基于本原性問題發展數學核心素養的實踐與思考——以蘇科版七上《6.1線段 射線 直線》教學為例

錢建芬

(蘇州市吳江實驗初中 215200)

數學核心素養是人們通過數學的學習建立起來的，認識、理解和處理周圍事物時所具備的能力和品格.史寧中教授將其概括為“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界，而數學的眼光就是抽象，數學的思維就是推理，數學的語言就是模型”，抽象、推理和模型就是數學的基本思想.

“本原性數學問題”是指在數學教學中，將某個數學問題的“要素”或“基本構成”作為思考的第一問題，即考慮對學生而言，什么是某個數學問題最為本質的、基本的要素或構成.因此本原性數學問題的產生主要有兩個來源，一是教師在備課過程中精心設計的反映該數學主題實質的問題；二是在課堂教學活動過程中由學生所提出的涉及該數學主題實質的關鍵問題.前者要求教師善于發現實質性的數學問題，并創設機會讓學生觸及和逐步理解；后者意味著教師在充滿不確定性的課堂里發現本原性數學問題，及時抓住學生的那些反映數學思想實質的樸素想法并加以發展.由此不難得出，本原性數學問題具有自然生成、預設下的原發性和多角度對話的品性等特征.

基于本原性問題的數學課堂，始于問題，源于本原，數學思想方法始終滲透其中.這樣的課堂教學，始終以經歷思考過程來發展學生數學核心素養，讓本原性問題進入學生認知場域，促進其積極思考，進而形成自己的認識或解答，因為本原性問題的產生是基于學生的思維認知與生長，所以發展學生的數學核心素養是教學活動的最終目的.顯然，基于本原問題的教學是發展數學核心素養的教學.

本文以蘇科版七上《6.1線段 射線 直線》一課為例，分享基于本原性問題，發展數學核心素養的實踐與思考.

1 教學實錄與分析

1.1 回歸本原經驗，回憶舊識

師：今天我們來共同學習《6.1線段 射線 直線》，對于這個課題，大家一定不陌生吧？

眾生：小學學過.

師：那么請大家回憶，看看我們還記得哪些內容？

生1：線段有兩個端點，射線有一個端點，直線沒有，直線是無限延長的，射線也是朝一邊延長，但是線段不能延長.(師板書“延長”兩字)

設計思路《義務教育數學課程標準(2011年版)》中，對小學四年級學習線段射線直線提出的教學要求為：1.結合實例了解線段、射線和直線；2.體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離.本節課是在小學已經初步認識線段、射線、直線的基礎上，進一步研究這些基本圖形的一節課，所以既不能上成一節完全沒有經驗的新授課，又不能上成一節完全的綜合復習課或是習題課，設置的問題回歸學生的認知經驗，讓新知生長在學生已有的舊知土壤上.

1.2 還原認知過程，整理碎片

師:(板書“延伸”兩字)看來大家對直線的“無限長”印象很深，不過我們把直線無限長的特性說成是延伸性，是直線所固有的特性，叫做直線向兩方無限延伸，射線向一方無限延伸，而不說成直線無限延長，也就是說延伸更多地是指事物本有的屬性，比如一條路若理解為無限長，我們說這條路一直往前延伸；但延長則不同，這是一個動詞，通常指把本身沒有延伸性的事物變得長一些，就使用延長，如延長線段，或反向延長射線，延長考試時間等.那么我們該怎么修改剛剛生1的話呢？

生2：線段有兩個端點，射線有一個端點，直線沒有，直線向兩方無限延伸，射線向一方延伸，但是線段沒有延伸性.

師：請在學案上分別畫一條線段、射線、直線.

眾生：(每個人都感覺這個很簡單，畫出的線段的端點不規范.師對點的畫法和表示方法做示范和要求，為下面直線、線段、射線的表示方法做鋪墊.)

師：試一試，寫出線段、射線、直線的區別與聯系，可以用列表格的方法，從端點數、延伸性、能否度量等方面進行比較，比比看，誰寫的最完整，最全面.

眾生：(基本上能夠寫出線段、射線、直線在端點數上的區別，知道線段可以度量，而射線和直線不能度量，也知道他們延伸性的不同.畫出的表格相去甚遠，各式各樣.)

對照表格講解自己的理解，教師做糾正和要求.

設計思路學生已經具備了有關線段、射線、直線的經驗和認識，這是學生在小學學習的過程中所積累的經驗，也是本節課學習的基礎，但是有些已經遺忘或是沉睡在記憶的深處，因而模糊甚至錯誤，需要激活、糾正和整理，為下面探究學習過程做好準備,這是一個還原已有認知的過程. 這種過程，體現知識的螺旋式上升——基于小學的學習，又在此基礎上有進一步的要求.回憶舊識是回歸本原，整理碎片是還原、是回憶舊知的必經之路.

1.3 基于本原問題，建構框架

師：我站在這里，請和我在一條直線上的同學站起來.(間斷地，有一些同學站了起來，直至后來所有的同學都站了起來)，問最后一個站起來的同學：為什么大家都站起來了呢？

生4：因為每一個同學都和您在一條直線上.

師：這說明了什么？

生4：過一點可以畫無數條直線.

師：說說你的想法.

生4：把老師您看成一個點，過這個點可以畫無數條直線，所以每個同學都在其中的某一條直線上.

師：(在黑板上畫出一點A)，這點代表老師，過這點A可以畫無數條直線，每個同學是一個點，每個點總在其中的一條線上，所以每個同學都和老師在一條線上.(板書：過一點可以畫無數條直線.然后再給出另外一點B)經過兩點A和B，能畫出幾條直線呢？

生5：能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線.

師：(板書：有且只有：確定)我們把這 “有且只有”簡述成“確定”，得出：兩點確定一條直線(并板書).

師：那么經過三個點中的兩點可以畫幾條直線呢？

生6：一條！

師：為什么呢？

生6：(指著黑板上的圖說)比如再加點C，點C在直線AB上.

生7：要是點C不在直線AB上呢？這時同時經過這三點就不能畫直線了.要是只經過其中的兩點就可以畫三條直線了.所以要分類.

師：數學學習中，很多地方都要使用分類的方法. 因此，解答經過三個點可以畫幾條直線這個問題就不能以一概全，而是需要將三點的位置進行分類.若是四個點呢？五個點呢？n個點呢？

生8：都是一樣的，需要分類.

師：對！這就是類比，學會了一種方法，就類比到同類問題中，用這種方法解決其他同類問題.

師：在A,B兩點間可以畫出多少條線？哪一條線最短？

生9：在A,B兩點間可以畫無數條線，其中A,B兩點間線段最短.

師：你是怎么判斷的？

生9：可以度量.

師：度量各種線的長度后，發現線段的長度最小，我們把兩點間線段的長度稱為兩點間的距離(板書). 我們把這兩個大家公認為正確的結論叫做基本事實：1.兩點確定一條直線.2.兩點之間線段最短.在初中階段，我們還要學習其他的基本事實.

請在學案上寫出你總結出的結論.

生：(1)過一點可以畫無數條直線;

(2)兩點確定一條直線;

(3)兩點之間線段最短;

(4)兩點間線段的長度稱為兩點間距離.

師：請用數學符號表示出上面畫出的直線.

生10：表示為AB!

師：說說你的想法.

生10：我們剛剛學過基本事實：兩點確定一條直線，所以可以用直線上的任意兩點來表示一條直線.

師：很好！在說明問題時，我們一定要學會有依據地說明問題. 但是只說成是AB，行不行？

生11：還應該加上直線兩個字，應該寫成直線AB.當然還可以寫成直線BA.

師：為什么也可以寫成直線BA呢？

生11：因為直線不考慮它的方向.

師：你也學會了有依據地說明問題.

師：當然直線還有一種表示方法，就是用一個小寫字母表示，寫成直線a或直線l.

師：怎樣表示線段呢？

生12：我認為是線段AB或線段BA,以及線段a.

師：你是怎么考慮這個問題的呢？

生12：我是根據直線的表示方法來考慮的.

師：你這是用類比的思想方法來認識問題，類比是解決問題非常有效的思維方式.

師：如何表示射線呢？

生13：我認為是射線AB或射線BA,以及射線a.

師：由于射線是有方向的，所以只能用兩個大寫字母表示，通常把射線端點的字母寫在前面，如射線AB，要注意射線AB和射線BA不是一條射線.

設計思路本課是初中階段系統研究幾何圖形的第一課，從本節開始出現的幾何圖形的畫法、表示方法、幾何語言等是今后學習必須的知識基礎，對于學生來說是陌生的，而本課所蘊涵的數學思想方法(如類比、分類等)，也將始終伴隨學生的學習過程，使其受益終生.但因為七年級學生的思維往往還停留在對具體事物的直觀理解上，知識儲備和生活經驗都略顯不足，所以這一環節的設計，從本原問題出發，將數學概念和基本事實進行聯系和拓展，對于學生完全陌生的幾何用語(如確定、延長和延伸等)就直接講授，對于可以由學生探索生成的(如三種圖形的表示方法等)，則堅持給予充分的時間讓其思考總結、體驗感悟，培養學生用數學的思維思考，用數學的語言表達，發展其數學核心素養.

1.4 連接本原問題，完善系統

師：根據學習目標要求，總結本節課內容，自我小結，將你在本節課學到的內容寫下來.

生：(獨立思考，寫出總結交流互補.)

練習：1.按照要求畫圖：(1)畫直線l，在直線l上畫點M，在直線l外分別畫點N、P；

(2)畫線段MN，畫射線MP；

(3)在線段MN上任取一點D，在線段MN上有幾條線段，請寫出來；

(4)延長線段MN，延長線段NM，在直線MN上有幾條射線？請寫出來.

2.(課外思考題)：往返于南京和上海兩地的城際高鐵，中途須停靠常州、無錫、蘇州三站(若所有兩個城市間距離都不同，票價根據距離制定)根據你所學回答：需要制定多少種不同的票價？多少種不同的車票？

設計思路知識不能僅僅局限于一節課，只要是相關的內容都可一并歸納，即對知識系統進行重組.同時，對于重新組建的知識系統要審視、甄別、檢驗，以便知識的遷移和應用，即知識反思，這兩個過程才能算作是知識重建.知識重建應該是把新知識的學習納入原有的知識體系，這無疑需要連接相關的本原問題，才能真正做到通過現象直達事物的本質，使知識的學習不再是孤立的、零散的，而是系統的、完善的，在此過程中，學生獨立小結，自覺抽象，而后做必要的遷移與應用，數學核心素養的種子才能萌芽生長.

2 回顧與反思

(1) 努力營造課堂教學的原生態，使課堂回歸本真，在經歷數學概念的形成過程中，讓數學核心素養生根.

數學概念是從生活中抽象出來的，它更深刻地反映了事物的共同特征和本質屬性，可說是濃縮了的知識點.為使學生更好地理解概念，就應將它的形成過程重新“還原”，遵循“從具體上升到抽象、再由抽象回歸具體”的認知規律，著力把概念的形成過程和運用過程生動地展現開來.需要教師以本原性問題做引領，營造課堂教學的原生態，使課堂回歸本真.比如在引導學生學習“經過一點可以畫無數條直線”的概念教學中，通過創設“老師站在這里，請和我在一條直線上的同學站起來”這一情境，抓住“經過一點畫直線”這一數學事實的“要素”或“基本構成”作為思考的第一問題，引導學生抽象加工、鞏固深化，參與并體驗數學概念孕育、發展的全過程，從而對所學概念能夠正確理解，并會靈活運用.培養學生抽象思維，使數學核心素養的種子生根.

基于本原性問題的課堂形態應該是本真的、自然的、和諧的.具體而言，一是本原的教學問題.即教學問題的選擇、設計與呈現，應以某個數學問題的“要素”或“基本構成”作為思考的第一問題，應該從學生的實際出發，與他們的真實需求相吻合，和他們的實際水平相匹配，而不能只憑教師的才能或特長來“量身定制”；二是自然的教學過程.無論是教學流程的設計，還是教學活動的開展，都必須符合學生的學習規律和心理特點，教師不應包辦代替，更不能揠苗助長；三是和諧的教學氛圍.課堂上要力求建立一種良好的“情緒場”，使整個教學過程彌散著一種和諧融洽、振奮飽滿的氣氛.

(2) 甘做學生思想的助產婆，使思維還原稚化，在學生參與數學學習的設計過程中，讓數學核心素養發芽

在數學課堂教學中，并存著三種思維活動，即數學家的思維活動、教師的思維活動以及學生的思維活動.教學中應將三種思維過程盡量開放，使它們水乳交融、相映成輝，形成一個和諧互補的有機整體，從而有效地促進學生的思維發展.第一，要揭示數學家的思維過程.教師要撥開教材嚴謹、神秘的面紗，把蘊含在字里行間的科學家的思維結晶開發出來，讓學生循著前人的思維歷程去親身體驗，使他們不僅從中獲取知識，更能受到數學思維的熏陶.第二，要展現教師的思維過程.教師要敢于并善于把自己原始的思維過程充分展現在學生面前，讓他們去評價、思索，從而達到啟迪學生思維的目的.第三，要暴露學生的思維過程，通過上課、提問、練習等方式，使學生的思維活動軌跡自發地暴露出來，學生迸發出可貴的思維火花，這是本原性問題產生與發展的源泉，是課堂教學的亮點所在.

在上述三種思維活動中，教師的思維活動起著承上啟下的作用，因而是關鍵.常見有的教師對教學內容爛熟于心，講起課來行云流水，但教學效果卻不盡人意.究其原因，是因為他居高臨下，難以深入淺出.教師的思維說到底是為學生的思維服務的，兩者不能脫節，為此，教師應有意識地將自己的思維還原稚化.所謂“還原”，就是把教師的思維過程充分地展現出來；所謂“稚化”，就是讓教師的思維回到學生思維的原始水平上去，從本原問題出發，使師生的思維活動能夠做到起點同步，發展同頻，最終達成思維共振的最佳狀態.比如本節課中引導學生對線段射線和直線的表示方法的探索過程，教師不是將表示方法簡單告知，而是將思維還原，把三種圖形表示方法的思維過程充分展示，回到學生思維的原始水平上去，尋找表示方法的依據，將他們推到一種“心求通而未得，口欲言而不能”的憤悱狀態，然后再予以點撥開導，讓學生得出所有的表示方法并內化.

引導學生思維的最好的辦法，就是教師做“學生思想的助產婆”. 引導學生去追溯數學家思考、研究的源頭，從本原性問題出發，領略他們精巧的設計、獨到的方法或深刻的分析，從中汲取數學思想的營養，讓數學核心素養的種子發芽.

(3) 拓展學生思維的跑馬場，使教學留有余地，在學生探尋數學概念的發現過程中，讓數學核心素養生長

數學的結論，反映的是數學概念之間的聯系，所以，課堂教學不應急于把這些前人獲得的結論直接端給學生，而應給學生留有足夠的思維時空，經歷必要的探尋數學概念的發現過程，即在教師的指導下，讓學生去揭示并感受數學結論發生的原因、形成的經過、以及發展的方向，使他們在獲取數學知識的同時，還能從中汲取前人的智慧，領悟思想方法，陶冶科學精神，讓數學核心素養生長.

比如本節課學生所 經歷的從“兩點確定一條直線”“經過平面上三點中的兩點可以畫幾條直線”“經過平面上若干個點中的兩點可以畫幾條直線”的過程，一直是在本原性問題的導引下， 學生自己感受數學結論發生的原因、形成的經過、以及發展的方向，在這個過程中，學生學會類比、抽象，數學概念教學的成效深深地影響了學生數學后續學習能力.

綜上，數學概念的課堂教學一定要注重概念的本質挖掘，要讓學生在數學概念學習中充分體驗概念的形成過程，理解概念的本質屬性，從而形成一種形式化的概念表達；數學概念學習的過程應該是問題驅動的過程，而且應該是涉及概念本質的數學本原性問題驅動學習的過程；教師在數學概念課堂教學的各個環節中，要為學生提供充分的數學本原性問題，并能在教學過程中把握、發展學生提出的數學本原性問題，才能真正實現數學本原性問題的教學價值，達到發展學生核心素養的目的.