一道題目引發的思考

摘 要：《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出“數學教學不僅要使學生獲得數學的知識技能，而且要把知識技能、數學思考、問題解決與情感態度四個方面目標有機結合，整體實現課程目標。”而這些目標的達成，無疑需要教師的精心設計。現結合自己平時的實踐教學在此撰寫成文，與大家交流。

關鍵詞：數學課程；教學方法；散發思維

一、 原題呈現

如圖1，直線m、n相交于點B，且兩直線所夾銳角為40°，點A是直線m上的點，在直線n上找一點C，使△ABC是等腰三角形，則這樣的點C有多少個？

分析：本題是等腰三角形部分的一道典型的分類討論的題目，重點在于需分三種情況討論，難點是答案的完整性。

符合條件的點有三種情況：①若AB=AC，則所求點C為以A為圓心，AB長為半徑的圓與直線n的交點；②若BA=BC，則所求點C為以B為圓心，BA長為半徑的圓與直線n的交點；③若CA=CB，則所求點C為線段AB的垂直平分線與直線n的交點；如圖2，共有四個點。

思考：教師在講評以上例題的時候，除了對題目的分析和講解之外，還能夠從中聯系到哪些內容？筆者認為可以由以下三個方面入手：（1）該題涉及等腰三角形的問題，那么對于等腰三角形，學生能聯想到的主要性質有哪些？（2）該題用到了分類討論的思想，學生還能想到哪些分類討論的題型？（3）是否能對該題做出變式？

二、 思維的發散

發散性思維，又稱擴散性思維、輻射性思維、求異思維。它是一種從不同的方向、途徑和角度去設想，探求多種答案，最終使問題獲得圓滿解決的思維方法。我們常講，要培養學生的發散性思維，那么在此之前，是不是應該先提高教師的發散性思維呢？

（一） 基礎知識方面

例1 已知實數x，y滿足x2+3x+y-3=0，則x+y的最大值為 .

分析：由本題的已知條件可得x+y=-x2-2x+3，則本題轉變為求-x2-2x+3的最大值。因為-x2-2x+3=-（x+1）2+4，最大值為4，所以x+y的最大值為4。

聯系：本題涉及了二次函數的最值問題和多項式的因式分解，因而，在聯系到的基礎知識主要有兩個方面：（1）多項式的因式分解：①什么是因式分解？②因式分解的方法有哪幾種？③因式分解的過程中需要注意哪些問題？④在哪些題型中會用到因式分解？（2）二次函數：①二次函數有哪幾種形式？②這幾種形式如何確定二次函數的頂點坐標及對稱軸？③結合圖像分析二次函數的性質；④二次函數的最值問題。

學生對知識的掌握，不僅體現在對新知的學習，同時更應該加強對所學過的知識的鞏固，從而才能夠達到融會貫通，靈活運用。而知識的鞏固不應只是在單純的復習課中進行，而應該滲透在平時的整個上課過程中，真正地做到“溫故而知新”。

（二） 解題方法方面

例2 如圖3，已知線段AB=AC，E是AC延長線上一點，且有BF=CE，連接FE交BC于D，求證：DF=DE。

解法1 如圖4，圖5，過點F或點E作等腰三角形一腰的平行線，構造全等三角形，再通過全等三角形的對應邊相等，得到所求證的結論。

解法1的兩種輔助線雖稍有不同，但都是通過構造全等三角形得到的，思路簡單，教師上課的過程中大多選擇的是這種做法。那么本題是否還可以有其他的解法呢？相信很多學生在思考的過程中會嘗試著添置輔其他助線。他們的方法是否可行？若是可行又該如何解答？這時，教師可以把一些不同的輔助線添置方法展示出來，與學生共同探討。

解法2 如圖6，圖7，過點F或點E作等腰三角形底邊的平行線，由平行線分線段成比例，或構造相似三角形可得結論。

解法3 如圖8，作△BDF關于BC的軸對稱圖形△BDN，連接FN交BC于G，連接NE。可證四邊形BNEC是平行四邊形，結合平行線分線段成比例可得結論。

解法2、解法3都用到了三角形相似、成比例線段的性質，其中，解法3還用到了軸對稱的性質。相較于解法1應用三角形全等證明的簡潔明了，后面的幾種方法所用的知識會更復雜，對學生的綜合能力要求也更高。

那么通過這同一道題目不同解法之間的比較，可以開闊學生的解題思路，提高解題的應變能力，克服思考問題的片面性。

（三） 變式題方面

例3 如圖9，在△ABC中，過點A作直線l與線段BC相交，在直線l上取點D、E，使得△BAD≌△ACE，試說明：BD=DE+CE。

本題是在三角形全等中較為典型的一道題目，運用三角形全等的性質進行解答，其難度值較低，學生大多能較為完整的做出解答過程。那么在基本不改變原圖的前提下，對原題目稍作修改，會怎樣呢？

變式一：如圖9，在△ABC中，AB=AC，過點A作直線l與線段BC相交，BD⊥l于D，CE⊥l于E，試說明：線段BD、DE、CE三者間的數量關系。

變式二：如圖10，在Rt△ABC中，AB=AC，過點A在△ABC外作直線l，BD⊥l于D，CE⊥l于E，試說明：線段BD、DE、CE三者間的數量關系。

變式三：如圖11，∠BAC=α，AB=AC，過點A作直線l，在l上取點D、E，使得∠BDA=∠AEC=α，試說明：線段BD、DE、CE三者之間的關系。

變式四：如圖12，已知∠BAC=120°，AB=AC，過點A作直線l，在l上取點D、E，使得∠BDA=∠AEC=120°，AG平分∠BAC，且△ABG與△ACG均為等邊三角形。連接DG、EG，試說明：△DEG是什么三角形？

變式一在原題的基礎上稍作變動，而難度與原題相仿，這樣的變式可以很好地檢測學生對原題目是否真正理解。變式二將原題中的△ABC特殊化成

Rt△ABC，這道題目也可以作為動點問題，即“將直線l繞點A旋轉至與BC沒有交點”，但其解題思路在本質上仍與變式一是相類似的。這個證明三角形全等的方法在正方形中也經常會用到。而變式三是變式二的推廣，將原先局限的特殊角90°推廣到了一般情況的角α，而圖形的簡化（省略了線段BC）也是對學生固有模式的一個考驗。

從變式一到變式四，每一次變式對題目的改動都是細微的，而題目的解題思路也是基本不變的，但就是這樣對題目細微的變化，往往可以檢測出學生對一道題目、一個知識點的理解及掌握程度。所謂“萬變不離其宗”，也正是這個道理。

三、 教師教學的思考

學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者；教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程。美國的教育心理學家大衛·奧蘇伯爾說過：“影響學生學習新知唯一重要的因素，就是學習者已經知道了什么，要探明這一點，并應據此進行教學。”在新時代的教學活動中，教師的“教”已不再是單純的知識的傳授，而應該更多的著重于教學活動的設計。所謂言傳身教，教師需在授課過程中做到舉一反三，對各部分知識融會貫通，才能把教與學更加巧妙地融合起來，達到教學活動的效率最大化。

參考文獻：

[1]余金紅，張棉仕.學生說課：數學教學的新舉措[J].中學數學教學參考：中旬，2015（5）：65-67.

作者簡介：林偉真，福建省漳州市，漳州實驗中學。