關于分離參數法在解決函數方程實根問題的研究

摘 要：分離參數法：眾所周知，就是求誰的參數就把誰分離出來研究，我們知道這是在解決不等式問題時常用的方法。但是，其實利用它的原理，我們可以把它用來解決函數方程的實根問題。

關鍵詞：分離參數法；不等式問題；函數方程

一、 應用舉例

讓我們看一看以下例題：

例1 （2017年山東省實驗中學月考）是否存在實數m，使函數f（x）=x2-（m-1）x，f2m在區間[0，1]上有且只有一個零點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由。

解析：對于這類問題，一般解法：

（1） 當方程x2-（m-1）x+2m=0在[0，1]上有兩個相等實根時，則

（2） 當方程x2-（m-1）x+2m=0有兩個不等實根時

（a）有且只有一根在（0，1）上時，有f（0）f（1）<0即2m（m+2）<0，所以

m<0m+2>0或m>0m+2>0解得-2

（b）當f（0）=0時，m=0，令f（x）=x2+x=0，解得x1=0，x2=-1符合題意。

（c）當f（1）=0時，嗎，令f（x）=x2+3x-4=0，解得x1=1，x2=-4，符合題意。

綜上所述，實數m的取值范圍為[-2，0]。注：求解本題不僅應注意到函數的零點應用f（1）*f（0）<0，而且也應該注意問題其他形式：（1）在[0，1]上有二重根；（2）端點函數值可能為0.。因此，我們由上述過程，不難看出：討論很復雜。盡管思路清晰，但仍避免不了大量的分類討論，易出錯。

讓我們看一下如下巧解：

解：令f（x）=0得：x2-（m-1）x+2m=0

所以m=x2+xx-2

設y=x2+xx-2所以yx'=（x2+x）′（x-2）-（x2+x）（x-2）′（x-2）2

=（x-2）2-6（x-2）2

因為x∈[0，1]

∴1≤（x-2）2≤4

∴-5≤（x-2）2-6≤-2

即（x-2）2-6<0

∴（x-2）2-6（x-2）2<0

∴y2x<0

故函數y=x2+xx-2在

[0，1]上單調遞減，

∴當x=0時，ymax=0

當x=1時，ymin=12+11-2=-2

∴y∈[-2，0]

即此時，m∈[-2，0]

我們不難從上例題看出，此做法十分簡單，不管它如何，我們只把參數分離開，用x表示參數。因為題目已給出了x的取值，再利用單調性及函數相關知識即可求出。

我們再來看一道例題：

例2 已知方程x2+3ax+4=0，在（1，2）有實根，求a的取值？

解析：方程在一個區間內有實根，我們知道可轉化成其對應的方程的函數f（x）在這個區間有零點，這也就轉化成零點問題。但是零點問題，由上我們已得出可以利用分離參數函數來解決，所以解題如下：

解：∵x2+3ax+4=0，x∈（1，2）

∴-3a=x2+4x=x+4x

設y=x+4x，∴yx′=1-4x2

∵x∈（1，2）

∴1

∴12<1x2<1

∴2<4x2<4

∴4x2>1

∴1-4x2<0

即yx′<0，故函數y=x+4x在區間[1，2]上單調遞減

∴當x=1時，ymax=1+41=5

當x=2時，ymin=2+42=4

故函數y=x+4x在區間（1，2）上值為（4，5）

∴y∈（4，5）即-3a∈（4，5）

故a∈（-53，-43）

二、 總結

其實，對于普遍的一個零點問題，方程實根問題，都可以利用分離參數法來思考。因為題目已給出了實根、有零點，勢必分離出來的參數所對應的關于x的方程在一個區間上是恒成立的。它的最后解集是將所有取值并起來。因為并集本身是取值范圍更大的子集，而分離參數法則省去了中間求解，參數取值集合子集的步驟，直接求出大的集合。即不論用x表示出的方程所對應的函數單調性如何，只要利用單調性求出值點，進而推出最值點，便得取值范圍。

參考文獻：

[1]張文鵬.初等數論[M].陜西師范大學出版社，2007.

[2]李文林主編.王元論哥德巴赫猜想[M].山東教育出版社，1999.

[3]潘承洞，潘承彪著.初等數論[M].北京大學出版社，1992.

[4]潘承洞，潘承彪著.解析數論基礎[M].科學出版社，1991.

作者簡介：

劉書岳，廣東省潮州市，饒平縣第二中學。