基于Lyapunov穩定性的船舶航向保持控制器非線性反饋改進

馬超，張顯庫，楊光平

大連海事大學航海動態仿真與控制實驗室，遼寧大連116026

0 引 言

在海上航行的船舶為盡快到達目的港，降低航行途中的燃料消耗，最為理想的航行方式就是沿著計劃航線航行。但因風、浪、流等的影響，一般船舶很難沿計劃好的航線航行。因此，設計具有強魯棒性的控制器以克服外部擾動，對于保證船舶沿設定的航線航行十分必要。

針對這一問題，眾多學者提出了很多先進的控制算法。其中，反步遞推算法是解決非線性控制問題的一種典型方法，也是近幾年船舶運動非線性控制領域的研究熱點［1］，在該研究中，出現了許多采用混合方法增加其適應性或魯棒性的研究成果。例如，張顯庫等［2］將反步遞推算法與魯棒控制算法相結合，使得算法的魯棒性得以提高，在將上述算法應用到船舶航向保持控制中后，取得了較好的仿真結果。在使用反步遞推算法設計非線性控制器時，一般分為兩步或是多步。如果被控對象復雜，最后的非線性控制器未定參數多，則設計過程復雜，用常規的反步遞推方法設計出的非線性控制率一般都對消了系統的非線性項［3-4］。董文瀚等［5］提出了一種直接模型，其通過參考反步遞推自適應控制系統結構，克服了傳統自適應律引入規范化信號后使系統過渡過程品質下降的缺點［6］。張顯庫［7］在使用反步遞推方法設計船舶航向保持控制器的問題上做出了貢獻。隨后，張顯庫［8］通過構造簡單的Lyapunov函數，將非線性控制器的設計過程由兩步簡化為了一步，并且設計出的非線性控制律保留了系統的非線性項，但其仿真實驗僅用簡單的白噪聲模擬了風浪的影響。本文運用文獻［8］設計的控制器在復雜風浪模型下進行仿真實驗，發現其控制效果不是特別理想。為了改進控制效果，減少系統能耗，本文擬在文獻［8］所設計控制器的基礎上，引入非線性反饋，即使用指數函數處理后的航向誤差代替航向誤差本身，設計基于Lyapunov穩定性原理的具有非線性反饋的控制器，并將所設計的控制器用于“育鵬”輪船舶模型，實施航向保持控制。

1 船舶模型的建立與驗證

以大連海事大學的校船“育鵬”輪為例，參考文獻［1，9］，建立“育鵬”輪Nomoto船舶運動響應模型，如圖1所示。圖中：δ為舵角；δr為舵角輸入；δe為舵角誤差；為轉舵速率；為最大轉舵速率；δD為干擾；ψ為航向；為轉向速率；s為拉普拉斯算子；k為旋回性指數；T為追隨性指數。

圖1“育鵬”輪非線性船舶模型Fig.1 The nonlinear model of ship Yu Peng

其非線性二階Nomoto船舶運動響應模型如式（1）所示。

采用表1所示“育鵬”輪的船舶壓載狀態數據，利用Matlab軟件的Simulink工具箱，對建立的“育鵬”輪非線性Nomoto船舶運動響應模型進行壓載右旋回仿真實驗，并與實船壓載右旋回測試進行對比，結果如圖2所示。

表1“育鵬”輪船舶參數Table 1 Parameters of ship Yu Peng

圖2 船舶右旋回仿真實驗與實船測試對比Fig.2 The comparison of simulation and real ship test for ship Yu Peng

仿真得到的橫向戰術直徑為3.10L，實船測試所得橫向戰術直徑為3.34L；二者所得的縱向戰術直徑基本相等。經對比可得，仿真結果的橫向符合度為92.8%，整體符合度為96.0%，實驗結果驗證了模型的有效性［10］。

2 控制器的設計

式中：y∈R，為系統輸出；u為要設計的控制律，u=δ。

令

若最后的控制器鎮定狀態變量為z1和z2，則原系統在平衡點x1=ψR，x2=r=0處達到一致、漸近穩定。

構造一個Lyapunov函數：

設計船舶非線性控制律，使實際船艏方向ψ跟隨期望航向ψR。令x1=ψ，

由于z1和z2之間存在微分關系，若z2被鎮定到平衡點0處，則z1同時也被鎮定［8］。這是因為若z2被鎮定到平衡點0處，即，則x1為定值，同時ψR也為定值，由此可知z1同時被鎮定。

z1和z2之間的這種微分關系在實際系統中有一定的普遍性。為簡化設計過程，構造V1時沒有包含z1的信息，但要保證適當選擇控制律，使中含有z1。最后，同時鎮定z1和z2。

式中，k1＞0，ω＞1，兩者均為控制器設計參數。

將式（11）代入式（10），由式（2）～式（9），可得

根據Young式不等式［12］，下列不等式成立：

將式（13）代入式（12），有

式中，h為系統采樣周期。式（14）中，用x2來近似并非嚴格遵循數學上導數的定義，但其在控制工程中是可以接受的。

因為b，α，β均大于0，所以只要下列不等式成立，

通過求解不等式（15）～式（16），有

仿真實驗的采樣周期一般滿足h≤1 s，本文選取的采樣時間h=0.2 s，滿足要求。此時，系統設計參數ω在區間（1.35，2.23）內必能保證恒成立。

由Lyapunov穩定性定理可知，本文所設計的控制律（式10）能夠使整個系統被鎮定，從而系統在平衡點x1=ψR，x2=0處達到一致漸近穩定。式（10）的非線性控制律求解過程只構造了一個Lyapunov函數，且控制律中只有2個待定參數k1，ω，控制器設計過程和參數選定均較簡單。

3 船舶壓載仿真實驗及分析

以大連海事大學的“育鵬”輪為例進行仿真實驗，圖3給出了未加非線性反饋的系統仿真框圖。在圖3所示的系統中，操舵伺服系統是由舵機延遲、最大舵角飽和限制、最大舵速限制和積分環節組成。考慮到船舶實際航行時航向受風、浪的影響，仿真時加入了6級風浪干擾，得到了有海浪干擾的仿真結果。航行中風的情況比較復雜，為了準確描述風對船舶航行的影響，本文將風的干擾等效描述為一個白噪聲和代表相應風級的等效舵角的合成［13］。根據文獻［1，13］，計算得到“育鵬”輪在6級風且風舷角為30°的情況下，風的等效舵角δwind=0.8°。6級風引起的海浪干擾用白噪聲驅動的二階振蕩環節［0.419 8s/(s2+0.363 8s+0.367 5)］描述。

圖3 系統仿真框圖Fig.3 The diagram of simulation system

應用圖3所示的系統進行仿真實驗，輸入期望航向60°，為了得到更好的控制效果，調整控制器參數k1。仿真實驗中，當控制器參數k1=0.003 5時，控制效果最優，如圖4和圖5中藍線所示，分別表示反步遞推非線性控制器控制下的船舶舵角效果和航向保持效果。由此可知，船舶轉向至60°，調節時間約為250 s，操舵最大幅值35°，超調量8°。

圖4 壓載時的舵角效果Fig.4 Simulation results of the rudder angle in ballast condition

圖5 壓載時的航向保持效果Fig.5 Simulation results of the course-keeping in ballast condition

舵的能耗體現在操舵平穩性、動舵（0.5°以上）次數、作用時間和舵葉轉動幅度等上［14］。本文應用平均舵角（其中t0=0 ，tn1為調節時間）來考慮系統能耗［15］，得到系統的平均舵角

為優化控制，解決系統能耗較多的問題，受文獻［16］的啟發，保持控制器不變，在系統中引入了非線性函數反饋，即使用非線性指數函數處理后的航向誤差代替航向誤差本身，來作為控制器的輸入信號。系統設計如圖6所示（圖中，ωu-1為指數函數的反饋項，d為干擾）。進行仿真，并調節指數函數的參數ω以得到最優的控制效果。當取參數ω=1.7時，利用Simulink工具箱進行仿真控制的效果最優，如圖4和圖5中紅線所示，分別表示具有非線性反饋的控制器控制下的船舶舵角效果和航向保持效果。由此可知，船舶轉向至60°，調節時間約為200 s，船舶操舵最大幅值35°，超調量 5°，計算得到平均舵角為量化兩者間的能耗差異，引入了節能比P的概念。

圖6 非線性反饋系統Fig.6 Diagram of the nonlinear feedback system

由兩次仿真結果的對比可知，引入指數函數非線性反饋后，控制器的控制效果更好，其節能比達16.1%。

為了驗證非線性反饋控制器的控制效果及節能情況，又分別對20°，40°，60°，80°和100°下的航向保持進行了仿真實驗，得到的數據如表2所示。由表2中數據可知，引入指數函數非線性反饋控制后，在整個控制過程中，調節時間縮短，平均舵角更小。說明改進后的控制器其控制效果更加優異，系統更加節能。

表2 2種控制方式對比Table 2 The comparison of control effects between two methods

在船舶實際航行過程中，存在著頻繁轉向的情況。為研究改進后控制器的控制效果及節能情況，本文進行了船舶航向跟蹤仿真實驗。仿真環境與圖3所示系統相同，輸入航向為（0±20）°，頻率0.009 rad/s。仿真結果如圖7和圖8所示，其中藍線表示反步遞推控制器控制下的船舶舵角效果和航向保持效果，紅線表示具有非線性反饋控制器控制下的船舶舵角效果和航向保持效果。由圖7可知，引入指數函數非線性反饋后，系統的超調量減小，穩定時間縮短，說明改進后的控制器的控制效果更加優異。由圖8可計算得到，引入指數函數非線性反饋前，整個控制系統的平均舵角，引入指數函數非線性反饋后，平均舵角節能比高達 41%。由此進一步證明，引入指數函數非線性反饋改進后的控制器的控制效果更優，且系統更加節能。

圖7 航向跟蹤時的航向保持效果Fig.7 The course-keeping effect of ship during the course-tracking

圖8 航向跟蹤時的舵角效果Fig.8 The rudder effect during the course-tracking

為了驗證改進后的非線性反饋控制器的魯棒性，經查閱船舶資料，通過計算得到“育鵬”輪滿載時的船舶數據及其非線性Nomoto模型的參數，詳見表1。利用表1所示數據進行船舶轉向至60°的仿真實驗，結果如圖9和圖10所示。其中藍線為反步遞推控制器的控制效果：整個控制過程中最大舵角為 35°，調節時間約 130 s，超調量 3°；紅線為改進的非線性反饋控制器的控制效果：整個控制過程中最大舵角為35°，調節時間約130 s，無超調現象。由此可知，在船舶裝載狀態發生改變的情況下，本文所設計的改進的控制器的控制效果依然良好，且系統具有魯棒性。

4 結 語

圖9 滿載時舵角效果Fig.9 Simulation results of the rudder angle in full-loaded condition

圖10 滿載時航向效果Fig.10 Simulation results of the course in full-loaded condition

為了設計控制效果更加優異的控制器，本文將指數函數非線性反饋引入到了反步遞推控制算法中，從理論上證明了引入指數函數設計的控制器滿足Lyapunov穩定性要求，同時，整個控制器的設計過程比較簡單。文章以“育鵬”輪為例進行了仿真研究，結果表明，具有非線性反饋的控制器在風浪模型下仍具有較好的控制效果。在整個仿真過程中，控制器能很好地響應操舵指令，操舵平均舵角較小，很好地保護了舵機，節約了能量。同時，“育鵬”輪的滿載仿真實驗結果表明，具有非線性反饋的控制器具有很好的魯棒性能。在后續的實驗中，作者應用本文設計的控制器對其他種類多艘船舶的航向保持控制進行仿真實驗，皆取得了很好的控制效果。