談高考中雙變元最值題的破解

☉浙江省磐安中學 曹桂菊

在歷年的高考題、競賽題、自主招生題及各類模擬題中，經常會碰到涉及求解雙變元或多變元代數式的最值或取值范圍問題.此類問題往往以雙變元或多變元的等式條件給出，進而求解對應的代數式的最值或取值范圍，結合如何從已知條件中的等式入手，并與所求的代數式加以有效聯系，難度較大，思維方式變化多端，破解方法有時也多種多樣.下面結合一道雙變元代數式的最值題來加以實例剖析，從多角度切入，多方位破解，進而達到殊途同歸的目的.

一、問題呈現

【問題】已知正實數a，b滿足，則2a+b的最小值為______.

本題以復雜的形式給出兩正實數所滿足的等式，進而求解相應代數式的最小值問題.這類問題一直備受命題者的青睞，特別是已知等式的多樣化設置，既可以提升題目的難度，又可以為破解指明方向.關鍵是如何在已知條件下，通過認真審視試卷，在不同視角下，得到該題的不同解題思維與對應的精彩解法.

二、多解思維

思維方法1：待定系數法.

根據題目中的已知條件整理得到ab2（a+b）=4，設出2a+b=k＞0，可得代入已知關系式中消去參數a得到（k2-b2）b2=16，由此借助關系式的轉化或方程的建立，從基本不等式角度、方程的判別式角度來確定k的最小值，從而得以利用待定系數法破解代數式的最值.

解法1：由，可得a2b2（a+b）+4b=4（a+b），整理得ab2（a+b）=4.令2a+b=k＞0，則有0，將代入ab2（a+b）=4，則有，整理可得（k2-b2）b2=16.下面從三種角度進行求解.

角度1：基本不等式法1.

角度2：基本不等式法2.

角度3：方程的判別式法.

將b4-k2b2+16=0視為關于參數b2的一元二次方程，且b2＞0，而判別式Δ=k4-4×16≥0，可得k4≥64.

思維方法2：平方法.

根據題目條件整理得到ab2（a+b）=4，結合這一定值條件，利用所要求解的代數式2a+b的平方轉化，從不同的角度利用基本不等式來確定（2a+b）2的最值，再結合2a+b＞0進而利用平方法來破解代數式的最值.

解法2：由可得a2b2（a+b）+4b=4（a+b），整理可得ab2（a+b）=4，下面從兩種角度進行求解.

角度1：基本不等式法1.

因（2a+b）2=4a2+4ab+b2=4a（a+b）+b2≥當且僅當4a（a+b）=b2，結合ab2（a+b）=4，即b=2，a=時等號成立.

角度2：基本不等式法2.

思維方法3：方程法.

根據題目條件整理得到ab2（a+b）=4，進而轉化為關于參數a的一元二次方程b2a2+b3a-4=0，結合求根公式得到參數a關于b的關系式，代入所要求解的代數式2a+b，通過轉化，利用基本不等式來確定其最值，進而巧妙地借助方程法破解代數式的最值.

解法3：由，整理可得a2b2（a+b）+4b=4（a+b），故有ab2（a+b）=4，將b2a2+b3a-4=0視為關于參數a的一元二次方程，且a＞0，而判別式Δ=b6+16b2＞0，則以上方程有兩個不相等的實根.

思維方法4：換元法1.

根據題目條件整理得到ab2（a+b）=4，借助所要求解的代數式2a+b進行合理換元，令a=x＞0，a+b=y＞0，求解x，y的關系式代入ab2（a+b）=4，將其轉化為含有參數x，y的關系式，結合關系式的巧妙變形與轉化，并借助基本不等式來確定最值（x+y）2≥8，結合2a+b=x+y＞0進而利用換元法來破解代數式的最值.

解法4：由，整理可得a2b2（a+b）+4b=4（a+b），故有ab2（a+b）=4，令2a+b=a+a+b=x+y，其中a=x＞0，a+b=y＞0，可得

由ab2（a+b）=4，可得xy（y-x）2=4，即，則有，所以當且僅當，即xy=1時等號成立，則有（x+y）2≥8.由于2a+b=x+y＞0，所以有2a+b=x+y≥2，當且僅當xy=a（a+b）=1，結合ab2（a+b）=4，即b=2，a=-1時等號成立.

思維方法5：換元法2.

根據題目條件加以巧妙換元，令x=ab＞0，y=a2＞0，進而轉化已知條件，得到含有參數x，y的關系式，進而得到關于y的表達式0，借助所要求解的代數式并結合（2a+b）2進行處理與巧妙轉化，并借助基本不等式來確定最值，結合2a+b＞0進而利用換元法來破解代數式的最值.

解法5：令x=ab＞0，y=a2＞0，由，可得，整理可得，則知x∈（0，2），則有

而（2a+b）2=4a2+4ab+b2=4y+4x+b2=當且僅當即時等號成立，由于2a+b＞0，所以有2a+b≥，結合，當且僅當b=2，時等號成立，

通過對以上涉及雙變元代數式的最值問題的破解，借助待定系數法、平方法、換元法等方法，利用基本不等式、方程等相關的知識加以交匯與綜合，從而得以巧妙處理，正確破解，方法各異，奇思妙想，切入點不同，破解策略多樣.其實，涉及求解相應的雙變元代數式的最值或取值范圍問題時，其相應的思維方法值得我們學習與系統掌握，并在此基礎上舉一反三，巧妙應用，學會靈活變通，學會拓展提升.