把握命題規律 提升核心素養

摘 要：統計與統計案例是高考考查的一大熱點，重視圖表數據分析、強調應用性，是體現“數據分析”這一核心素養的重要載體。該題強調概率與統計及其他知識的交匯考查，重視對基礎知識和基本技能的考查，難度并不大，常位于考點的前三。可該題卻經常上演“懂而不會，會而不對，對而不全”的悲劇，成為“失分最嚴重的送分題”。難點在哪里？失分的原因是什么？本文以2018·全國Ⅲ卷第18題統計與統計案例為例，對試題進行分析、研討、梳理，以期找到解決這類問題的方法和策略。

關鍵詞：統計;案例統計;高考試題;說題

中圖分類號：G42 文獻標識碼：A 文章編號：2095-624X（2019）41-0011-02

引言

2018·全國Ⅲ卷第18題是一道統計與統計案例考題，本題的題根與題源主要有3個。

【題根與題源1】（人教版必修三P70莖葉圖）根據甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的原始記錄，繪制甲、乙兩名運動員得分的莖葉圖，根據莖葉圖判斷哪名運動員的成績更好？并說明理由。

【題根與題源2】（人教版選修2～3 P91）獨立性檢驗引例：吸煙是否對患肺癌有影響。

【題根與題源3】（2017遼寧沈陽三模，理18）為了調查人們對共享單車交通方式的滿意度，給出了用戶滿意度評分樣本以及對應的莖葉圖，要求學生作答。

題源內涵：根據莖葉圖提取的相關信息，用樣本的數字特征估計總體的數字特征，從而作出統計推斷，強化了用樣本來估計總體的統計的基本思想;通過2ⅹ2列聯表，通過公式計算K2，結合臨界值表判斷分類變量之間是否有關系，強化了獨立性檢驗的思想。

設計意圖：考查利用統計思想、獨立性檢驗的思想解決實際應用問題。

一、本題的命題立意

（1）主要考查的知識點：莖葉圖、中位數、獨立性檢驗;（2）主要考查的能力：數據處理能力、運算求解能力、分析問題能力;（3）主要考查的思想：獨立性檢驗思想、算法統計思想;（4）主要考查的核心素養：數據分析、數學運算、數學建模;（5）本題教材分析：莖葉圖位于人教版必修三第二章《統計》中2.2.1《用樣本的頻率分布估計總體分布》（P70）。北師大版必修三第一章第三節《統計圖表》（P21），是統計圖表的重要形式。中位數位于人教版必修三第二章中2.2.2《用樣本的數字特征估計總體數字特征》（P72）。北師大版必修三第一章第四節《數據的數字特征》（P25-26）。它與眾數、平均數、方差等都是描述一組數據集中趨勢的量，是用樣本的數字特征估計總體的基本數字特征。獨立性檢驗位于人教版選修2～3第三章《統計案例》中3.2《獨立性檢驗的基本思想及其初步應用》，是統計與統計案例的重要模型之一，是獨立性檢驗的應用和獨立性檢驗的基本思想的重要載體，是考查兩個分類變量是否有關系，并能較準確地給出這種判斷的可靠程度的常用方法。

二、試題分析

1.本題結構、難點設置、難度分析、解題時間預設

本題是一道開放性的統計與統計案例解答題，共有3問。

第一問：根據莖葉圖數據分布判斷哪種生產方式的效率更高？本問可以從“中位數”“平均數”“方差”“時間區間分布”等方面進行解答，得分比較容易。難度等級：易。難度設置點：能夠解讀莖葉圖展示的數據。

第二問：求中位數m，以m為分界，統計兩個分類變量的頻數，根據頻數列出2ⅹ2列聯表。本問屬于常規題型，難度系數：偏易，難度設置點：能夠根據頻數列出列聯表。

第三問：計算隨機變量K2的觀察值，根據教材或題目所給的臨界值表作出判斷。本問屬于常規題型，難度級別：偏易。難度設置點：能夠應用獨立性檢驗判定兩個分類變量是否相關。

此題解題時間預設：5～8分鐘。

2.題型選擇意圖

第一問源于課本的引例，通過背景的轉換設置為開放性的問題，檢測學生對統計圖表的掌握情況;檢測學生提取有用信息的能力;檢測學生對教材的理解程度。

第二問通過求樣本總體的中位數m，檢測學生對中位數求法的掌握情況。以m為分界，統計兩個分類變量的頻數，改變了原來特定分類統計的方式，增加了思維難度，是一個創新點。根據頻數列2ⅹ2列聯表，檢測了學生根據題目所給數據列出列聯表的能力。

第三問通過列出列聯表，計算獨立性檢驗中K2，檢測學生掌握獨立性檢驗中K2的含義及其實施步驟情況，使考生了解獨立性檢驗的思想及統計與統計案例的實用性。

3.審題線路

從莖葉圖中提取有用的信息→用樣本的頻率分布估計總體分布，判斷哪種生產方式的效率更高→求出中位數→以m為分界，統計兩個分類變量的頻數→根據頻數列出2ⅹ2列聯表→求出統計模型（2ⅹ2列聯表、K2分布）→參考臨界值表給出檢驗的結果。

三、備考啟示

概率與統計是高考考查的熱點，分值大約占10～17分，可以以客觀題出現，也可以以解答題出現。考題與生活聯系緊密，成為考查學生應用的亮點，近幾年替代了傳統的應用問題成為必考內容。

從近五年的雙目細目表中可以看出高考題在概率統計這塊特別關注數學的應用性，強調考查學習概率與統計的作用。

概率統計試題情境設置趨于豐富，閱讀量大，信息含量豐富，出題方式也更加新穎，試題結合排列組合、概率、統計中的相關知識點進行考查，甚至還結合其他章節知識（如數列、算法等）進行考查（如2019年全國Ⅰ卷21題），考查學生對問題的閱讀能力及對知識的運用能力，背景涉及工農業生產、體育與游戲、投資與管理等領域。

四、感悟提升

1.細微感受

對于隨機抽樣和總體估計，復習中注意弄清各種抽樣的概念及其之間的區別與聯系，弄清樣本數字特征及其求法，同時要重視視圖能力的訓練，對于獨立性檢驗和相關檢驗，應了解兩種檢驗的步驟，記住常見的幾個臨界值，能夠對計算結果進行判斷。

“數據分析”是數學六大核心素養之一，全國卷高考題特別關注考生的概率統計思想，特別強調數據處理能力，要求考生能從眾多的數據中捕捉有效信息進行解題，獲得數據提供的信息及其所呈現的規律，進而分析隨機現象的本質特征，發現隨機現象的統計規律[1]。這與現代社會化、信息化時代的要求是相吻合的。

2.備考建議

（1）一個吃透——吃透考綱知標準，核心素養提能力;（2）兩個堅持——堅持以基礎為主，堅持突出“三個基本”;（3）三個加強——加強概念教學、加強模型教學、加強滲透數學思想;（4）重視審題技巧，規范作答訓練——嚴審圖表數據，規范解題好習慣。

結語

概率與統計問題題型較多，覆蓋面廣，解法靈活，但只要我們把握命題規律，做到“一個吃透，兩個堅持，三個加強”以及規范做題訓練;將學生無序的知識有序化、零散的知識系統化。學生的核心素養必然形成，學生也將會從容地應對高考、應對人生長河中的一切“考試”。

[參考文獻]

劉莉.2016年高考“概率與統計、計數原理”專題命題分析[J].中國數學教育，2016（09）：34-41.

作者簡介：趙海莉（1975.2—），女，廣西天等人，研究生學歷，中學高級教師，目前主要從事高中數學教學與研究工作。