洪荒力巧應(yīng)用，不等式妙突破
——2019年全國(guó)卷Ⅲ第23題

浙江省紹興市上虞區(qū)豐惠中學(xué) 楊 成

2019年高考全國(guó)卷Ⅲ第23題，巧妙地把對(duì)應(yīng)二次代數(shù)式的最值問題與不等式的證明加以整合與交匯，從不等式的最值求解應(yīng)用與不等式的證明兩個(gè)角度來(lái)設(shè)置問題，綜合考查對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解與掌握，從而可以有效考查各水平層次考生的數(shù)學(xué)綜合知識(shí)與綜合能力，有利于高考的區(qū)分與選拔.

一、真題在線

【高考真題】（2019年全國(guó)卷Ⅲ23）設(shè)x，y，z∈R，且x+y+z=1.

（Ⅰ）求（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；

（Ⅱ）若（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2≥成立，證明：a≤-3或a≥-1.

本題利用三參數(shù)“和定”的條件，一方面，破解相關(guān)二次代數(shù)式的最小值；另一方面，結(jié)合對(duì)應(yīng)二次不等式的恒成立條件來(lái)證明對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍問題.再加以多元（三元及以上）代數(shù)式或不等式的出現(xiàn)，給本題增加了一定的難度，普遍反映解答不理想，甚至有很多學(xué)生無(wú)從下手.下面結(jié)合該高考真題的多種破解方法加以剖析，徹底理清解題思路，把學(xué)生從題海中拯救出來(lái).

二、真題解析

解法1：（官方標(biāo)答——基本不等式法）

（Ⅰ）由于［（x-1）+（y+1）+（z+1）］2=（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2+2［（x-1）（y+1）+（y+1）（z+1）+（z+1）（x-1）］≤3［（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2］，

故由已知得（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2≥

所以（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值為

（Ⅱ）由于［（x-2）+（y-1）+（z-a）］2=（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2+2［（x-2）（y-1）+（y-1）（z-a）+（z-a）（x-2）］≤3［（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2］，

故由已知得（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2≥

因此（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2的最小值為

點(diǎn)評(píng)：利用基本不等式將平方和的關(guān)系轉(zhuǎn)化為和的平方的關(guān)系，再結(jié)合條件破解二次代數(shù)式的最值，并利用不等式恒成立的條件來(lái)轉(zhuǎn)化得以證明參數(shù)a的取值范圍問題.利用基本不等式法處理時(shí)，關(guān)鍵是通過(guò)平方和的關(guān)系與和的平方的關(guān)系的巧妙轉(zhuǎn)化，進(jìn)而有效利用“和定”的條件來(lái)應(yīng)用.

解法2：（柯西不等式法）

（Ⅰ）由柯西不等式可得：

（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2=當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y+1=z+1，即時(shí)等號(hào)成立.

所以（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值為

（Ⅱ）由柯西不等式可得：

（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2=，當(dāng)且僅當(dāng)x-2=y-1=z-a，即x=時(shí)等號(hào)成立.

因此（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2的最小值為

點(diǎn)評(píng)：利用柯西不等式將平方和的關(guān)系加以合理配湊，從而借助柯西不等式轉(zhuǎn)化為和的平方的關(guān)系，進(jìn)而有效破解相關(guān)的問題.合理配湊并有效借助題目條件中的“和定”及其相關(guān)條件是有效破解問題的關(guān)鍵點(diǎn).

解法3：（構(gòu)造向量法）

（Ⅰ）構(gòu)造向量m=（x-1，y+1，z+1），n=（1，1，1），結(jié)合向量的數(shù)量積性質(zhì)，可得｜m·n｜=｜（x-1）×1+（y+1）×1+（z+，化簡(jiǎn)可得即（x-1）2+當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y+1=z+1，即時(shí)等號(hào)成立.

所以（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值為

（Ⅱ）構(gòu)造向量m=（x-2，y-1，z-a），n=（1，1，1），由于

結(jié)合向量的數(shù)量積性質(zhì)｜m·n｜≤｜m｜｜n｜，可得｜-2-a｜≤，即可得（x-2）2+（y-1）2+，當(dāng)且僅當(dāng)x-2=y-1=z-a，即時(shí)等號(hào)成立.

因此（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2的最小值為

點(diǎn)評(píng)：利用構(gòu)造向量法，借助向量的數(shù)量積公式把相應(yīng)的平方和的關(guān)系與和的平方的關(guān)系加以有機(jī)“串聯(lián)”，并結(jié)合向量的數(shù)量積性質(zhì)建立起相應(yīng)的不等關(guān)系式，從而用于求解相應(yīng)的最值或證明不等式.合理構(gòu)造向量（可以是平面向量，也可以是空間向量，根據(jù)題目條件加以合理選擇），并利用數(shù)量積公式與性質(zhì)來(lái)綜合應(yīng)用是解題的突破口.

解法4：（權(quán)方和不等式法）

（Ⅰ）由權(quán)方和不等式可得：

（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2=，當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y+1=z+1，即時(shí)等號(hào)成立.

所以（x-1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值為

（Ⅱ）由權(quán)方和不等式可得：

（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2=，當(dāng)且僅當(dāng)x-2=y-1=z-a，即時(shí)等號(hào)成立.

因此（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2的最小值為

點(diǎn)評(píng)：利用權(quán)方和不等式將平方和的關(guān)系朝著和的平方的關(guān)系方向轉(zhuǎn)化，有效借助題目條件中的“和定”及其相關(guān)條件來(lái)破解問題.權(quán)方和不等式破解此類問題顯得更為簡(jiǎn)單快捷、目的明確，由于該不等式不常用，這里只是作為本題破解方法的一個(gè)提高與拓展來(lái)處理與分析.

解法5：（反證法）

（Ⅱ）假設(shè)a≤-3或a≥-1不成立，則知-3＜a＜-1成立，即（a+2）2＜1，由柯西不等式可得（12+12+12）·［（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2］≥［1×（x-2）+1×（y-1）+1×（z-a）］2=（x+y+z-3-a）2=（a+2）2，當(dāng)且僅當(dāng)x-2=y-1=z-a，即時(shí)等號(hào)成立.

上式等號(hào)成立時(shí)，3［（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2］=（a+2）2＜1，即（x-2）2+（y-1）2+（z-a）2＜成立，與已知條件矛盾，故假設(shè)不成立，則有a≤-3或a≥-1.

點(diǎn)評(píng)：利用反證法思維，通過(guò)假設(shè)結(jié)論不成立，借助柯西不等式加以轉(zhuǎn)化，得到與已知條件相矛盾的不等式成立，進(jìn)而產(chǎn)生矛盾，從而得以證明相應(yīng)參數(shù)的取值范圍的不等式成立.用反證法證明不等式等相關(guān)問題，也是一個(gè)比較常見的思維方式.

三、解后反思

借助三元代數(shù)式的最值與三元不等式恒成立的應(yīng)用，破解過(guò)程無(wú)固定的程序與規(guī)律可循，結(jié)合題目條件加以有效聯(lián)想，從多角度切入，利用不同的不等式性質(zhì)以及不同的問題構(gòu)造來(lái)合理轉(zhuǎn)化與處理，達(dá)到有效破解問題的目的.而此類問題的多角度思維，也為考生提供了很大的發(fā)揮空間，對(duì)考生的數(shù)學(xué)思維與邏輯推理的考查更為深入，對(duì)考生的考試區(qū)分度更為明確，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查要求都非常高.W