從一道2018年的中考數學壓軸題談起

摘 要：壓軸題一般是指試卷最后面出現的大題，它以難度大，分數高，綜合性強為特點，學生要想在中考數學中脫穎而出，就必須將壓軸題拿下。筆者認為初中生平時除了積累數學知識外，還應該認真分析以往中考生答錯壓軸題的原因，為今后的中考數學探路。

關鍵詞：中考數學；壓軸題；分析原因；探路

前段時間，本省各市進行了2018年的中考，因筆者素來就對中考數學壓軸題頗感興趣，便向多方詢問了解了許多數學壓軸題以及考生的解答情況，其中某市的一道數學壓軸題令筆者印象深刻，原因是該壓軸題的難度系數不算大，但學生的答題情況卻比預期要差許多，筆者想通過此題來認清學生的思維世界，分析學生做錯的原因，希望能對學生今后的答題起到切實的指導作用，為初中生今后的中考數學探出一條光明大道。

一、 題目呈現

題目：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點（A在B的左側），且OA=3，OB=1，與y軸交于C（0，3），拋物線的頂點坐標為（-1，4）。

（1） 求A、B兩點的坐標；

（2） 求拋物線的解析式；

（3） 過點D作直線DE∥y軸，交x軸于點E，點P是拋物線上B、D兩點間的一個動點（點P不與B、D兩點重合），PA、PB與直線DE分別交于點F、G，當點P運動時，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由。

二、 分析答情

下面是學生的解答情況：

第（1）問求A、B兩點的坐標，學生甲和學生乙給出了不同的答案。

學生甲：∵拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點（A在B的左側），且OA=3，OB=1，∴A點坐標為（-3，0），B點的坐標為（1，0）。

學生乙：A（1，0），B（-3，0）。

點評：第（1）問真的算得上是送分題，很多學生的解題過程跟學生甲是一樣的，因為什么條件得出了什么結論，這樣的用法很恰當，思路也非常清晰。令人費解的是到了中考居然還有乙給出的這種答案，原因是學生乙審題過于粗心，沒注意題目里已經明確給出條件“A在B的左側”。每次講評作業或試卷時，總能聽到學生大呼看錯題了，錯就是錯，數學不接受“我本可以”的解釋，所以筆者認為細心也是解題能力的一種，學生們應該認真對待每一道題，從“我本可以”轉化到“我做到了”的狀態。

第（2）問求拋物線的解析式，學生丙和學生丁給出了不同的思路。

學生丙：將（1，0），（-3，0），（0，3）代入解析式y=ax2+bx+c，得：

0=a+b+c，0=9a-3b+c，3=0+0+c， 解得

a=-1，b=-2，c=3，

∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3。

學生丁：設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），把點C（0，3）代入該解析式得到3=a×3×（-1），解得a=1，則拋物線的解析式為y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3。

點評：學生丙的解題一般是考生看到題目后最先想到的方法，直接將拋物線上的三點坐標代入拋物線的解析式，再解三元一次方程組即可。如果學生的運算能力不強，對方程組的解法不熟悉，也不夠細心的話就會容易出現錯誤。如果能像學生丁那樣采用設交點式的解析式的方法，這樣就減少了計算量，成功率會高許多。這就要求學生在看完題目后耐心思考解題的多種策略，然后認真地選取符合自己能力的解題策略，進而提高做題的成功率。

第（3）問是當點P運動時，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由。學生戊和學生己解題的突破口不同。

學生戊：EF+EG是定值，且EF+EG=8，理由如下：如圖，過點P作PQ∥y軸，交x軸于點Q，設P（t，-t2-2t+3）則PQ=-t2-2t+3，AQ=3+t，QB=1-t，AE=2，∵PQ∥EF，∴△AEF∽△AQP，

則EFPQ=AEAQ，∴EF=PQ·AEAQ=（-t2-2t+3）×23+t=23+t×（3+t）（1-t）=2（1-t），同理，

∵PQ∥EG，∴△BEG∽△BQP，∴有EGQP=BEBQ，

∴EG=PQ·BEBQ=（-t2-2t+3）×21-t=21-t×（-t2-2t+3）=2（t+3），∴EF+EG=2（1-t）+2（t+3）=8。

學生己：EF+EG是定值，且EF+EG=8，理由如下：已知點P是拋物線上B、D兩點間的一個動點（點P不與B、D兩點重合），當點P與點C重合時，有P（0，3），設直線AP的解析式為y=kx+b，將A（-3，0），P（0，3）代入解析式得：

0=-3k+b，3=0×k+b，解得k=1，b=3，∴直線AP的解析式為y=x+3。

∵直線AP與直線DE交于點F，則點F的橫坐標為-1，則有y=-1+3=2，F（-1，2），∴EF=2。

設直線BP的解析式為y=kx+b，將B（1，0），P（0，3）代入解析式得：0=1×k+b，3=0×k+b，解得k=-3，b=3∴直線BP的解析式為y=-3x+3。

∵直線BP與直線DE交于點G，則點G的橫坐標為-1，則有y=-3×（-1）+3=6，G（-1，6），∴EG=6。

∴EF+EG=2+6=8，則當點P是拋物線上除點C外的B、D兩點間的一個動點時，也會有EF+EG=2+6=8。

點評：學生戊的思路極其清晰，在找不到其他解題方法的情況下畫了一條關鍵的輔助線PQ，以至于能順利地找到了兩組相似三角形，再利用相似三角形的對應線段成比例的關系算出了EF和EG的值，最后得到EF+EG=2（1-t）+2（t+3）=8。每一步驟都能以數學知識為依據，層層遞進，加上自身運算能力強，最后得到正確答案也是意料之中的事。而學生己一開始想以特殊點為突破口——當點P與點C重合時，順利算出F（-1，2），G（-1，6）得到EF=2，EG=6，EF+EG=2+6=8，最后的解釋“則當點P是拋物線上除點C外的B、D兩點間的一個動點時，也會有EF+EG=2+6=8。”在這里，學生己太想當然了，在沒有任何數學知識為依據的前提下，將特殊情況錯誤地過渡到一般情況，這點在數學領域是說不通的。如果學生寫到這里后認真地尋找數學依據，經分析后一定會發現思路出現了嚴重的漏洞，此時再尋求另一種解題思路也還來得及。所以解題時要有耐心和細心，這兩樣缺一不可。

三、 深入反思

數學知識有著嚴密的聯系性和嚴謹的科學性。嚴密的聯系性指的是數學知識是結成網狀的知識體系，知識之間相互支撐，相互依托，沒有哪些數學知識能獨立出來，因為它們是不可分割的。嚴謹的科學性說明數學知識有極強的邏輯性，它是根據現實社會的需要，并以原來的數學知識為依據而科學地增加。數學壓軸題更是很好地印證了這兩點。當學生做題時，如果不能找到相關的數學知識為依據，說明學生此時的解題思路很可能存在漏洞，因為正確的解題思路應該是讓人感到豁然開朗的，而不是含含糊糊、模糊不清的。當然，在做題時，學生除了要有清晰且嚴謹的解題思路之外，還需要具備足夠的耐心、細心和經驗，而這些都需要學生在平時的數學學習中慢慢地去嘗試和積累，那么積極分析往年中考數學壓軸題的答題情況并總結出原因，這毋庸置疑是一種有效的途徑。

作者簡介：

葉夢玲，廣西壯族自治區南寧市，廣西師范學院數學與統計科學學院。