高中數學深度學習的理論思考與實踐反思*

江蘇省南京市第九中學 張翼飛

深度學習是當下最為流行的概念之一，一個很重要的原因就在于深度學習能夠對當前的教學方式進行有益的矯正：深度學習的“深度”二字，對于當前充斥于課堂的淺度學習而言，無論是從學生的思維角度來看，還是從學習結果的角度來看，都意味著重要的變化.本文以高中數學學科為例，談談筆者的一些理論思考與實踐反思.

一、高中數學深度學習的理論例析

深度學習的概念最早源自于人工智能研究，計算機專家想讓機器模擬人類進行學習，他們就研究人類的學習機制，并且努力讓機器具有這樣的機制.在這樣的研究過程中，專家們發現按照一定的思路或者程序進行學習，學習的效果更佳.這種思路及程序后來被總結為深度學習.對于高中數學而言，深度學習主要體現在思維上，如果學生在建構知識或者解決問題的過程中，能夠按照知識建構或者問題解決的規律進行學習，這樣的學習就是深度學習.

例如，在“函數”概念的學習過程中，第一個內容是函數的概念和圖像.比較不同版本的教材，可以發現共同的設計思路，那就是給學生提供一個生活中的函數實例，然后讓學生去研究，并且通過分析與綜合的思路，概括出函數的特征，然后得出函數的定義.其中常見的例子有：某個城市人口數量與年份的關系；做自由落體運動的物體的下落距離與時間的關系等.以自由落體為例，可以這樣表述：一個物體從靜止開始下落，下落的距離y與下落時間x，滿足y=4.9x2的關系，如果某一個物體下落時間是2秒，那么它下落的距離是多少？

面對這個問題，學生的第一反應往往是基于等量關系去直接求解，而從函數概念教學的角度來看，教師則應當引導學生去認識問題中存在的兩個變量，讓學生去發現其中一個變量確定以后，另一個變量的值也隨之確定.這就意味著這個問題涉及一個確定的函數，在通過對多個例子進行分析之后，明確了這一認識，就可以建立函數的概念與定義.

這樣的一個過程實際上就是從變量及其對應關系的角度，引導學生學習的.學生在分析一個例子的時候，這種認識可能不夠明顯，但通過多個例子的分析與綜合，學生往往能夠概括出其中的這一特點.在這樣的一個學習過程中，學生超越了直覺的計算，將思維鎖定在變量及其關系上，這就是思維的深入，打開了深度學習的大門；其后通過分析、綜合與概括，建立了函數認識，意味著思維更具有深度；學生用集合的語言，總結出相關的實例所具有的共同特點，也就是兩個非空數集A和B，存在著某種對應法則，使得集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一一個元素y與之對應，于是函數的定義就在學生的深度學習當中呼之欲出.

二、高中數學深度學習的實踐案例

以上這個例子是在傳統教學的基礎上，結合深度學習的相關理論進行的分析，通過比較研究可以發現，在高中數學教學中，無論是概念規律的教學，還是問題解決的教學，只要能夠引導學生的思維在原有基礎上進一步深入，就可以叩響深度學習的大門.具體到數學課堂上，深度學習的實施也存在一些技巧.

例如，在“函數的表示方法”的學習過程中，如果采用傳統的思路，就是將列表法、解析法和圖像法分別教給學生，而在深度學習的視角下，教師可以通過實例的分析引導學生，在開放教學的思路之下去探究函數的表示方法.具體教學過程如下：

第一步，創設問題情境，引導學生思考.

給出的問題不宜過于復雜，例如：小明去超市購買飲料，如果飲料的數量用x表示，需要的錢數用y表示，如果每瓶飲料2元錢，且購買的飲料在5瓶之內，那么該函數如何表示？這個問題情境簡單，學生容易發現y與x之間的關系，也能夠從題目中看出函數的定義域與值域，因此，這個思考過程相對比較簡單.

第二步，分析解決問題，歸納表示方法.

在尋找表示方法的時候，學生的第一反應往往是解析式，也就對應著解析法.在解析法得到成功運用之后，教師應當提出問題：除了這種方法，有沒有其他的表示方法？這個問題是驅動學生進行深入思考，進而走向深度學習的過程.根據筆者的教學經驗，絕大多數學生的第一反應往往是：還有其他的表示方法嗎？也有學生認為，既然已經有了一種表示方法，就不需要再尋找其他的表示方法了.無論學生提出什么樣的問題，或者是有什么樣的觀點，教師都應當認識到這是深度學習的重要契機.筆者在教學中就明確告訴學生：函數的表示方法不是唯一的，不同的表示方法都有著自身的優點和不足，我們現在的學習任務就是要發現不同的表示方法，認識它們的優點和缺點.

通過這樣的引導，學生會開始進行深入的思考.通過自主思考與合作學習，學生會有新的發現，比如有的小組的學生就抓住“對應”（來自對應法則）這個關鍵詞，將問題中的飲料瓶數1、2、3、4、5列出來，然后分別列出對應的價格，這實際上就是列表法的雛形；當然也有學生會想到函數的圖像，并且能夠迅速作出函數的圖像，只不過當函數圖像以直線的形式出現時，有同學會提出異議，因為原來的問題具有定義域.而在確定了定義域之后，還有學生提出問題：飲料瓶數不可能是小數，那這個函數的圖像就不應當是一條線，而應當是5個點……很顯然，在這樣的學習過程中，學生的思維是非常深入的，在上面學習的基礎之上，也可以順利地總結出解析法、列表法和圖像法.相對于傳統的教學過程而言，在這樣的學習過程中，學生的自主性得到了保證，學習過程中學生的思維也非常深入，他們通過自主探究，發現了函數的多種表示方法，這樣的學習過程無疑是一個深度學習的過程.

第三步，進行變式運用，體驗表示方法.

在高中數學教學中，深度學習往往還體現在數學知識的運用上.數學知識的運用有兩種情形：一種是同類情境中的直接運用；另一種是變式思路下的間接運用.相比較而言，后者與深度學習的關系更加密切.

在上面的例子中，教師可以讓學生在三種函數表示方法的理解基礎之上，自己去尋找有哪些函數可以用這三種方法來表示.學生剛開始認為每一個函數都可以用三種方法來表示，后來在舉出了實例之后發現，理論上的合理性與實際的合理性并不完全對應，比如有些函數用圖像法會更加直觀，而用解析法還是一樣的抽象，最典型的就是分段函數，例如該函數是過原點且平分第一、第二象限的一條折線，學生對該函數的內涵一目了然.而如果只看解析式，大腦里面還是要去想象它對應的圖形是什么樣子.學生的這一發現，實際上就是對于一個具體的函數而言，解析法與圖像法的優劣的判斷，在筆者看來，這也可以視作深度學習的一種體現.

三、高中數學深度學習的案例反思

在高中數學深度學習的實踐中，筆者曾經有過兩個層次的思考：

第一個層次：要增加學生學習過程的深度，是不是就是增加學生學習過程的難度.這是一個很自然的邏輯，如果增加了學生學習內容的難度，那學生在學習的過程中自然會進行更加深入的思考，那思考深入是不是就是對應著深度學習呢？在這個問題的自省之下，筆者對所實踐的案例進行了反思，發現結果并不完全如此.

例如在上面的變式例子中，分段函數本身并不是一個復雜的函數，學生理解起來并不困難，但是一樣可以促進學生的深度學習.分析其中的原因，筆者有一個重要的發現，那就是學習內容自身并不一定需要很大的難度，關鍵在于學習內容能否促進學生深入的思考，上面的例子中，當學生發現同一函數的不同表示方法有不同的理解結果時，深度學習就已經發生了.也因此可以肯定，難度與深度并不完全是一回事，高中數學的深度學習不能完全通過難度來體現.

第二個層次：深度學習要緊扣思維來進行.這個結論是建立在上述分析基礎之上的，在實際教學中，教師在設計教學的時候，固然要思考教學內容，但更要研究學生，尤其是學生的思維起點，筆者發現即使是實施深度學習，也可以結合最近發展區來考慮，判斷學生思維有可能達到的高度，然后去實施深度學習，效果會更加理想.

總之，在高中數學教學中，深度學習的實施是對原有的淺度學習的有效矯正，教師應當結合自己的實踐案例進行分析與反思，這樣才能讓深度學習在日常教學中落地生根，而且能夠有效地提高教學效率，從而實現教學質量的提高.W