拋物線的阿基米德焦點三角形問題及其應用*

☉福建省石獅市石光中學 林建森

拋物線的弦與過弦的兩端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.特別地，拋物線過焦點的弦與過弦的兩端點的兩條切線所圍成的特殊三角形稱為阿基米德焦點三角形.有關拋物線的阿基米德焦點三角形問題在近幾年高考等試卷中時有出現.了解涉及拋物線的阿基米德焦點三角形的一些基本性質，對于解決相應問題很有幫助，其可以更加快捷地處理相應問題，也能有效地拓展知識面.

一、結論展示

拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，弦AB過焦點F，拋物線C在A，B兩點處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點P，則△PAB就是阿基米德焦點三角形.該阿基米德焦點三角形有以下幾個基本性質：

（1）點P必在拋物線C的準線上；

（2）△PAB是以P為直角的直角三角形（即PA⊥PB）；

（3）PF⊥AB.

根據拋物線的阿基米德焦點三角形的基本性質，可以用其破解很多與之相關的拋物線問題，從而使問題的求解變得簡單快捷，易于操作.

二、應用問題

1.三角形形狀的判定

例1已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，弦AB過焦點F，拋物線C在A，B兩點處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點P，則△PAB的形狀為（ ）.

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.隨點P位置變化前三種情況都有可能

分析：常規方法是設出直線AB的方程，與拋物線方程聯立確定兩端點的坐標，結合導數的幾何意義確定兩切線l1，l2的方程，進而求解交點P的坐標關系式，結合直線的斜率公式及兩直線垂直的關系加以分析.此過程比較煩瑣，解答起來比較費時，而結合阿基米德焦點三角形的基本性質，基本可以達到“秒殺”的效果.

解：結合拋物線的阿基米德焦點三角形的性質，可知△PAB是以P為直角的直角三角形.

故答案為B.

點評：利用拋物線的阿基米德焦點三角形的基本性質來判定對應的三角形的形狀，不但處理起來比較簡單，而且效果良好.

2.直線位置關系的判定

例2已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，弦AB過焦點F，拋物線C在A，B兩點處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點P，則直線PF與弦AB所在的直線的位置關系為（ ）.

A.相交但不垂直

B.相交且垂直

C.平行

D.相交但是否垂直隨點P位置變化而改變

分析：常規方法也是設出直線AB的方程，與拋物線方程聯立確定兩端點的坐標，結合導數的幾何意義確定兩切線l1，l2的方程，進而求解交點P的坐標關系式，結合直線的斜率公式及兩直線垂直的關系加以分析.若直接利用阿基米德焦點三角形的基本性質，則更為簡單快捷.

解：結合拋物線的阿基米德焦點三角形的性質，可知PF⊥AB.

故答案為B.

點評：利用拋物線的阿基米德焦點三角形的基本性質來判定兩直線的位置關系，可以很好地確定其相應的垂直關系，避免了繁雜的運算過程，節約時間，提高效益.

3.線段長度的求解

例3已知F為拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點，過點F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點A，B，拋物線C在A，B兩點處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點P，設|AB|=q，則|PF|的值為______.（結果用含q的代數式表示）

分析：設出|AF|=m，|BF|=n，結合阿基米德焦點三角形的性質并通過直角三角形的射影定理來建立相應的關系式，得到|PF|2=|AF|·|BF|=mn，進而由拋物線的焦點弦性質的變形與轉化來確定|PF|的值.

解：設|AF|=m，|BF|=n，則有|AB|=m+n=q，由阿基米德焦點三角形的基本性質可得PA⊥PB，PF⊥AB，結合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF|·|BF|=mn，由拋物線的焦點弦性質，可得，則有，則有

點評：利用拋物線的阿基米德焦點三角形的基本性質，以確定相應的三角形的形狀，結合直角三角形的射影定理加以轉化與應用，從而提升效率，拓展思維.

4.三角形面積的破解

例4已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，弦AB過焦點F，拋物線C在A，B兩點處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點P，則△PAB的面積的最小值是______.

分析：設出弦AB所在直線的傾斜角θ，結合拋物線的極徑公式得到|AF|與|BF|的三角表達式，再利用阿基米德焦點三角形的性質來確定|PF|的三角表達式，通過三角形的面積公式來進行轉化，結合三角函數的圖像與性質來確定最值即可.

解：設直線AB的傾斜角為θ，不失一般性，根據拋物線的對稱性，不妨設由拋物線的極徑公式可得，可得|AB|=.由阿基米德焦點三角形的性質可得PA⊥PB，PF⊥AB，結合直角三角形的射影定理有即當且僅當cosθ=1，即θ=0時，△PAB的面積取得最小值為p2.

故填答案為p2.

點評：利用拋物線的阿基米德焦點三角形的基本性質，結合拋物線的極徑公式及直角三角形的射影定理，有效轉化三角形的面積關系式，進而轉化為有關的三角函數問題，結合三角函數的圖像與性質即可有效破解.

5.最值問題的應用

例5（2019屆四川省成都市高三模擬·16）已知F為拋物線C：x2=4y的焦點，過點F的直線l與拋物線C相交于不同的兩點A，B，拋物線C在A，B兩點處的切線分別是l1，l2，且l1，l2相交于點P，則的最小值為______.

分析：設出|AF|=m，|BF|=n，結合阿基米德焦點三角形的性質并通過直角三角形的射影定理來建立相應的關系式，得以|PF|2=|AF|·|BF|=mn，由拋物線的焦點弦性質的變形與轉化得到m+n=mn，結合條件通過均值不等式的應用，利用配湊法來確定的最小值.

解：設|AF|=m，|BF|=n，則有|AB|=m+n，由阿基米德焦點三角形的基本性質可得PA⊥PB，PF⊥AB，結合直角三角形的射影定理有|PF|2=|AF|·|BF|=mn，由拋物線的焦點弦性質，可得，變形可得m+n=mn，即|AB|=|PF|2=mn，結合均值不等式，可得，當且僅當，即mn=16時取等號，所以的最小值為6.

故填答案為6.

點評：利用拋物線的阿基米德焦點三角形的基本性質，結合拋物線的焦點弦性質及均值不等式，能很好地達到轉化與應用，進而為求解復雜關系式的最值問題奠定基礎，有效拓展思維，提高素養.

在破解一些相關問題時，如果能夠巧妙地借助拋物線的阿基米德焦點三角形的基本性質來處理，特別在解答一些選擇題或填空題時，不失為一種很好的方法.靈活借助拋物線的阿基米德焦點三角形相關的基本性質，可以很好地處理問題，從而有效提升學習的寬度與深度，提高數學效益，培養數學素質，提升思維品質.