注重概念生成 提升數學理解

摘 要：新頒布的課程標準指出：在數學學習中學生應加強對基本概念和基本思想的理解和掌握。在教學的始終，要加強學生對一些核心概念的理解和深化。本文擬以《導數的概念》為例，闡述在概念教學中注重其生成過程，提升數學理解。

關鍵詞：概念；教學；導數

數學概念教學是數學知識教學的重要環節，學生掌握和理解數學概念的程度，直接影響到其他數學知識的學習。這就需要教師在高中數學概念課的教學中抓住數學學科的特點，積極為學生創設各種情境，讓學生體驗數學的科學價值和應用價值。

一、 教學過程分析

注重數學概念的形成過程，重視學生的思維發展。本節課采取“情境—探究—體會—形成概念”的過程學習，以恰當的問題為橋梁，引導學生類比探究形成導數概念。

（一） 創設情境，自主探究

1. 變速直線運動的瞬時速度的探究

問題1 鐵球從50 m高的天臺落下，請問在鐵球落下2 s 時距離地面還有多高？這個時刻的速度是多少？此處教師可以借助Excel表的快速計算功能并展示給學生看。（設計意圖：以學生熟悉的自由落體運動為例，借助多媒體技術和教學軟件計算數據，學生通過數據分析，直觀感受和認識瞬時速度的形成過程。）

問題2 上述表格你有什么發現？如何刻畫鐵球落下2 s 時速度？（設計意圖：通過具體情境，借助數據讓學生對瞬時變化率有直觀而清晰的認識，是可以觸摸的抽象概念。讓學生感受平均速度的變化，用平均速度逼近瞬時速度，領悟極限思想。）

問題3 鐵球在落下的每一時刻t0的運動快慢都是不同的，在每一時刻t0都有一個對應的數來描述這一時刻的快慢程度，如何求出這個數？（設計意圖：讓學生對瞬時速度的認識從具體時刻到一般時刻，通過類比達到一般化。）

2. 曲線上一點處切線的探究

問題4 上述的物理背景能抽象出來變成數學模型嗎？ 提煉數學模型：y=4.9x2。

問題5 借助幾何畫板演示，點P是函數y=4.9x2曲線上一個定點P（xp=2），點Q是該圖像上點P附近的一個動點，試觀察：當點Q無限逼近點P時，這條割線PQ有怎樣的變化趨勢？（設計意圖：借助數學軟件，通過運動的觀點來分析問題，讓學生體會割線逼近切線的過程，發展直觀想象能力。）

問題6 如何計算曲線上一點P（xp=2）處切線的斜率？

（二） 歸納類比，形成概念

問題7 （1）對瞬時速度和切線的斜率兩個具體問題，解決方法上有什么共同之處？以上兩個問題，雖然背景不同，但數學模型相同，歸結為函數在某一點處函數值的增量與自變量的增量的比值的極限問題。（2）更一般地，如何求一般函數y=f（x）在x=x0處的變化率？（設計意圖：創設學生熟悉的情境，讓學生找到概念的現實原型，體驗、感受直觀背景和概念間的關系。從具體到抽象，特殊到一般，利用瞬時速度進行類比遷移，引出導數概念的形式化定義，促進學生對數學概念的理解。）

定義1：函數在x=x0處可導及其導數

問題8 函數y=f（x）在x=x0處導數是什么？（設計意圖：引導學生用三種語言：文字語言、符號語言、圖形語言來理解和把握概念的內涵與外延。）

問題9 求函數y=f（x）在x=x0處導數的方法是什么？

（三） 數學運用，深化理解

例1 已知函數f（x）=x2+2。（1）求f（x）在x=1處的導數；（2）求f（x）在x=x0處的導數。

設計意圖：滲透算法思想，加深對導數概念的理解。

問題10 由例1讓學生思考y=f（x）在x=1處可導，那么在x=-1，x=2，x=3，x=4處可導嗎？若可導，導數是多少？（a，b）內任一點都可導嗎？（由特殊到一般引出導函數的概念）

定義2 函數y=f（x）在開區間（a，b）內的導函數

問題11 怎樣求導函數的解析式？

運用函數思想，只要把求一點處的導數x0替換成x，就可以求出導函數的解析式。

例2 已知函數f（x）=x3。分別求（1）f′（1）；（2）f′（x）。（設計意圖：兩問雖是求導數，但有本質上的不同！通過此例讓學生分清“函數f（x）在一點處的導數”與“函數f（x）在開區間內的導數”的關系。）

問題12 f′（x0）與f′（x）的含義有什么不同？

二、 教學感悟

根據奧蘇貝爾的學習理論，學生學習數學概念有兩種最基本的形式。一是概念的形成；二是概念的同化。本節導數概念的學習是概念的形成，從大量具體例子出發，從學生熟悉的例子中，觀察、分析、抽象、歸納出一類事物的本質屬性。以“問題串”形式將導數概念的學習按內容的深度性和連貫性呈現出來，從具體的生活情境入手，逐步抽象到一般的數學模型，便于學生對導數概念理解難度的突破。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中課程標準實驗教科書：數學選修2-2[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2012.

[2]徐波.高中新課程“導數的概念”教學分析[J].中國數學教育，2012（1-2）.

作者簡介：

張弟，江蘇省常州市，江蘇省常州市北郊高級中學。