利用積分和式求極限的方法探索

摘 要：求極限值有若干方法，本文結合考研熱點，介紹利用積分和式求某類數列極限的方法。

關鍵詞：數列；極限；定積分；夾逼定理

研究生入學考試中，極限的求法是考查的熱點問題。結合歷屆考研情況，總結一類關于“有n項相加或有n個因式的積的數列”的題型，利用以下定理來求解。

定理：設f（x）在[0，1]上連續，un=1n∑ni=1f（in），則limn→∞un=limn→∞1n∑ni=1f（in）=∫10f（x）dx。

證明：f（x）在[0，1]上連續，則f（x）在[0，1]上可積，取[0，1]等分分割T：

0<1n<2n<3n<…

limn→∞un=limn→∞1n∑ni=1f（in）=lim‖T‖→0∑ni=1f（ξi）Δxi=∫10f（x）dx。

例1 （天津大學）求極限limn→∞1nln1+1n1+2n…1+nn

解：設un=1nln1+1n1+2n…1+nn=1n∑ni=1ln1+in，令f（x）=ln（1+x），則f（x）在[0，1]上連續，于是limn→∞un=limn→∞1n∑ni=1ln1+in=∫10ln（1+x）dx=2ln2-1。

例2 求極限：limn→∞（nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2）= 。

解：原式=limn→∞1n（n2n2+1+n2n2+22+…+n2n2+n2）=limn→∞1n∑ni=111+in2=∫1011+x2dx=π4

例3 （2017年全國數學一10分）求極限limn→∞∑nk=1kn2ln1+kn。

解：設f（x）=xlnx，則f（x）在[0，1]上連續，

原式=limn→∞∑nk=11nln1+knkn=limn→∞1n∑nk=1knln1+kn=∫10xln（1+x）dx=ln2

例4 （北京大學1998）求：limn→∞sinπnn+1+sin2πnn+12+…+sinnπnn+1n。

解：設un=sinπnn+1+sin2πnn+12+…+sinnπnn+1n

則：un<1nsinπn+sin2πn+…+sinnπn=1n∑ni=1siniπn，

而limn→∞1n∑ni=1siniπn=∫10sinπxdx=2π

又un>1n+1sinπn+sin2πn+…+sinnπn=nn+11n∑ni=1siniπn

limn→∞nn+11n∑ni=1siniπn=∫10sinπxdx=2π

由夾逼定理知limn→∞sinπnn+1+sin2πnn+12+…+sinnπnn+1n=2π

綜上，有n項相加或有n個因式的積的數列的極限，可以轉化為積分和式，然后利用定積分求極限。有時不是積分和式，可以適當放大縮小轉化為積分和式，再利用夾逼定理進行求解。

參考文獻：

[1]李永樂，王式安，季文鐸.考研數學復習全書[M].北京：國家行政學院出版社，2016.

[2]張華珍.用定積分法巧求數列極限[J]安徽文學，2006，12：77-78.

[3]全國碩士研究生入學考試輔導用書編審委員會.全國碩士研究生入學考試十年真題（數學一）[M].北京大學出版社，2009.

作者簡介：

李青柏，云南省昭通市，昭通學院數學與統計學院。