以數列證明問題為例談邏輯推理素養培養

☉江蘇省啟東市匯龍中學 沈 輝

數學證明指的是在一個數學理論體系中，根據一定的規則或標準，依據確定其為真的命題推出另一命題真假的數學推理過程.數學證明是學習數學概念、命題、推理的關鍵活動，也是高考中考查考生邏輯推理素養的重要手段.數學證明問題在高考試卷中經常以函數導數、數列、不等式為知識載體，給出某些條件證明結論成立，條件是起點，結論是終點，依據學過的真命題（公理、定理、性質等），按照演繹推理的形式把起點和終點連接起來.在命題者所提供的標準答案中，從條件到結論，證明的是那么自然流暢、順理成章，但學生在做題的時候卻步履維艱、困難重重，要用到哪些命題？怎么想到的？如何組織語言？所以，要真正讓學生學會分析問題完成證明，提高學生的推理論證能力，教學中教師應著重從學生的這些困惑之處設計，展開分析.下面，筆者以“高考中數列的證明問題”為例，談談自己在教學中的一些做法和體會.

一、等差數列的證明問題

例1（2011年江蘇高考題改編）設M為部分正整數組成的集合，數列{an}的前n項和為Sn，已知對任意整數k∈M，當n＞k時，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）都成立.設M={3，4}，求證：數列{an}是等差數列.

分析：第一步，看求證，我們會問：證明等差數列有哪些依據？

證明一個數列是等差數列有兩個依據：（1）等差數列定義an-an-1=d（n≥2，n∈N*）；（2）等差中項定義2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N*）.

第二步，看條件，已知關系式與上述依據有差距，需要轉化，怎么轉化？為什么要這樣轉化？

注意到等差數列的兩條證明依據里都是{an}中連續的項的關系，而已知關系式給出的是{Sn}中項的關系，所以要轉化到{an}中去.常見的轉化方法是“差分法”，即以n+1代替n構造一個式子，再兩式相減.為什么要兩式相減呢？因為Sn是數列{an}的項相加得到的，所以{Sn}的項相減就變成了{an}的項之間關系.

因為當n>k時，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk），①

所以以n+1代替n得，Sn+1+k+Sn+1-k=2（Sn+1+Sk）.②

②-①得，an+1+k+an+1-k=2an+1.

所以，令k=3有an+4+an-2=2an+1，n＞3；③

令k=4有an+5+an-3=2an+1，n＞4.④

第三步，看③和④式中的項數（下標），能用自己的語言描述它們的數學意義嗎？

③式中的三個項數按從小到大排列為n-2，n+1，n+4，相隔3項.

又n從4開始，所以③式表示數列{an}從第2項開始每隔3項是等差數列，設其公差為d1，則有：

an+4-an+1=d1，n≥2.⑤

類似的，④式表示數列{an}從第2項開始每隔4項是等差數列，設其公差為d2，則有：

an+4-an=d2，n≥2.⑥

⑥-⑤，并記d2-d1=d得，an+1-an=d，n≥2.⑦

第四步，⑦式能說明數列{an}是等差數列嗎？如果不能，還要證明什么？

⑦式只能說明數列{an}從第2項開始是等差數列，所以還要證明首項滿足等差規律，即a2-a1=d.因為在作差過程中，n的范圍不斷縮小，所以首項要看初始的關系式.

由①得，（Sn+k-Sn）-（Sn-Sn-k）=2Sk，分別令k=3，4得：

2S3=（an+3+an+2+an+1）-（an+an-1+an-2）=9d；⑧

2S4=（an+4+an+3+an+2+an+1）-（an+an-1+an-2+an-3）=16d.⑨

所以an-an-1=d（n≥2，n∈N*），故數列{an}是公差為d的等差數列.

第五步，解后反思：（1）利用“差分法”，先差分將含Sn的式子化成只含有an，再差分得到an-an-1=d（n≥2，n∈N*）或2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N*），從而證得{an}是等差數列；（2）注意差分時表示項數的n的范圍變化，每次相減應取n的公共范圍；（3）數學證明是要給別人看的，書寫要清晰、簡潔.

變式：（2006年江蘇高考題改編）已知數列{an}，{bn}，{cn}滿足：bn=an-an+2，cn=an+2an+1+3an+2，若數列{cn}是等差數列，且bn≤bn+1，n∈N*，求證：{an}是等差數列.

證明：設{cn}的公差為D，則有

①-②得，bn+2bn+1+3bn+2=-2D.③

將n+1代替n，由③得，bn+1+2bn+2+3bn+3=-2D.④

③-④得，（bn-bn+1）+2（bn+1-bn+2）+3（bn+2-bn+3）=0.

因為bn≤bn+1，n∈N*，所以bn-bn+1≤bn+1-bn+2≤bn+2-bn+3≤0.

所以bn-bn+1=0，即{bn}是常數列，不妨設bn=-2d，則an+2-an=2d.

所以數列{an}的奇數項和偶數項分別構成以2d為公差的等差數列.

因此只需證明a2-a1=d.

根據題意有，c1=a1+2a2+3a3=4a1+2a2+6d；

c2=a2+2a3+3a4=2a1+4a2+10d；

c3=a3+2a4+3a5=4a1+2a2+18d.

上述三個式子代入2c2=c1+c3得a2-a1=d.因此，數列{an}是等差數列.

二、等比數列的證明問題

例2（2016年江蘇高考題）記U={1，2，…，100}，對數列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=?，定義ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，定義ST=at1+at2+…+atk.例如：T={1，3，66}時，ST=a1+a3+a66.現設公比為3的等比數列{an}（n∈N*），且當T={2，4}時，ST=30.

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）對任意正整數k（1≤k≤100），若T?{1，2，…，k}，求證：ST＜ak+1；

（3）設C?U，D?U，SC≥SD，求證：SC+SC∩D≥2SD.

分析：讀懂題目后，第（1）問容易解得an=3n-1，過程略；第（2）問中，集合T是{1，2，…，k}的子集，所以ST≤Sk，要證ST＜ak+1，則只須證Sk＜ak+1成立.那么對于一般的正項等比數列，an+1與Sn之間有什么關系呢？

設正項等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn，因為（q-1）Sn=a1qn-a1＜an+1，所以an+1＞（q-1）Sn.等比數列的這一性質，不僅可以提高我們對等比數列增長特征的認識，而且在等比數列的推理論證中也很有用.

當q＞2時，an+1＞（q-1）Sn＞Sn，第（2）問得證.

對于第（3）問，若D=?，則C∩D=?，結論顯然成立.

若D≠?，則C≠?，設集合C中最大元素為i，集合D中最大元素為j.因為q-1=2，利用上述性質，SC≤Si＜2ai、SD≤Sj＜2aj.所以看SC，SD的大小，關鍵是抓住兩個最大項ai，aj的大小.

①若SC=SD，則i=j.否則i≠j，不妨設i＞j，則i≥j+1，所以SC≥ai≥aj+1＞2Sj＞SD，矛盾.在集合C、D中去掉元素i、j后得到集合C1、D1，則SC1=SD1，設集合C1、D1的最大元素分別為i1、j1，同理可知i1=j1.依次類推，得C=D，所以SC+SC∩D=2SD，結論成立.

②若SC＞SD，則i＞j，即i≥j+1?SC≥ai≥aj+1=3aj；由上述性質繼續推理，3aj=2aj+aj＞2aj+2Sj-1=2Sj≥2SD，因此SC≥2SD.又SC∩D≥0，所以結論成立.

三、體會與感悟

數學證明是數學本身的有機組成部分，也是數學教學的重要內容之一.通過對數學證明的學習，學生能夠更好地理解和應用所學的數學知識，鍛煉從繁雜的信息中讀出聯系、形成自己的認識，提高邏輯推理素養，塑造理性的品格.通過數學證明問題的教學，師生在共同探求由條件到結論的分析、推理過程中，促進學生積極思考，在更高層次上發展學生的思維能力，在追求證明的表達簡潔的過程中，使學生學會演繹推理的一般規則，學會用數學語言表達自己的思維成果，培養了學生嚴謹求實的科學精神.