HPM視角下“平行四邊形的面積”教學設計啟示

普粉麗 文萍

【摘要】平行四邊形的面積是小學數學圖形與幾何內容中的一個非常重要內容，通過對兩個版本教材的比較，給出教學時注重方格紙的使用，體現“等積變換”思想;注重“割補法”推導，滲透“轉化”思想，注重課后習題的使用，積累學生的“基本活動經驗”，從HPM視角下穿插數學史，增強學生的情感體驗，從而高效獲取數學知識.

【關鍵詞】平行四邊形的面積;HPM視角;啟示

【基金項目】云南省教育廳科學研究基金項目（2019J0857）——HPM視角下的小學數學教學對云南邊疆民族地區學生數學學習的影響研究.

數學史如何融入中小學數學教育教學中，是許多中小學數學教師關注的話題，它也是數學史與數學教育（HPM）領域的重要內容，教師要深刻認識數學史的教育價值.平行四邊形的面積是小學數學圖形與幾何內容中的一個非常重要內容，平行四邊形面積的計算方法是從長方形的面積計算方法通過“轉化”思想推導得出;而這種“轉化”思想方法又為后續內容三角形、梯形、圓等面積及立體圖形的體積計算方法打下基礎.本文通過比較人教版和滬教版兩個版本的數學教科書，發現它們的教學內容素材選取、內容編排存在差別，因此，探究推導平行四邊形的面積公式，理清平行四邊形面積的算理，從HPM的視角下設計本節課，將有助于落實本節課的教學目標.

一、“人教版”和“滬教版”教材中“平行四邊形的面積”的內容編排結構

（一）人教版的內容編排結構

“平行四邊形的面積”是單元“多邊形的面積”教學時的第一課，是從主題圖中一個長方形花壇和一個平行四邊形花壇的面積大小引出了怎么樣計算平行四邊形的面積，突出平行四邊形與長方形的內在聯系，從而達到從原有的知識中探索新知識的學習.教材接著給出用數方格的方法求出平行四邊形和長方形的面積.在數方格環節，教材給出表格，讓學生數出圖形的面積并填寫，并且要求學生先單獨操作，再全班討論和交流.接著教師提出不數方格，能不能計算平行四邊形的面積呢？從而引出研究割補法推導平行四邊形的面積這一重要內容，教材最后給出一道例題.

（二）滬教版的內容編排結構

“平行四邊形的面積”這節課是安排在剛剛學習了平行四邊形的概念、底、高及它的不穩定性后來學習的.教材先給出一個平行四邊形的圖形，在圖形中標出底和高這兩個數據，并在此基礎上引導學生思考這個平行四邊形的面積是多少？接下來，教材給出了兩種方法：一種是通過數格子的方法，數出這個平行四邊形的面積;另一種是通過“剪與拼”的數學活動，讓學生探究出將平行四邊形轉化為長方形.隨后，教材呈現出觀察平行四邊形與長方形面積的變化情況，再推導出平行四邊形的面積計算公式.最后教材安排計算出該平行四邊形的面積.

二、導入方式的不同

通過閱讀不同版本的數學教材，發現在“平行四邊形的面積”導入方式通常有兩種.第一種是通過創設現實生活情境來導入新知的;第二種是直接從平面圖形導入新知的.人教版的導入方式屬于第一種，創設學生的現實生活情境：學校門口的長方形花壇和平行四邊形花壇中，哪個面積大？這樣的現實生活情境來導入新課.滬教版采用的方式是第二種，開門見山，給出底為6厘米、高為4厘米的平行四邊形的圖形直接從圖形引入，并追問它的面積是多少.

三、推導“平行四邊形的面積”計算公式的異同

《義務教育數學課程標準（2011版）》提出“探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積計算公式”.兩套教材均采用“利用方格紙和割補方法”兩種方法來推導平行四邊形的面積計算公式，但在方格紙的呈現方式上有所不同.

對數方格方法，人教版教材利用方格紙把平行四邊形、長方形兩種圖形呈現在方格紙上，并且在采用數方格方法計算面積時，強調一個方格代表1平方米，不滿一格的都按半格計算，通過數方格的方法把平行四邊形的底、高和面積及長方形的長、寬和面積填寫在表格中.教材的編寫意圖就是要讓學生在數的過程中找出長方形長、寬和平行四邊形底、高之間的聯系.滬教版教材把一個平行四邊形圖形放在方格紙上，教材中并沒有像人教版教材一樣指出一個方格代表1平方米，不滿一格的都按半格計算這句話.教材的編寫意圖是讓學生通過數方格的方法求平行四邊形的面積，但在數的過程中出現不完整的方格時，則需要兩個不完整的方格拼成一個完整的方格，這樣的編排無形中已滲透了“割補”的思想.

對割補法求面積，人教版教材通過學生動手剪一剪，拼一拼，通過剪、移、拼的過程把一個平行四邊形轉化為一個長方形，在這個過程中并沒使用方格紙.而滬教版教材中剪、移、拼這個過程是在方格紙上呈現的.

雖然方格紙在兩個版本的教材中，推導公式的編排方式不同，卻都滲透了“割補法”的思想.

兩個版本的教材在平行四邊形面積公式的探究過程中，都是利用割補法來呈現的，都把一個平行四邊形分割成直角三角形和直角梯形或者兩個直角梯形的兩種方法.兩套教材都呈現了把平行四邊形分割成直角三角形和直角梯形的推演過程，而分割成兩個直角梯形的推演過程并沒有給出.不管是把平行四邊形分割成直角三角形和直角梯形，還是兩個直角梯形，在推導過程中學生可以感受到平移、旋轉和轉化等重要的數學思想與方法，這都有利于發展學生的空間幾何直觀和積累學生的活動經驗.

四、兩套教材的比較研究對平行四邊形的面積的教學啟示

（一）教學時注重方格紙的使用，體現“等積變換”思想

在古代，兩河流域測量土地面積時，就用單位面積的方法度量物體，現在我們通常借用邊長為1厘米的小正方形的方格紙來度量面積的大小.人教版教材在三年級時推導長方形、正方形面積計算公式就安排了用數方格的方法.到了五年級學習“平行四邊形的面積”時，教材同樣也安排方格紙推導平行四邊形面積.所以，在進行教學時要突出兩點，首先在判斷平行四邊形的面積計算是不是鄰邊相乘時，方格紙的量化作用就體現出來;其次借助方格紙探究平行四邊形的面積時，通過對比數的結果與底乘高計算的結果，可能猜想底乘高是計算平行四邊形面積的方法，再通過數面積單位來驗證.滲透“等積變換”的割補法，為學生積累活動經驗，同時通過數方格的過程加深了平行四邊形與長方形數法上的聯系.并且，在學生利用方格紙“數面積”的過程（不足一格）無形中滲透了“轉化”的思想，為后續學習做好鋪墊[1].