葉柵葉型正反設計的伴隨優化方法

朱玉杰,琚亞平,張楚華

(西安交通大學能源與動力工程學院,710049,西安)

提高壓氣機葉柵氣動性能、擴大其穩定高效運行范圍,始終是流體機械及工程、空氣動力學等學科,以及風機、航空等工業領域的關注重點。發展先進的葉柵葉型設計優化方法是其重要基礎,一般而言,葉柵葉型優化設計可以分為正問題設計和反問題設計兩大類[1]。

正問題優化設計方法是預先給定葉片幾何尺寸和來流條件,根據流場分析或性能試驗結果修正原始幾何尺寸,直到獲得性能最優的葉型幾何,這種方法可以直接得到對應性能的葉型,但一般耗時較大。盡管近似模型和隨機性優化方法的發展極大提高了正問題優化求解的效率[2-4],但其大多局限于處理維數較低的壓氣機葉柵氣動優化問題。當維數較高時,所需計算成本會急劇增大,面臨“維數災難”問題[5]。而因為伴隨變量的引入,基于最優控制理論的伴隨方法,具有計算量與設計變量數目基本無關的優點[6-10],為壓氣機葉柵高維氣動的正問題優化設計提供了新的有效途徑。

反問題優化設計通過預先給定葉片表面馬赫數或者壓力的分布規律等氣動控制參數,定制出滿足特定氣動需求的先進葉型。反問題優化求解可以實現葉柵葉型精細化設計,精確控制葉柵內部和葉片表面氣動參數分布。通常的反問題設計是采用虛位移概念將目標控制參數與邊界條件聯系起來修改葉型[11-14],這種方法的邊界更新方式一般比較復雜,且易因更新過程中的過修改引起計算的不穩定。相比而言,通過引入伴隨變量將反問題設計轉化成優化問題的伴隨方法,因為設計變量的更新與目標函數的梯度方向相關而使得計算收斂更加穩定。然而,由于目標氣動參數的給定往往與設計者的經驗相關,現有研究中,關于目標氣動參數的給定形式仍較為模糊,沒有簡單的規律可循[15],這從一定程度上限制了反問題的優化求解方法在流體機械設計中的應用發展。

因此,本文基于連續型伴隨方法理論,分別建立了集葉片幾何參數化、網格生成、流場求解、伴隨場求解與優化求解于一體的葉柵葉型正、反問題設計優化求解方法。基于對葉柵正問題優化求解所得葉片表面壓力分布的分析,給出在更大進口氣流角情況下的葉柵反問題優化求解所需目標壓力分布,旨在對葉柵內部流動分離進行進一步控制,進而提高葉柵氣動性能。

1 流動方程及數值方法

在二維笛卡爾坐標系下,非定常可壓縮Navier-Stokes方程可寫成如下形式

(1)

式中:Q、fi、fvi分別為守恒變量、對流通量、黏性通量;xi為笛卡爾坐標分量,i=1,2,t為時間。為使方程組封閉,采用S-A方程湍流模型。數值模擬通過已驗證有效的自編程序[7]來實現,其中時間項采用五步Runge-Kutta法離散,對流項采用二階中心格式結合人工黏性方法離散,黏性項采用二階中心格式離散,同時采用多重網格、當地時間步長和隱式殘差光順技術加速收斂。

2 正問題設計伴隨方程

根據伴隨方程推導過程及最終形式的不同,伴隨方法分為離散型伴隨方法和連續型伴隨方法。考慮到連續型伴隨方法具有物理意義明確、表達形式簡潔直觀等特點[16],本文基于該方法,建立與平面葉柵葉型正問題和反問題設計優化目標相對應的伴隨方程及其邊界條件。

在平面葉柵葉型正問題優化求解中,以出口總壓損失最小作為優化目標,即

(2)

式中:p0為給定進口總壓;pt為總壓;ΔS為葉柵出口面積;ds為面積微元。在優化循環中,忽略湍流黏性系數的改變。引入伴隨變量ψ={ψ1,ψ2,ψ3,ψ4}T,在流動區域內各點計算其與流動方程變分的內積,將結果代入目標函數在設計變量發生微小改變時的變分表達式,可得

(3)

式中:D為計算區域;dv為體積微元。為將式(3)中流動變量變分有關項和設計變量變分有關項分離,引入流動變量空間導數的變分關系式[7],并結合高斯積分公式,式(3)中右端第4項轉換為

(4)

(5)

式(4)中右端第4項轉換為

(6)

在計算區域D內,將式(5)、(6)代入式(3)即可實現目標函數變分表達式中流動變量變分項和幾何變量變分項的分離。為消除目標函數變分對流動變量變分項的依賴,并引入虛擬時間導數項以便數值求解,可得如下伴隨方程

(7)

同時,由式(3)(4)(5)可知,在計算區域邊界,影響目標函數變分的流動變量變分項為

(8)

由式(8)可得伴隨方程的進出口邊界條件

(9)

在固壁邊界,采用絕對無滑移絕熱邊界條件,則

(10)

由式(2)可得伴隨方程的固壁邊界條件

(11)

式(7)(9)(11)加之周期邊界共同組成了以出口總壓損失最小為目標的葉柵葉型氣動優化伴隨方程及其邊界條件。在此基礎上,考慮進出口網格節點固定以及出口面積不變的特點,即δxi=δΔS=0,目標函數變分的最終表達式為

(12)

3 反問題設計伴隨方程

在平面葉柵葉型反問題優化求解中,以葉片表面與目標壓力分布差值最小為目標函數,即

(13)

式中:ptar為目標壓力。類似上述推導[7],可得伴隨方程

(14)

進出口及固壁邊界條件

(15)

目標函數變分的最終表達式

(16)

4 葉柵葉型設計優化算例

基于流場和伴隨場數值求解方法,完成流場和伴隨場數值求解并獲取目標函數梯度,最后采用BFGS擬牛頓法、一維尋優法確定尋優方向和尋優步長[7]。

4.1 正問題設計算例

選取NACA 65-(12)10葉型為原始葉型,流場計算條件是:進口總溫為300 K,進口總壓為101 325 Pa,出口靜壓為92 563 Pa,葉片安裝角為25.9°,進口氣流角為42.0°,弦長l為0.127 m,相對柵距為1.0。對葉柵葉型進行正問題設計優化求解,以期減少葉柵總壓損失。

分別采用6次Bezier曲線對原始葉型壓力面和吸力面進行擬合,選取Bezier曲線控制頂點的10個縱坐標為設計變量。在優化過程中,為避免葉片幾何型線不合理現象并約束葉片厚度,控制吸力面和壓力面的第2、第6個Bezier控制點的變化范圍在±5%以內,其他控制點的變化范圍在±15%以內;為保證葉柵做功能力以及葉型幾何在前緣的一階連續,固定葉片前尾緣不動,吸力面的第2個和第6個Bezier控制點分別限制在S1S2及S6S7兩條線上移動,壓力面的第2個和第6個Bezier控制點分別限制在P1P2及P6P7兩條線上移動,如圖1所示。經過9個優化迭代步之后,計算收斂。為評估正問題優化設計結果,分別通過表1和圖2給出了優化前后葉柵總壓損失系數和葉柵流場葉片尾緣速度矢量的局部放大圖。由表1可知,葉柵總壓損失系數下降至0.002 32,相比于優化前的0.002 46,下降約5.69%。由圖2可知,優化前葉柵流道在葉片尾緣附近存在著明顯的流動分離,而優化后流動分離得到有效抑制,流動損失降低,葉柵氣動性能得到改善。

圖1 Bezier曲線及其控制點

葉柵總壓損失系數靜壓比原始葉型0.002 461.069 6正問題解0.002 321.071 0變化量/%-5.690.13

(a)優化前

(b)優化后圖2 正問題設計的葉片尾緣速度矢量分布

圖3 正問題設計優化前后葉型對比

為進一步了解葉型對葉柵氣動性能的影響,對比了正問題設計伴隨方法優化前、后的葉型,如圖3所示。由圖3可知,優化所得葉型尤其是吸力面葉型曲線較初始葉型沿弦線方向變化平緩,曲率減小,對應葉型彎度變小。由氣動角度看,這一幾何特征有利于降低葉片中后部逆壓梯度,減小流動分離,與優化結果一致,如圖4所示。本文以葉柵出口總壓損失最小為目標的正問題設計優化方法,可以有效降低葉柵流道損失,提高葉柵效率。

圖4 正問題設計的葉片表面壓力

4.2 反問題設計算例

文獻[7]中驗證了本文反問題優化求解方法可以有效獲得表面壓力分布逼近目標壓力分布的葉型。本算例擬開展更大進口氣流角條件下的葉柵葉型反問題優化求解設計,初始葉型采用NACA 65-(12)10翼型,改變流場進口氣流角為43.5°,其他計算條件均與4.1節算例相同。初始葉柵葉片尾緣速度矢量圖如圖5所示,可知在葉片尾緣附近存在明顯的流動分離現象。

本算例擬從減弱流動分離的角度出發,通過給定合適的葉片表面目標壓力分布,實現對葉柵葉型反問題設計的優化求解。由載荷分布角度可知,優化后為前加載,優化后的葉片載荷較優化前在前緣附近有明顯的增加,在葉片20%～80%弦長范圍內有所減小;由壓力梯度的角度可知,優化后從葉片中前部開始,逆壓梯度減小,具體表現為優化前吸力面壓力在2%～30%弦長范圍內,上升趨勢平緩,在30%～80%弦長范圍內,上升趨勢陡峭,而優化后,在30%～80%弦長范圍內吸力面壓力上升曲線平緩。基于上述流場分析,為減小43.5°進口氣流角下的流動分離,根據分析所得正問題優化后相對于優化前的葉片表面壓力分布變化趨勢,對反問題初始葉型表面的壓力分布做相應修正,從而給出該進口氣流角條件下的理想目標壓力分布,如圖6所示。

經過9步迭代,計算收斂。為了便于對比分析,圖6同時給出了反問題設計優化求解后的壓力分布。由圖6可知:反問題設計優化求解所得壓力分布很好地逼近了目標壓力分布;相比初始壓力分布,優化后壓力分布為前加載,在吸力面30%～80%弦長范圍內逆壓梯度減小,壓力上升較為平緩。

圖5 43.5°進口氣流角下葉片尾緣速度矢量分布

圖6 反問題設計的葉片表面壓力

圖7 反問題設計的葉片尾緣速度矢量分布

圖8 反問題設計優化前后葉型對比

為評估反問題優化設計結果,驗證所給目標壓力分布有效性,優化后葉柵流場葉片尾緣速度矢量的局部放大圖如圖7所示,優化前后葉柵總壓損失系數和靜壓比對比如表2所示。相比于圖5，圖7所示的葉片尾緣附近的流動分離得到明顯減弱。由表2可知,優化后靜壓比基本不變,而總壓損失系數減小了4.50%,葉柵氣動性能得到提升,高效穩定運行范圍有所拓寬,從而驗證了所給定的目標壓力分布是合理有效的。為進一步了解葉片表面壓力分布對葉型的控制,對比了優化前、后的葉型幾何,如圖8所示。由圖8可知,優化后葉片吸力面型線較優化前更為平緩,變化趨勢與圖3中正問題優化求解結果類似,說明所給定的目標壓力分布能夠有效控制葉型。

5 結 論

(1)發展了針對葉柵葉型正反問題設計的伴隨優化方法和數值模型,實現了對葉柵葉型正問題和反問題設計的優化求解。新設計出的葉型葉柵氣動性能均優于原始葉柵,驗證了該優化求解方法和模型的有效性,展示了該方法和模型在提高葉柵葉型氣動性能方面的優化能力。

(2)對葉柵葉型正問題設計優化求解所得葉片表面壓力分布進行分析,可以給出較優的葉柵葉型反問題設計目標壓力分布,較好地解決反問題中難以給定氣動控制參數的問題。

(3)對NACA 65-(12)10葉型的優化結果表明,在所研究的進氣條件下,葉柵葉型吸力面曲率減小、葉片彎度降低的幾何特征以及葉片前加載方案、吸力面中后部逆壓梯度減小的氣動特征,有利于抑制或消除葉柵葉片尾緣流動分離現象,提高葉柵葉型氣動性能。