淺談隨機(jī)變量的幾種數(shù)字特征及其應(yīng)用

李泓想

摘要：本文主要以離散型隨機(jī)變量為例，介紹了隨機(jī)變量幾種常見的數(shù)字特征，并簡單推導(dǎo)了他們之間的關(guān)系;本文在第二部分主要介紹了隨機(jī)變量數(shù)字特征在現(xiàn)代金融學(xué)理論的應(yīng)用，簡單介紹了分散投資可以降低投資風(fēng)險(xiǎn)的事實(shí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)期望;方差;協(xié)方差;相關(guān)系數(shù);投資組合

一、隨機(jī)變量幾種數(shù)字特征及其關(guān)系

隨機(jī)變量常見的數(shù)字特征主要有數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差等，本文以離散型隨機(jī)變量為例簡單介紹幾種常見的隨機(jī)變量數(shù)字特征。

（一）數(shù)學(xué)期望

關(guān)于一般離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望定義為，假設(shè)X為一般離散型隨機(jī)變量，它的取值為x1， x2， x3， …對應(yīng)的概率分別為p1， p2， p3， …如果∑ k=1∞? xk pk，∑ k=1∞? |xk| pk兩個(gè)無窮求和分別為有限數(shù)，則稱

為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作E（X）.

數(shù)學(xué)期望有一個(gè)常用的性質(zhì)是其線性性質(zhì)，對任意常數(shù)ck，k=1， 2， …， n及b，有

關(guān)于數(shù)學(xué)期望還有一個(gè)著名的公式，是關(guān)于隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，也被稱為佚名統(tǒng)計(jì)學(xué)公式，

若函數(shù)f （x）為連續(xù)函數(shù)，若離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1， x2， x3， …，對應(yīng)的概率分別為p1， p2， p3， …，令隨機(jī)變量Y為隨機(jī)變量X的函數(shù)，即Y= f （X），那么隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為，

（二）方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

首先關(guān)于方差，其定義也是由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算給出定義，若關(guān)于隨機(jī)變量X函數(shù)（X-E（X））2的數(shù)學(xué)期望存在，我們稱（X-E（X））2的數(shù)學(xué)期望為隨機(jī)變量X的方差，記為D（X），即

并稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差。

關(guān)于方差的計(jì)算，可以由數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)給出，

關(guān)于隨機(jī)變量線性函數(shù)的方差有如下性質(zhì)，對任意的常數(shù)a，b

下面給出隨機(jī)變量的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。關(guān)于n個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，稱

為隨機(jī)變量Xi， Xj（i， j=1， 2， …， n）的協(xié)方差。

關(guān)于協(xié)方差的計(jì)算我們有，

顯然，

隨機(jī)變量和的方差的展開計(jì)算最終會(huì)歸于兩兩隨機(jī)變量的協(xié)方差的計(jì)算，下面我們給出該關(guān)系式，

協(xié)方差也有線性性質(zhì)，對任意的常數(shù)a， b， c， d及隨機(jī)變量Xi， Xj（i， j=1， 2， …， n）

隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)定義由隨機(jī)變量的協(xié)方差給出，對于隨機(jī)變量Xi， Xj（i， j=1， 2， …， n），稱

為隨機(jī)變量Xi， Xj的相關(guān)系數(shù)，當(dāng)然這里要求D（Xj），D（Xj）不為零。

二、隨機(jī)變量數(shù)字特征在現(xiàn)代金融學(xué)中的應(yīng)用

在投資學(xué)理論中，我們常常用數(shù)學(xué)期望表示收益，用方差表示風(fēng)險(xiǎn)。

著名金融學(xué)家馬科維茲在上個(gè)世紀(jì)50年代引進(jìn)的均值-方差模型是現(xiàn)代證券組合理論的基石。在馬科維茲的均值-方差理論中，假設(shè)有n個(gè)證券可以投資，并把每個(gè)證券的收益率看成是隨機(jī)變量，通常記為r1，r2，…，rn，記其數(shù)學(xué)期望為 記其方差為 并以ρij記隨機(jī)變量ri，rj的相關(guān)系數(shù)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中一個(gè)很自然的假設(shè)：投資者都是追求高收益并且規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的，也即希望有較大的數(shù)學(xué)期望和較小的方差。但是在證券市場中往往有高收益的證券常伴隨著高風(fēng)險(xiǎn)。一個(gè)有效的辦法是采用證券的組合，即把全部資金分散投資于各種證券，假定一個(gè)投資組合P投資于n種證券的資金比例分別是ω1， ω2， …， ωn，則證券的總收益為，

顯然，其平均收益為

由隨機(jī)變量和的方差和協(xié)方差關(guān)系可求得其方差（風(fēng)險(xiǎn)）為，

一般情況下，σP2要遠(yuǎn)小于σi2，例如我們?nèi)〉葯?quán)重投資，即，i=1， 2， …， n.則? 在比較理想的情況下，若組合中大部分證券之間弱相關(guān)或者不相關(guān)，即 那么? 將接近于，因此分散化投資確實(shí)能降低投資風(fēng)險(xiǎn)，這就是我們在投資中經(jīng)常所說的，不要把所有雞蛋放在同一個(gè)籃子中。

進(jìn)一步的在經(jīng)典投資學(xué)理論中我們還可以繼續(xù)討論尋找最優(yōu)的證券組合的問題。一個(gè)比較簡單的提法就是，尋求最優(yōu)的投資比例ω1， ω2， …， ωn，使得投資組合的數(shù)學(xué)期望? 等于目標(biāo)值，而讓其風(fēng)險(xiǎn)? 達(dá)到最小。

三、小節(jié)

隨機(jī)變量的數(shù)字特征在很多不同的領(lǐng)域都有很重要的應(yīng)用，本文所提到的投資組合理論只是隨機(jī)變量數(shù)字特征的一個(gè)簡單應(yīng)用。本文也只是以離散型隨機(jī)變量為例簡單介紹了隨機(jī)變量數(shù)字特征之間的關(guān)系，這些關(guān)系在連續(xù)型的隨機(jī)變量中也是成立的。

參考文獻(xiàn)：

[1]李賢平.概率論基礎(chǔ)（第二版）[M].高等教育出版社，1997.

[2]李善民，徐沛.Markowitz投資組合理論模型應(yīng)用研究[J].經(jīng)濟(jì)科學(xué)，2000 （1）：42-51.