泊松分布與復(fù)合泊松分布的性質(zhì)

于子涵

摘要：本文主要講述了泊松分布和復(fù)合泊松分布的各種性質(zhì)。本文在第一部分主要講述了泊松分布和二項(xiàng)分布的關(guān)系以及泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算;在第二部分推導(dǎo)了復(fù)合泊松分布的概率分布及其數(shù)字特征，并闡述了復(fù)合泊松分布在非壽險(xiǎn)精算中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：二項(xiàng)分布;泊松分布;復(fù)合泊松分布;全概率公式

一、泊松分布

（一）二項(xiàng)分布的極限情形為泊松分布

設(shè)隨機(jī)變量序列，并且隨機(jī)變量，即

若假設(shè) ，則有

下面給出證明。

記

對(duì)于固定的k有，

因此，

若隨機(jī)變量X的可能取值為所有非負(fù)整數(shù)，并且

則我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記作X～P（λ）.

隨機(jī)變量所有可能取值之和必定為1，關(guān)于泊松分布的所有可能取值之和我們有，

（二）泊松分布的含義

泊松分布是計(jì)數(shù)分布的一種，通常用來(lái)描述單位時(shí)間內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)，比如可以用來(lái)描述某銀行柜臺(tái)某時(shí)間段內(nèi)來(lái)辦業(yè)務(wù)的顧客數(shù)。

（三）泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差

泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差都是λ，下面給出證明，

為計(jì)算泊松分布的方差，首先給出一般隨機(jī)變量的方差計(jì)算公式，

利用上述方差計(jì)算公式，我們可以給出泊松分布的方差，

二、復(fù)合泊松分布

（一）復(fù)合泊松分布的定義

稱隨機(jī)變量 為參數(shù)為λ復(fù)合泊松分布，若滿足，

（1）X1，X2，…，N獨(dú)立的;（2）X1，X2，…是同分布的;（3）N～P（λ）.

復(fù)合泊松分布在保險(xiǎn)中是常用的概率分布，隨機(jī)變量N可看成 N 個(gè)保險(xiǎn)保單組合，Xi（i=1，2，…）是第i個(gè)保單可能的索賠額，則S是這N個(gè)保單組合的總索賠額。因此探討S的概率分布及數(shù)學(xué)期望和方差對(duì)保險(xiǎn)公司來(lái)說(shuō)有著重要的意義。

（二）復(fù)合泊松分布概率分布的算法

復(fù)合泊松分布的概率分布的計(jì)算需要用到全概率公式，下面敘述該公式。

設(shè)事件A1， A2， …， An， …是樣本空間Ω的一個(gè)分割，亦稱為完備事件組，即Ai（i=1， 2， …， n， …）兩兩互不相交，而且

假設(shè)樣本空間中有另外一個(gè)事件B，這樣一來(lái)

這樣我們可以得到全概率公式，

由全概率公式，復(fù)合泊松分布的概率分布可以寫(xiě)成，

的計(jì)算需要用到卷積公式，這里可以舉個(gè)例子說(shuō)明這個(gè)公式的計(jì)算。假設(shè)隨機(jī)變量ξ1～B（n1，p），ξ2～B（n2，p），并且互相獨(dú)立，我們可以給出ξ=ξ1+ξ2的概率分布。首先ξ的可能取值為0，1，2，…，n1+n2.

其實(shí)我們發(fā)現(xiàn)ξ～B（n1+n2，p），該結(jié)論很容易推廣到多個(gè)獨(dú)立二項(xiàng)分布和的情形。

在復(fù)合泊松分布中若假設(shè)Xi～B（1， p）（i=1， 2， …），即在保險(xiǎn)中每次索賠額要么是1，要么是0.這種假設(shè)下，的可能取值非負(fù)整數(shù)值，其概率分布為，

也即在該特殊情形下，S～P（λp）.

（三）復(fù)合泊松分布的數(shù)學(xué)期望

復(fù)合泊松分布的數(shù)學(xué)期望要用到全期望公式，首先介紹一下該公式，對(duì)任意的隨機(jī)變量X，Y，我們有

由全期望公式，我們可以給出復(fù)合泊松分布的數(shù)學(xué)期望，

在保險(xiǎn)中，復(fù)合泊松分布的數(shù)學(xué)期望意義也很清晰，E（N）表示保單組合的平均個(gè)數(shù)，E（X1）表示每個(gè)保單賠付的平均額，所以總的索賠額為E（N）E（X1）.

在復(fù)合泊松分布中若假設(shè)Xi～B（1， p）（i=1， 2， …），該種特殊情形下，其數(shù)學(xué)期望為E（S）=λp，方差為D（S）=λp.

三、小節(jié)

復(fù)合泊松分布在非壽險(xiǎn)精算中有著非常重要的意義，在非壽險(xiǎn)精算中，我們往往假設(shè)保險(xiǎn)公司的總索賠額度服從復(fù)合泊松分布，因此對(duì)復(fù)合泊松分布的研究顯得非常重要，包括對(duì)復(fù)合泊松分布的概率分布及其數(shù)字特征的研究。

參考文獻(xiàn)：

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