淺談《高等數學》中幾種課堂教學設計

王言英 曹秀娟

摘 ? 要：《高等數學》是大學階段一門重要的基礎課程，也是后續專業課程的基礎。學習《高等數學》不是簡單的背數學公式、解數學題，而是培養學生的邏輯思維能力、歸納推理能力，學會解決實際問題的能力的一種有效途徑。為了有效地提高學生的這些能力，本文簡單介紹了直觀圖表引入法、實際問題驅動法、數學建模案例法、從特殊到一般法等幾種課堂教學設計。

關鍵詞：高等數學 ?教學設計 ?能力

中圖分類號：O172.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2019）09（b）-0200-03

Abstract： Advanced Mathematics is not only an important basic course at the university stage， but also the basis of subsequent professional courses. Learning Advanced Mathematics is not a simple way to memorize mathematical formulas and solve mathematical problems， but an effective way to cultivate students' logical thinking ability， inductive reasoning ability and learn to solve practical problems. In order to effectively improve these abilities of students， this paper briefly introduces several kinds of classroom teaching design， such as intuitionistic chart introduction method， practical problem-driven method， mathematical modeling case method， from special method to general method and so on.

Key Words： Higher mathematics; Teaching design; Ability

《高等數學》是大學課程中的一門重要的通識必修課，是一門非常重要又較抽象的課程，不僅是后續專業課的基礎，而且可以培養學生的邏輯思維能力，運用數學知識解決實際問題的能力，創新能力等。根據多年的教學實踐，以下幾種課堂教學設計可以有效地提高學生以上各方面的能力。

1 ?直觀圖表引入法

在高等數學中第二重要極限，這個極限在經濟問題中關于復利的計算、細胞的繁殖、放射性物質的衰變等方面都有很強的應用，但是這個極限很抽象，學生不易理解。若學生不能自主探索結果的發現過程，學生靠死記硬背的話，學生很快會忘記，并且學生也沒有學會解決問題的一般思路。怎樣引導學生發現規律，解決問題呢？本文嘗試采用以下課堂教學設計。

1.1 通過計算，直觀觀察

首先引導學生利用Excel表格，計算隨n的變化，并畫出圖像（見表1），引導學生觀察圖形的規律。隨著n的不斷增大，越來越趨于一個常數。

1.2 證明極限存在

利用二項公式

比較可知：

利用極限存在準則II，知

1728年，瑞士數學家歐拉首先用e表示這個極限。e是自然對數的底，是一個無理數，其值為2.718281828459045，記為。

1.3 學以致用

最后，讓同學利用今天所學知識解決問題問題。問題：設p0為本金，r為收益率，按復利計算，t年后的復利是多少？

為了加深這個極限的理解，首先引導學生通過自主計算，直觀觀察，發現規律;利用推理演繹證明規律;最后再探討這個極限的應用。通過這種課堂設計，學生全程參與，是學習過程的主動者，培養了學生的學習興趣，也培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力。

2 ?實際問題驅動法

在高等數學的學習過程中，也可以通過實際問題引出要講的知識，比如，講授“曲率這一節時，可以采用如下方式。

2.1 引入案例

案例1：根據物理學知識，討論火車在軌道行駛時，道路的彎道應如何設計？

案例2： 工件內孔打磨需要選取合適的砂輪，若砂輪直徑過小，功效低;若砂輪的直徑過大，則出現過磨損的現象。請問砂輪的直徑該如何選取？

2.2 講授知識點

通過實際問題引起學生的興趣，啟發學生在實際問題中思考，接著教師引出本節的主題，曲率的定義和計算方法（具體內容見[1]）。

曲率是描述曲線彎曲程度大小的量。直線沒有彎曲，K=0;半徑為R的圓，每點的曲率相同。在直角坐標系下曲率公式為

2.3 解決實際問題

練習：我國鐵路常用立方拋物線作緩和曲線， 其中R是圓弧彎道的半徑，l是緩和曲線的長度，且l R，求此緩和曲線在其兩個端點O（0，0）和處的曲率。

解：

從實際問題中提出問題，然后分析問題、解決問題，讓學生在經歷解決問題的全過程，深刻領會數學知識的應用，從而培養學生的解決問題的能力、創新能力。學數學不再是搞題海戰術、不是簡單的背數學公式、解數學題。

3 ?數學建模案例引入

一階線性微分方程是一類非常重要的微分方程，在實際建模中有很強的應用。如何讓學生理解為什么學，怎么學，怎么用的問題。在講解知識以前首先抓住學生感興趣的問題讓學生思考。

3.1 問題提出

（減肥問題）設每天攝入的能量為A，每天基礎代謝的能量消耗量B，每天由于運動所消耗的能量為R，脂肪的能量轉化系數為D。求體重隨時間變化的函數？

模型的建立：按照能量的平衡原理，任何時間段內由于體重的改變所引起的人體內能量的變化應該等于這段時間內攝入的能量與消耗的能量之差。

設W（t）∶t時刻人體的體重，體重隨時間的變化是連續的。在t到t+Δt時間內，有

當Δt→0時，得到模型：即

3.2 講授知識點

從數學建模案例中，引出本節課所要講的知識點，一階線性微分方程的基本形式及其解法，具體內容見[1]。

一階線性微分方程的通解為

3.3 解決案例問題

令得到通解為

（C為任意常數）

若已知t0時刻人體的體重W（t0），可求出常數C，可以進一步分析。

從學生感興趣的減肥問題入手，引出所要講授知識，最后又用所學知識解決剛才的問題，實現了提出問題-分析問題-解決問題的全過程，提高學生解決實際問題的能力和創新能力。

4 ?從特殊到一般法

在高等數學的學習過程中，有很多的概念是很抽象又很重要的，比如導數的概念、定積分的概念。比如在導數的概念這節時，可采用教學設計如下。

4.1 引例

引例1：（變速直線運動的瞬時速度）設作變速直線運動的質點，它的路程規律是s=f（t），求在t時刻的瞬時速度。

解決問題的思路：（1）求在時間段內的平均速度

（2）當Δt→0時的極限就是t時刻的瞬時速度

引例2：求曲線y=f（x）在點M（x0，y0）處切線的斜率。

解決問題的思路：（1）在曲線y=f（x）上取另一點

先求割線MN的斜率

（2）當Δt→0時的極限就是M點處切線的斜率

4.2 觀察規律，抽象出概念

由引例1和引例2兩個特殊問題，引導學生觀察兩者的共性是一種特殊形式的極限，是函數的增量與自變量增量比的極限。因此拋開具體問題，從“特殊到一般”抽象出導數的概念。

在高等數學中這種“從特殊到一般”的思維方法，是很普遍的，再比如在定積分的定義、二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分的定義中一直應用這種思維方式。通過這種學習，使學生學會這種解決問題的思想，提高自己的歸納總結能力，推理演繹能力等。

5 ?結語

教無定法，大學數學教學要擺脫題海戰術，不再滿堂灌，讓學生參與到課堂的全過程，引導學生主動學習。根據所提出的問題主動思考，發現問題，分析問題，解決問題，提高學生發現問題的能力、學會解決問題的思維方法。這樣使學生認識到高等數學的應用，提高學習的興趣，變“被動學習”為“主動學習”。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2] 黃榮金，李業平. 數學課堂教學研究[M].上海：上海教育出版社，2010.

[3] 趙樹源.微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2007.