回望高考數學全國Ⅰ卷應用試題

季益霞

摘 要：我們不僅滿足于“讓學生感到驚奇”，更要讓學生歸納總結，“知其所以然”。培養學生學習科學的探究態度，善于發現，敢于質疑的數學精神，鞏固生活中的數學模型，培養學生的應用意識。

關鍵詞：試題 數學模型 數學建模

啟發學生解決數學應用題的前提條件是審清題意，并且認識到提取題目中的數量關系，也就是做好文字語言與數學語言的轉換工作。在提取數量關系時，應排除專業術語等非數學因素的干擾，在分析、解決轉化以后的純數學問題時，要求學生較為熟悉地掌握數學的有關知識點與基本方法，最后，在純數學問題解決之后，應注意把數學問題的解向實際問題還原。

學生遇到數學應用題就害怕，原因有兩點：第一是閱讀量非常大，題目意思難讀懂;第二是應用題背景不熟悉。應用題在高考中無疑是一道門檻，將一部分學生擋在了門外。

一、試題回望

例1：古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此。此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是。若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105 cm，頭頂至脖子下端的長度為26 cm，則其身高可能是___。

A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm

學生看到這一題嚇得要死，一些美術生反倒做出來啦，另外一部分學生利用排除法做出來啦。答案選B。

例2：古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化。每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦。在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是___。

A.B.C.D.

考查學生對以古代典籍為背景的統計結果的判斷。題目使學生體會到數學的應用模型價值，會用數學知識解決實際問題，又考查學生的理解能力、數據處理能力。符號與圖形的結合，體現此題的函數應用性。答案選A。

例3：為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗。試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗。對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥。一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗。當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效。為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X。

1.求的分布列;

2.若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，

（i）證明：為等比數列;

（ii）求，并根據的值解釋這種試驗方案的合理性。

本題考查離散型隨機變量分布列的求解、利用遞推關系式證明等比數列、累加法求解數列通項公式和數列中的項的問題。本題綜合性較強，要求學生能夠熟練掌握數列通項求解、概率求解的相關知識，對學生分析和解決問題能力要求較高。

解：（1）X的所有可能取值為。

表示最終認為甲藥更有效的概率，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種試驗方案合理。

高考中，筆者帶的班中這一題得分率低得很，許多學生沒有得分，根本沒有看直接選擇放棄。主要是對應用題的恐懼而選擇逃避;有的根本不看也看不懂，不理解，導致丟分。

二、數學模型的培養

1.基于教材，培養學生建模

高中利用數學知識解決的實際問題也越來越多。以教材為主要載體，讓學生運用學到的數學知識解決一些實際問題，是培養學生應用意識的一個很好的切入點[1];讓學生能夠主動嘗試從數學角度看問題，運用所學的數學知識和方法尋求解決問題的方案。能使學生進一步加深對函數概念、指數函數概念及其性質、對數函數概念及其性質的認識，并體會到數學知識在生產生活實際各個方面的應用，增強學生學習數學的興趣，提高數學應用能力。為了使學生更好地建立數學模型，通過具體到一般，發現函數的變化規律是建立數學模型的一種有效方法。必要情況下，對學生生疏的背景，如物理方面的知識，應適當予以復習或補充，數學模型方法，是把實際問題加以抽象概括，建立相應的數學模型，利用這些模型來研究實際問題的一般數學方法。教師在教學中要善于充實教材、處理教材，調整教材，利用教材培養學生運用數學的意識。

2.貼近生活，提煉數學問題

由于數學模型具有很強的操作性和較準確的預見性，所以在實際生活中有廣泛的應用，存貯運輸模型，讓農產品花最少的費用和時間上市，實現農民與消費者“雙贏”;溫度控制模型，讓鋼鐵的強度和韌性達到最優化;樹木最佳砍伐時機模型，讓我們獲利最優的情況下又能確保森林資源的再循環;電力工人檢測電線，找故障，汽車的行駛規律，馬爾薩斯的人口增長模型等。生活實踐中提煉數學問題是一個很好的教學解決實際問題;讓學生體會建立函數模型的目的是解決實際問題，并感受數學應用就是從實際中來，到實際中去。

3.綜合知識，進行跨學科交流

數學建模的基本思想，有關物理問題的數學模型使學生適應各學科的橫向聯系，能夠建立一些物理問題的數學模型，培養學生分析問題、解決問題的能力，用聯系的觀點看問題，能夠將生產實際、物理研究中的某些問題用數學知識、數學方法進行解決。了解函數思想在解決物理問題時所發揮的作用，同時對高考中具有導向意義的題目有所認識，了解高考命題趨勢的發展，要求學習通過審題，自己抽象出其中的數量關系。在通過老師的幫助加以確認之后，再著手進行純數學問題的解決，將各個學科的知識滲透到數學的學習與教學中，有助于提高學生學習數學的積極性，有助于培養高中生對知識的綜合運用能力，鍛煉學生的邏輯思維能力[2]。

例如，在高考中具有導向意義的知識，以物理知識和簡單數學知識為基礎，并以物理學科中的統計問題為背景，要求學生讀懂題目，抽象其中的數量關系，將文字語言轉化為符號語言。利用函數的思想、方法去解決問題，解題關鍵是將函數式轉化為二次函數形式，這是函數思想在解決實際問題中的應用。生活中不缺乏數學，缺乏的是發現數學的眼睛。讓學生大大增強了數學的應用意識，在生活中也時時留意數學。

參考文獻

[1]李秉德，李定仁.教學論[M].北京：人民教育出版社，1991.

[2]羅小偉.中學數學教學論[M].南寧：廣西民族出版社，2000.