面外(即u向和w向)兩個方向，且忽略了垂繩的縱振。圖12和圖14的實驗測試結果顯示前4 s的振動響應不為0，那是因為在實際提升循環中，當鋼絲繩提一個重物時，提升開始的加速運動會使鋼絲繩變長然后再收縮繼而引起垂繩振動，懸繩較長由于重力會有下垂，垂繩振動傳遞過來時會引發懸繩的橫振，因此實測結果前4 s與仿真結果不同。

(a) 提升高度

(b) 提升速度

圖11 對稱繩槽激勵下懸繩橫振仿真曲線

圖12 對稱繩槽激勵下懸繩橫振實測曲線

對比兩種繩槽激勵(對稱與非對稱)下懸繩橫振的實驗與仿真結果發現：數值仿真與實測曲線振動波形變化趨勢非常接近，仿真結果略滯后于試驗結果，那是因為仿真時第1層是按纏2圈計算的，而實際因為控制系統等原因第1層實際纏了1圈多一點；試驗結果大于仿真結果，可能原因：首先理論推導的邊界激勵是按照繩槽結構形式求得，而在試驗臺還有可能因卷筒的不圓度誤差，負載兩鋼絲繩出現張力差等產生激勵。其次仿真時忽略了自然風、橫縱振耦合等現實情況。

圖13 非對稱繩槽激勵下懸繩橫振仿真曲線

圖14 非對稱繩槽激勵下懸繩橫振實測曲線

比較圖11～14，列出在兩種不同繩槽形式下懸繩橫振的最大值，如表1所示，仿真和實驗結果均顯示：非對稱繩槽激勵下懸繩的橫振略小于對稱繩槽激勵，實驗和仿真相吻合。若以“懸繩橫振振幅”作為評價平行折線繩槽優劣的指標，仿真和實驗結果均顯示在本實驗臺參數下，非對稱繩槽優于對稱繩槽。

表1不同繩槽激勵下懸繩橫振的最大值

Tab.1Correlationtableofthemaximumvibrationdisplacementofthecatenaryindifferentasymmetrycoefficient

接下來將從振動頻率的角度來分析理論仿真與實驗結果。將卷筒安裝非對稱繩槽時懸繩的平面內(u向)、平面外(w向)振動響應的數值仿真結果進行傅里葉變換得到其頻譜圖，如圖15，圖16所示，可得數值仿真前三階振動響應頻率均為：f1=1.444 Hz,f2=2.926 Hz,f3=4.592 Hz。

圖15 非對稱繩槽懸繩u向振動頻譜圖(仿真)

Fig.15 Spectrogram for vibration response ofu-direction with asymmetrical grooves (simulation)

圖16 非對稱繩槽懸繩w向振動頻譜圖(仿真)

Fig.16 Spectrogram for vibration response ofw-direction with asymmetrical grooves (simulation)

圖17 非對稱繩槽懸繩u向振動頻譜圖(實測)

Fig.17 Spectrogram for vibration response ofu-direction with asymmetrical grooves (actual measurement)

將實驗測得的卷筒安裝非對稱繩槽時懸繩的平面內(u向)、平面外(w向)振動響應的試驗數據進行濾波處理，濾掉低頻信號，消除噪聲干擾便于提取振動頻率，并經過傅里葉變換得到懸繩振動的頻譜圖，如圖17，圖18所示，可得懸繩平面內(u向)振動的前三階頻率分別為f1=1.582 Hz,f2=3.164 Hz,f3=4.746 Hz，懸繩平面外振動(w向)的前三階頻率分別為f1=1.582 Hz,f2=3.047 Hz,f3=4.746 Hz。實測頻率與仿真計算的誤差最大為8.72%，說明提升系統振動模型和數值計算方法是可靠的。

圖18 非對稱繩槽懸繩w向振動頻譜圖(實測)

Fig.18 Spectrogram for vibration response ofw-direction with asymmetrical grooves (actual measurement)

3 結 論

(1) 本文將鋼絲繩看作連續的彈性體，運用Hamilton原理建立了邊界激勵下纏繞式鋼絲繩提升系統的振動控制方程。

(2) 以某纏繞式鋼絲繩提升試驗臺的實際運行曲線作為輸入，并在該試驗臺安置高速工業相機檢測懸繩的橫振，對比實測曲線與仿真結果均顯示：在本實驗臺參數下，對稱繩槽激勵的懸繩橫振大于非對稱繩槽布置，若以“懸繩橫振振幅”作為評價平行折線繩槽優劣的指標，非對稱繩槽優于對稱繩槽；懸繩橫振的實測曲線與數值仿真變化趨勢非常接近，實測頻率與計算頻率誤差最大為8.72%，說明本文建立的邊界激勵下懸繩的橫振模型是有效的。文中所建模型和懸繩橫向振動測量方法可為將來超深井提升卷筒繩槽型式的選擇提供可靠的理論依據。