Mathematica區域構建與多元函數積分計算的直接方法

周群，劉雄偉

（1. 湖南涉外經濟學院 信息科學與工程學院，湖南 長沙；2. 國防科技大學 文理學院數學系，湖南 長沙）

一 引言

在學習重積分、曲線、曲面積分的過程中，我們知道，對于它們的計算一般都是轉換為累次積分（定積分）的描述形式然后逐步計算定積分來得到結果的；而且，在一般的數學軟件中，當希望借助計算機來驗證計算這些積分的思路及結果的正確性時，對于這些積分的計算一般也是首先構建累次積分表達式，然后逐步定積分來得到！這樣的過程不僅要求對描述積分區域的圖形非常熟悉，而且還需要手工給出積分區域的不等式描述形式；尤其對于一些復雜的積分區域，可能還需要基于積分對積分區域的可加性來分割積分區域，通過子區域的不等式描述形式構建累次積分表達式，分成多個積分求和來完成驗證過程。

既然借助于計算機數學軟件來驗證思路與結果，當然希望是操作簡單、方便、快捷有效的。那么有沒有這么好的軟件能夠不通過構建累次積分表達式的方式，直接計算積分得到結果來驗證多元函數積分的思路與結果的正確性呢？數學軟件Mathematica提供了一種快捷、有效的計算操作方法。該方法通過構建區域，將積分范圍直接約束在定義的區域范圍內，不需要構建累次積分表達式直接實現多元函數積分的計算。

二 區域的構建與幾何描述

Mathematica使用的Wolfram語言提供了創建、分析、求解和可視化區域的全面功能。區域的描述常用方法兩種，一種是直接圖元法，一種是函數命令描述法，另外就是區域之間的運算更快構建復雜區域。

（一） 直接圖元描述法

直接圖元描述就是借助Mathematica中的圖元構建函數命令來描述積分范圍。在積分中常用的描述有Line（線）、Circle（圓、橢圓）、Triangle（三角形域）、Rectangle（矩形域）、Polygon（多邊形域）、Disk（圓域、橢圓域）、Sphere（球面）、Ball（球體）、Cylinder（圓柱體）、Cone（圓錐體）、Tetrahedron（四面體）、Cuboid（立方體）等等，更多圖元對象的創建可以參見幫助指南中的“基本幾何區域”列表。

以上圖元命令積分范圍的創建直接與繪制圖形一樣，并且其描述的圖形對象對于二維圖形可以直接用Graphics顯示，三維圖形可以直接用Graphics3D顯示。

例1：繪制圓心在（1,1），半徑為2，圓心角為

在Mathematica中輸入表達式：

A=Circle[{1,1},2,{0,Pi/2}];

B=Tetrahedron[{{1,0,0},{1,0,1},{1,1,1},{0,0,1}}];

{Graphics[A],Graphics3D[B]}

執行后的結果如圖1所示。

（二） 函數命令描述法

除了以上特殊圖元的方法構建區域，基于區域的等式、不等式及參數方程，Mathematica也可以快速創建復雜區域，常用的函數命令為：

ImplicitRegion：描述由不等式和等式給出的區域

ParametricRegion：描述由參數化函數給出的區域

Region：顯示區域描述的圖形

DiscretizeRegion：離散化顯示區域范圍

在Mathematica中輸入表達式：

執行后的結果如圖2所示。

例3：分別構建底面半徑為3，高為3的圓錐面所描述的曲面區域和所確定的空間曲線范圍，并顯示它們的圖形。

在Mathematica中輸入表達式：

執行后的結果如圖3所示。

三 區域組合與幾何度量值的計算

Mathematica中創建的區域還可以進行區域間的運算并直接計算區域的幾何的度量值（長度、面積、體積、幾何中心等），即在區域上的積分對應的幾何意義所得到的一些數值。具體的操作命令包括：

(1) 區域間的運算：RegionBoundary（獲取區域的邊界）、RegionUnion（區域并）、RegionIntersection（區域交）、RegionDifference（區域差）等。

(2) 幾何度量值：ArcLength（弧線長度）、Area（區域（表）面積）、Volume（立體的體積）、Perimeter（平面區域的周長）、RegionCentroid（幾何中心，形心）、RegionMeasure（自動根據區域類型給出度量值，分別為計數（零維，點集），長度（一維），面積（二維），體積（三維）和勒貝格測度）等。

例4：定義底面中心點在原點，半徑為3，頂點為（0,0,3）的圓錐體區域，并計算它的體積、表面積與形心。

在Mathematica中輸入表達式：

執行后的結果為

其中Volume和Area也可以替換為RegionMeasure， Mathematica會自動根據區域類型得到相應的立體的體積和表面的面積。

例5[1]：計算拋物線y2=2x與直線y=x-4所圍成的圖形的面積。

采用區域交運算操作定義曲線圍成區域并計算面積，輸入的Mathematica表達式為：

執行后的顯示的結果為

即區域定義運算的結果的等價區域描述形式，并顯示曲線所圍平面區域面積為18。

四 多元函數積分的計算

下面以實例的形式給出Mathematica中直接以區域范圍方式直接計算多元函數的積分。

例6[1]：（ 二 重 積 分 ） 計 算 二 重 積 分

輸入Mathematica表達式：

例7[2]：（三重積分）計算其中閉區域Ω由不等式

所確定。

輸入Mathematica表達式為

例8[2]：（對弧長的曲線積分）計算曲線積分其中Γ為螺旋線x=cost，y=sint，z=2t上相應于t從0到2π的一段曲線。

輸入Mathematica表達式為

例9[1]：（對弧長的曲線積分）設L為x2+y2+z2=R2在第一卦限與三個坐標面的交線，求其形心。

輸入以下Mathematica表達式定義積分曲線：

【思路一】直接計算形心的Mathematica表達式為

Assuming[R>0,RegionCentroid[A]]

【思路二】利用形心積分公式計算形心的x分量的表達式為

執行區域定義表達式和后面的形心計算公式，可得到形心坐標為

例10[2]：（對 坐 標 的 曲 線 積 分）(1) 計 算其中L為圓周x2+y2=a2（取逆時鐘方向）。

Mathematica直接在區域上積分為直接關于積分范圍的測度值微分（幾何度量值）積分，即線為對弧長的積分、面為對面積的積分、體為三重積分，所以需要將對坐標的曲線積分利用兩類曲線積分的關系轉換為對弧長的曲線積分計算，即

其中(cosα，cosβ，cosγ)為與曲線同向的單位切向量，xOy面上的曲線積分去掉第三個分量即可。

對于由參數方程描述的曲線可以直接轉換為定積分計算，所以這里主要考慮由一般式方程描述的曲線。它們的切向量由曲線，或曲面的法向量可以直接得到。

其中切向量的取向根據曲線的方向來確定，同時考慮法向量的取向。

(1) 與曲線同向的切向量

執行計算后得到的結果為-2π。

(2) 與曲線同向的曲線切向量為圓錐面與平面的法向量的叉積，即

例11[1]：（對面積的曲面積分）計算

Mathematica中輸入表達式為

例12[2]：（對坐標的曲面積分）計算其中Σ為柱面y2+z2=1(z≥0)被平面x=0，x=1截下的部分，法向量指向上側。

執行計算后的積分結果為2。

五 結束語

本文通過實例的方式，對數學軟件Mathematica中如何定義積分區域直接計算多元函數積分的思路、方法和具體操作進行了詳細的分析與探討。從應用范例中可以直觀看到，這種計算多元積分的方法對于日常積分計算思路、方法與結果正確與否的驗證提供了一個非常方便、快捷、有效的方式。

不過值得注意的是，對于重積分、對弧長的曲線積分和對面積的曲面積分，既使積分范圍不具有統一的描述形式，一般也可以直接通過多個區域的定義來一次性積分得到結果；但是，對于對坐標的曲線積分和對坐標的曲面積分，對不具有統一數學描述形式的積分曲線或曲面，由于切向量與法向量計算使用的方程不同，可能需要基于積分對積分曲線或曲面的可加性，通過分割積分范圍單獨計算子范圍上的積分并求和來實現。同時，并不是所有的積分的計算都可以通過這種方式來計算得到結果，對于一些復雜的積分可能需要事先進行一定的數學處理，如被積函數的變換，積分類型的轉換等操作以后才能完成計算。也就是說，要想讓計算機正確高效地幫助我們解決問題，一定的數學基礎和必要的數學能力必不可少。