高等數學習題的多種解法及其價值探析
——以一道三重積分的幾種解法為例

丁艷風，時文俊

（鄭州升達經貿管理學院 基礎部，河南鄭州 451191）

高等數學是高等院校理工類學生的一門必修的公共基礎課,在后續課程的學習中起著非常重要的作用，直接影響著對后續專業課程的學習。哈爾莫斯說：“數學的創作絕不是單靠推論可以得到的，首先通常是一些模糊的猜測，揣摩著可能的推廣，接著下了不十分有把握的結論，然后整理想法，直到看出事實的端倪。往往還要費好大的勁兒，才能將一切付諸邏輯式的證明。這個過程并不是一蹴而就的，要經過許多失敗、挫折，一再的猜測、揣摩。在試探中白花掉幾個月的時間是常有的”。這些話運用到學習高等數學中也是適用的。因此,要學好高等數學,必須要多動腦思考，大膽嘗試，多做習題。

1 問題的描述

在高等數學的教學過程中發現，學生在剛接觸三重積分的時候，對應用哪種方法解決往往無所適從，甚至將所學的幾種方法混淆，導致解題錯誤。該文針對這種情況，利用一道計算題，通過對其使用多種方法計算，進行對比，使學生能夠更好地理解所學知識點，實踐證明，教學效果令人滿意。三重積分的計算首先是根據積分區域畫出的圖形及被積函數的特點，選擇恰當的坐標系，主要是在空間直角坐標系、柱面坐標系和球面坐標系下，然后根據選定坐標系和積分區域的特點將三重積分化為累次積分，即轉化為計算三次定積分進而完成三重積分的計算。因此，三重積分計算的關鍵是選擇恰當的坐標系及在選定坐標系下確定累次積分的積分次序和積分限。該文以一道練習題的求解為例,通過對同一道題的若干種求解方法的分析和對比,使學生對三重積分的各種計算方法有一個全面的認識,以熟練掌握三重積分的各種計算方法。這道練習題是:計算三重積分其中Ω是由曲面z=2-x2-y2及z=

2 解題的方法

三重積分的計算方法主要有： 在直角坐標系下：“先一后二”（投影）法、“先二后一”（截面）法、在柱坐標系下計算、在球坐標系下計算......面對這么多解法，我們選哪一種方法合適呢？ 由該題的被積函數為1，積分區域是規則的幾何圖形，很容易讓人想到能否利用幾何意義求呢？有此想法那么就付出行動，把積分區域Ω畫出來，根據Ω 的圖形第一種方法就產生了。

方法1： 三重積分的幾何意義法： 當被積函數為1時，三重積分的值等于積分區域Ω 的體積。該題的關鍵一步是畫出積分區域Ω 的草圖，根據已知條件，求出兩個曲面的交線為即在z=1 的平面上以（0，0）為中心，以1為半徑的圓。這樣就易做出Ω 的圖形如圖1所示。

圖1 三重積分的幾何意義

由圖1 易看到Ω 由兩部分組成，D1是以x2+y2=1為底，以旋轉拋物面z=2-x2-y2為側面的立體，此立體的體積可以利用二重積分的幾何意義：看成一個以x2+y2=1為底，以z=2-x2-y2為頂的曲頂柱體的體積再減去下方的一個圓柱體體積即可的到；D2是以x2+y2=1為底的圓錐，利用求體積公式，很容易D2的體積就求出來了。從而所求三重積分為：

此法的優點是避免了計算三重積分，對于三重積分沒有學好的學生不失為一個好方法。這說明遇到問題，多動腦還是能找到簡單的解決問題的方法的。

此法的優點是不需要把積分區域分成兩部分來做，只需看成一個整體就能求出。接下來考慮“先二后一”法。

方法2：“先二后一”法（截面法）方法3：“先一后二”法（投影法）

三重積分常用的方法是“先一后二”或者“先二后一”，我們先從“先一后二”開始，看看該題是如何解得。

首先根據已知題意先把積分區域的草圖畫出來，并求出各曲面的交線；其次將積分區域Ω 投影到坐標面xoy 上。得投影區域D是以（0，0）為中心，以1為半徑的圓域：Dxy={（x，y）|x2+y2≤1}，第三在投影區域Dxy上任取一點（x，y），過該點做平行于z 軸的射線穿過積分區域Ω，從而確定進入曲面所在的方程為z 的下限，離開的曲面所在的方程為z 的上限；最后根據Dxy的圖形為圓域，選用極坐標：先積r 后積θ 化為二次積分進行計算。則所求三重積分。

“先二后一”法又稱截面法，首先根據圖形的特點確定要投影的坐標軸，對于該題的具體做法如下。

首先根據圖形的特點將積分區域Ω 投影到z 軸上，則在z 軸上的投影區間為[0，2]。因為Ω 由兩部分組成，每一部分的截面不一樣，不能直接用截面法，需分兩部分：1)過[0，1]上任意點z 作垂直于z 軸的平面,則該平面與積分區域的截面在xoy 平面上的投影區域為圓域：Dz1={（x，y）|x2+y2≤z2，0≤z≤1}；2)：過[1，2]上任意點z 作垂直于z 軸的平面,則該平面與積分區域的截面在xoy 平面上的投影區域為圓域：Dz2={（x，y）|x2+y2≤2-z，1≤z≤2}。

則由積分區域的可加性及截面法可得所求的積分為：

“先二后一”法的適用范圍:（1）被積函數只含一個變量；（2）截面面積易求。

此法優點是：計算簡單，但是缺點是：需把積分區域分成兩部來做，若考慮不到就會出錯。

方法4：利用積分區域的對稱性求解。

因Ω 既關于yoz 平面又關于xoz 平面對稱，則積分區域可以分為相等的四部分，分別位于第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限。從而計算在Ω 上的三重積分就可以轉化為計算第Ⅰ卦限上的三重積分，再乘以4 即可。利用對稱性此三重積分化為（其中為在第一卦限的部分）

三重積分除了在直角坐標系下計算外，還有柱坐標下的計算，接下來我們考慮這種情況。

方法5：在柱坐標系中求解。

在柱坐標系中，作柱坐標變換x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，則積分區域Ω 變為Ω={（r，θ，z）|0≤θ≤2π，0≤r≤1，r≤z≤2-r2}，從而利用柱坐標變換得三重積分為：

柱面坐標法使用的范圍：（1）積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單;（2）被積函數用柱面坐標表示時變量互相分離。柱坐標系下的三重積分和直角坐標系下的極坐標計算三重積分區別不是很大，其實質是一樣的。

上述解法都是在不同坐標系下展開的。另一方面，因三重積分的積分區域為空間閉區域，則它與邊界上的曲面積分也應該是有聯系的，而高斯公式就是二者之間聯系的橋梁。通常我們是利用三重積分計算曲面積分，那么反過來能否利用曲面積分來計算三重積分呢？

由高斯公式：

要使二者相等，我們選取P=0，Q=0，R=z 即可，從而有：其中∑=∑1∪∑2，圖1 的D1，D2的外側分別記為：∑1，∑2,從而：

此方法計算并不麻煩，就是計算時要注意曲面的方向，平時不易想到。還有，用高斯公式時，右邊曲面積分中的被積函數不唯一，如：或等，此法雖沒有幾何意義、先一后二或先二后一簡單，但能發散思維，能更好理解三重積分和高斯公式。

3 結語

該文給出了一道三重積分計算題的六種解答方法，通過這道習題的練習,使學生在不同方法的對比中熟練掌握計算三重積分的方法。從而慢慢體會到:計算三重積分時，首先應根據積分區域和被積函數的特點選擇恰當的坐標系，其次根據積分區域的特點，確定選用什么方法。每做一道題之前，應該多問為什么。如此題還有沒有其他更簡單的解法，需要用到哪些知識點，這些知識點間的聯系是什么？ 此題能否根據幾何意義來解決呢？ ……在數學的學習中只有不斷地思考、體會、總結、學習，才能取得更大進步。