含空腔點陣增強夾芯結構的固有振動分析方法

王祖華，殷洪

武漢第二船舶設計研究所，湖北武漢430205

0 引 言

含空腔點陣增強夾芯結構由面板和內含多種組分的復雜芯層組成，是一種兼具力學和聲學性能的夾層吸聲復合材料。沿厚度方向植入的增強柱能夠較好地提高夾芯結構的承載能力［1］，在上、下面板之間使用合理布置的圓臺形空腔可以實現吸、隔聲功能［2］。含空腔點陣增強夾芯結構的芯層由芯材、周期性分布的點陣增強柱及空腔組成，其結構形式復雜，各結構組分的形狀、尺寸、材料參數均可影響整體結構的固有振動性能，故難以直接運用經典的層合板理論對其固有振動開展研究。

目前，針對芯層含內部組分的復合材料夾芯結構的振動研究方法，主要包括基于板殼理論的解析方法和有限元方法。王展光等［3］對金字塔點陣夾芯結構的動態力學響應進行了理論分析，其假設面板只承受面內軸力而不承受橫向剪力，腹桿承受橫向剪力而不承受軸力，從而將點陣夾芯板折算為等效的均質夾層板，采用Reissner夾層板理論，對其在自由振動和簡諧載荷作用下的受迫振動問題進行了研究。Lok和Cheng［4］通過將梯形棱柱點陣夾芯板等效為均勻的正交各向異性厚板，采用一階剪切變形理論，解決了在四邊簡支邊界條件下自由振動和簡諧載荷作用時的受迫振動問題。徐勝今等［5］采用Reddy高階剪切理論，對正交各向異性蜂窩夾層板進行分層研究，推導出了蜂窩夾層板的動力學基本方程，并對正交各向異性單向蜂窩夾層板的自由振動進行深入研究，給出了對邊簡支時的頻率方程和振型函數，同時分析了夾芯厚度及厚跨比對頻率的影響。Lou等［6］研究了復合材料四面體點陣夾芯結構的自由振動特性，通過對單胞進行受力分析，求得金字塔點陣芯子的等效橫向剪切模量，考慮面板的彎曲變形和芯子的剪切變形，根據哈密爾頓（Hamilton）變分原理推導自由振動控制方程，并求解了固有頻率的理論值。朱波等［7］應用ANSYS有限元分析軟件，采用8節點Solid 45實體單元，對建立的增強型夾層圓柱殼物理模型進行了自由振動及瞬態動力學過程分析，并考慮樹脂材料性能、尺寸和分布等參數變化，分析了點陣增強和齒槽增強對夾層圓柱殼動力學性能的影響。

前人使用的解析方法主要基于成熟的板殼理論，將含內部組分的芯層進行簡化等效處理，以方便控制方程的求解，從而對復合材料夾芯結構的振動特性進行分析。該類方法對于芯層內部組分材料相同、尺寸單一且分布形式相似的夾層結構具有一定的普遍適用性，但對于芯層內含2種以上組分，且組分材料不一、尺寸不同的夾層結構，則無法直接適用。

對于多組分復合材料的等效處理研究，Zhu等［8］基于廣義自洽法，采用分步均勻化等效的思路，獲取了電化學沉積修復飽和混凝土的有效性能。本文將借鑒文獻［8］提供的多層次均勻化等效思路，來處理含空腔、點陣增強柱和泡沫基體的復雜芯層的等效問題，并基于一階剪切變形的夾層板理論，對四邊簡支含空腔點陣增強夾芯結構的固有振動進行研究。

1 芯層的均勻化等效

含空腔點陣增強夾芯結構由面板和內含多種組分的復雜芯層組成，如圖1所示。該夾芯結構的芯層是由芯材、周期性分布的空腔和點陣增強柱組成的3相復合材料。研究夾芯結構固有振動的關鍵是解決含空腔、點陣增強柱和泡沫基體的復雜芯層的等效問題。本文基于Mori-Tanaka方法，采用多層次均勻化的思路對含復雜組分的芯層進行等效處理。

圖1 含空腔點陣增強夾芯結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

1.1 Mori-Tanaka方法

Mori-Tanaka方法是一種基于Eshelby等效夾雜理論求解復合材料等效彈性模量的細觀力學方法［9-10］。對于兩相夾雜復合材料，其有效模量表示為

其中，應變集中因子張量A為

式中：?為等效后復合材料的彈性常數張量；L0為基體相的彈性常數張量；I為四階單位張量；C1為夾雜相的體積比；L1為夾雜相的彈性常數張量；S為Eshelby張量，其值由L0和夾雜形狀決定。

Zhao等［11］給出了Eshelby張量S的表達式，當夾雜相為圓柱形，材料各向同性，泊松比為ν0時，其Eshelby張量S的矩陣形式可寫為

對于正交各向異性（各向同性為其中的特殊情況）材料，式（1）和式（2）中的彈性常數張量L，L0，L1均可表示為以下矩陣形式［12］：

式中：E11，E22，E33分別為彈性主方向上的彈性模量；G12，G23，G31分別為平面內的剪切模量；ν12，ν23，ν13為主泊松比；ν21，ν31，ν32為次泊松比。

將L0，L1的矩陣形式代入式（1）和式（2），可求出復合材料的等效彈性常數張量L?，對其矩陣形式求逆，就能較方便地得到各個等效彈性模量。

1.2 芯層的等效過程

對于周期性分布的增強柱及空腔的芯層結構，本文采用多層次均勻化等效的思路來獲取其等效彈性模量。

1）第1層次等效。

以泡沫芯材作為基體，空腔作為夾雜相，兩相復合成為含空腔泡沫芯層。空腔為圓臺形，在面內方向上，含空腔泡沫芯層可視作各向同性材料；考慮到本文主要研究的是芯層整體結構的固有振動，可通過體積平均，將圓臺形空腔近似視為圓柱形空腔來處理，進一步與芯材基體等效為正交各向異性材料，并記作等效復合材料A，等效過程如圖2（a）所示。利用式（1）和式（2），即可求得復合材料A的等效彈性模量。為避免計算過程中出現的奇異問題，將空腔視作一種彈性模量和泊松比都非常小的材料［13］。

采用體積平均方法將圓臺形空腔等效為圓柱形空腔，其等效直徑為

式中，?1，?2分別為圓臺形空腔的上、下端直徑。

2）第2層次等效。

以等效復合材料A為基體，點陣增強柱作為夾雜相，兩相復合進行第2層次的等效。由于增強柱為圓柱形，可以將復合材料等效為正交各向異性材料，并記作等效復合材料B。采用Mori-Tanaka方法，將式（3）和式（4）代入式（1），即可求得正交各向異性等效復合材料B的等效彈性模量。等效過程如圖2（b）所示。

圖2 含空腔點陣增強芯層等效為正交各向異性材料的過程Fig.2 Process of the lattice-reinforced core with cavities equalizing to orthotropic material

由上述多層次均勻化等效過程可知，等效復合材料B的模量即可反映含空腔點陣增強芯層的宏觀力學性能。

2 一階剪切變形的層合板理論

取芯層中面作為坐標平面，含空腔點陣增強夾芯結構共 3 層，h0，h1，h2，h3分別為各層厚度，如圖3所示。

根據一階剪切變形的假設，層合板內任意一點在x，y，z方向上的位移u，ν，w可表示為

圖3 含空腔點陣增強夾芯結構截面示意圖Fig.3 Layered section diagram of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

式中：u0(x，y)，ν0(x，y)和w0(x，y)分別為層合板中面上對應位置點在x，y，z方向的位移；φx(x，y)和φy(x，y)分別為法線在x，y方向的轉角；t為時間。

根據小變形假設，任意位置處的正應變εx，εy和剪應變γxy，γxz，γyz分別為：

對于正交各向異性材料，應力σx，σy和τxy的應變關系滿足下式：

式中，Q11，Q12，Q22和Q66分別為各層的剛度系數，計算公式如下：

截面合力N=（Nx，Ny，Nxy）T及截面彎矩M=（Mx，My，Mxy）T為

式中，矩陣元素Aij，Bij，Dij是關于Qij及厚度方向坐標z的積分，表達式分別為：

對于一階剪切變形理論中自由邊界上的剪應力不為0的矛盾，此處按照剪切余能相等的原則，假定剪應力在厚度方向呈拋物線分布，進行修正并推導正交各向異性夾層板的剪切剛度為：

式中：h為層合板總厚度；Hi為中間過程量，

從而夾層板的剪應力可以寫為

由哈密爾頓原理，可推導出層合板結構真空中的固有振動方程為

式中：為單位面積層合板的質量；Q為單位面積層合板的分布質量在平動和轉動發生耦合時的耦合慣量；I為單位面積層合板的分布質量對所取坐標系的轉動慣量，相應的表達式為：

式中，ρ為各層材料的密度。

在四邊簡支邊界條件下，采用雙三角級數解法，可對層合板的固有振動方程式（15）進行求解，得到

式中：u0mn，v0mn，φxmn，φymn和wmn為廣義位移幅值，是待定的值；m和n分別為板振動時在x，y方向的半波數；a，b分別為夾芯板的長度和寬度。取式（17）第m×n項，代入式（16），并在方程兩邊分別乘上對應的三角函數表達式，利用三角函數正交性解耦，可得到關于廣義位移幅值的線性方程組，取該方程組的系數行列式值為0，即可求得各階模態的固有頻率。

3 算例及結果討論

3.1 算例模型

圖4所示為含空腔點陣增強夾芯結構模型的尺寸示意圖。圖中：c為芯材厚度，f為面板厚度，d為支柱間距，?為增強柱直徑，?1，?2分別為圓臺形空腔上、下端直徑。具體尺寸如表1所示。

由夾雜相的周期性分布規律，取單胞長、寬、厚依次為60，60，40 mm，增強柱體積比RVR為2.18%，空腔的體積比RVC為9.45%。

圖4 含空腔點陣增強夾芯結構尺寸示意圖Fig.4 Schematic diagram of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

表1 含空腔點陣增強夾芯結構的尺寸參數Table 1 Dimension parameters of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

表2給出了含空腔點陣增強結構使用的材料參數。其中，面板為正交各向異性材料，泡沫芯材和增強柱視為各向同性材料。

表2 含空腔點陣增強夾芯結構的材料參數Table 2 Material parameters of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

在ANSYS有限元軟件中輸入正交各向異性材料的材料參數時，3個平面的剪切模量設置為相同的值，厚度方向的楊氏模量Ez也近似用Ex或者Ey代替。

3.2 本文方法與有限元方法對比

采用3.1節的模型尺寸參數，在ANSYS有限元軟件中建立含空腔點陣增強夾芯結構的詳細模型，圖5所示為其局部剖面圖。圖中，面板采用Shell 181單元，泡沫芯材、增強柱均采用Solid 185單元。劃分網格計算至結果收斂，網格數為73 367。計算固有振動頻率，并對計算結果進行分析討論。

對上述夾芯結構進行四邊簡支約束，計算其在真空中的固有振動，提取前5階彎曲固有模態結果。表3給出了相應的固有頻率。在采用解析法計算的過程中，為避免出現奇異問題，將空腔視作一種彈性模量和泊松比都非常小的材料，通過對空腔彈性模量Ec和空腔泊松比ν0展開收斂性分析，在Ec不大于芯材基體模量的0.001倍（Ec≤0.001Em），同時空腔的泊松比不大于芯材基體泊松比 νm(νc≤ νm)時，滿足計算要求。

圖5 含空腔點陣增強夾芯結構模型局部剖面圖Fig.5 Partial section of the lattice reinforced sandwich structure with cavities

表3 含空腔點陣增強夾芯結構的固有頻率Table 3 Natural frequencies of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

從表3中可以看出，本文方法的固有頻率解析解與含空腔點陣增強結構詳細模型的有限元計算結果吻合得較好，前5階固有頻率的相對誤差不超過2%。如圖6所示，隨著彎曲模態階數的逐漸增大，當低于40時，固有頻率的相對誤差基本穩定在6%以內；當上升至40以上時，部分階數的固有頻率的相對誤差迅速增大至10%以上。

圖6 含空腔點陣增強夾芯結構的前50階彎曲模態固有頻率Fig.6 The first 50thorder bending mode natural frequencies of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

表4給出了固有頻率相對誤差超過10%的部分模態的詳細信息。表中，固有頻率相對誤差較大的模態振型呈現如下規律：半波數在長度方向超過9或在寬度方向超過5。提取第41階模態（固有頻率為3 873.4 Hz）云圖分析，并與解析法云圖對比，結果如圖7所示。當振型半波數為1×6時，模態整體基本相似，但含空腔點陣增強結構的有限元云圖出現了明顯的局部模態特征。其他固有頻率相對誤差大于5%的模態階數對應的云圖也表現出了類似的特征。

表4 相對誤差超過10%的部分模態詳細信息Table 4 Details of some modes with relative error exceeding 10%

圖7 含空腔點陣增強夾芯結構等效模型第41階模態Fig.7 The 41thmode of the lattice-reinforced sandwich structure with cavities

結合上述分析，考慮到本算例中含空腔點陣增強夾芯結構的內部周期性分布了9×5個增強柱和8×4個空腔，可以總結得出，在模態振型半波數超過對應方向的內部夾雜結構數量時，增強柱和空腔的局部模態對實際夾芯結構的整體模態影響較大，導致本文采用解析法和有限元方法得到的固有頻率的相對誤差快速增大；而對于前40階模態，在模態振型半波數不超過對應方向的內部夾雜結構數量時，增強柱和空腔的局部模態對含空腔點陣夾芯結構的整體模態影響較小，夾芯結構的振動主要以整體模態為主，此時本文采用解析法與有限元方法得到的結果吻合較好。

以上中、低頻固有振動的計算結果表明，本文采用多層次均勻化等效Mori-Tanaka方法，將包含空腔、點陣增強柱和泡沫基體的復雜芯層結構等效為正交各向異性材料，并基于一階剪切變形夾層板理論，計算四邊簡支含空腔點陣增強夾芯結構的中、低頻固有頻率時具有良好的適用性和準確性。

3.3 芯材面板模量比Em/Ep對含空腔點陣增強芯層等效彈性模量的影響規律

芯層尺寸及材料參數同3.1節，保持芯材模量Em不變，改變面板模量Ep，求不同芯材面板模量比Em/Ep下含空腔點陣增強夾芯結構的固有頻率。圖8所示為前5階結果。

圖8 含空腔點陣增強夾芯結構固有頻率隨芯材面板模量比Em/Ep的變化關系Fig.8 Relation between natural frequencies of the latticereinforced sandwich structure with cavities andEm/Ep

由圖可以看出，當芯材模量Em不變時，隨著芯材面板模量比Em/Ep的增大，各階固有頻率均呈下降趨勢；當芯材面板模量Ep較小時，各階固有頻率隨著芯材面板模量比Em/Ep的增大而減小較快，即當芯材與面板模量相比較為懸殊時，芯材面板模量比Em/Ep對含空腔點陣增強夾芯結構固有頻率的影響較大。

3.4 增強柱體積比RVR對含空腔點陣增強夾芯結構固有頻率的影響規律

芯層尺寸及材料參數同3.1節，改變點陣增強柱直徑，采用本文解析方法，求不同增強柱體積比RVR對應的含空腔點陣增強夾芯結構的固有頻率。圖9所示為前5階結果。

圖9 含空腔點陣增強夾芯結構固有頻率隨增強柱體積比RVR的變化關系Fig.9 Relation between natural frequencies of the latticereinforced sandwich structure with cavities and RVR

由圖可以看出，隨著增強柱體積比RVR的增大，各階固有頻率均逐漸增大，但增大的趨勢較小。這說明增強柱對整體結構的中、低頻固有頻率的影響較小。

3.5 空腔體積比RVC對含空腔點陣增強芯層等效彈性模量的影響規律

芯層尺寸及材料參數同3.1節，保持點陣增強柱直徑?=10 mm不變，改變空腔體積，求不同空腔體積比RVC對應的含空腔點陣增強夾芯結構的固有頻率。圖10所示為前5階結果。

圖10 含空腔點陣增強夾芯結構固有頻率隨空腔體積比RVC的變化關系Fig.10 Relation between natural frequencies of the latticereinforced sandwich structure with cavities and RVC

由圖可以看出，隨著空腔體積比RVC的增大，各階模態的固有頻率幾乎呈線性下降，同時減小的趨勢較明顯。這說明空腔體積比對整體結構的固有頻率的影響較大。

4 結 論

本文采用多層次等效的思路處理結構復雜的芯層，并基于一階剪切變形夾層板理論研究了四邊簡支含空腔點陣增強夾芯結構的固有振動特性，得出如下結論：

1）采用多層次均勻化等效的Mori-Tanaka方法處理含空腔點陣增強結構的復雜芯層是適用的，芯層結構的等效彈性模量可以用于預測含空腔點陣增強結構的中、低頻固有頻率。

2）基于一階剪切變形理論，計算四邊簡支含空腔點陣增強夾芯結構得到的中、低頻固有頻率的誤差不超過3%，可滿足工程精度要求，且數理模型清晰，計算速度快，便于固有振動特性的規律研究。

3）芯材面板模量比、點陣增強柱體積比和空腔體積比對含空腔點陣增強夾芯結構的固有頻率均有一定的影響，當芯材與面板模量之比較小時，芯材面板模量比對含空腔點陣增強夾芯結構固有頻率的影響較大。

對于中、高頻振動，即模態振型半波數大于對應方向的內部夾雜結構數量時，固有頻率的誤差增大較快，本文方法將不再適用。將考慮采用板—桿耦合振動的思路來開展下一步的研究，并通過模型試驗進行驗證和修正。