不等式“ex≥x+1”的妙用

湖北省宜城市第一中學 吳慶豐

高中數學中，導數作為大學的重要知識銜接點，在高考中是必考的重點知識，也是難點知識，在高考考綱中是必考專題，在小題和大題中均有所考查，并且考法多種多樣，特別是大題的壓軸題，基本上是以導數作為切入點，來解決高中數學問題，比如函數的性質、不等式、數列等.

利用導數知識解決不等式問題是常考的知識，在很多高考題和高考模擬題中，往往與不等式ex≥x+1有關.

一、結論的呈現與拓展

1.不等式

當x∈R時，恒有ex≥x+1.

結論證明：利用構造函數方法，根據導數知識應用可以證明，設f（x）=ex-（x+1）?f′（x）=ex-1，當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上單調遞增；當x∈（-∞，0）時，f ′（x）＜0，則f（x）在（-∞，0）上單調遞減.所以f（x）≥f（0）=0，即ex≥x+1.

2.由ex≥x+1拓展到類似結論不等式

（1）當x∈（-1，+∞）時，恒有ln（x+1）≤x；

（2）當x∈（0，+∞）時，恒有lnx≤x-1；

說明：（1）、（2）兩式可通過構造函數進行證明，也可利用ex≥x+1結論兩邊取自然對數；（3）可利用（2）的結論，把x替換為即可證明.

二、案例分析

例1 已知函數f（x）=lnx-x+1.

（Ⅰ）求函數f（x）的最值；

（Ⅱ）當n∈N*，證明

解析：（Ⅰ）f（x）max=f（1）=0，無f（x）min.過程略.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知lnx-x+1≤0?lnx≤x-1（前面結論），可變形為ln（x+1）≤x（當且僅當x=0時取等號）.

點評：本題用導數基本知識解決函數的最值問題，利用結論來解決數列不等式問題，難點在于學生沒有找到函數與數列的銜接點.

例2 （2017年全國卷Ⅲ理21）已知函數f（x）=x-1-alnx.

（Ⅰ）若f（x）≥0，求a的值；

（Ⅱ）設m為整數，且對n∈N*，恒有，求m的最小值.

解析：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞）.

由f′（x）＞0?x＞a，f（x）的增區間為（a，+∞），減區間為（0，a），即f（x）min=f（a）=a-1-alna.

又因為f（1）=0，所以當a=1時，f（x）≥0恒成立，故a=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當x∈（1，+∞）時，f（x）=x-1-lnx＞0?l nx＜x-1，取，則，所以ln，即恒成立.而故m的最小值為3.

點評：本題突破口在于發現f（1）=0得出a的值，難點在于得到結論，由結論找到數列不等式，最后利用數列的放縮法得到定值，需要學生熟悉函數與數列之間的聯系.

例3 （2019年湖北黃岡中學高考模擬）已知函數f（x）=｜x-a｜-lnx（a＞0）.

（Ⅰ）討論f（x）的單調性；

解析：（Ⅰ）運用零點法，把函數f（x）的解析式進行分段表示，然后利用導數，判斷每段函數的單調性.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當a=1，x＞1時，x-1-lnx＞0，則lnx＜x-1，變形得到所以

點評：本題學生難點在第Ⅰ問討論不清.第Ⅱ問依然是用結論lnx＜x-1變形，還要求學生熟悉數列的基本知識點.

例4 （2019年湖北高考模擬）已知函數f（x）=lnx+

①討論f（x）的單調性；

②若x1，x2為f（x）的兩個極值點，證明：

解析：①討論略.

②由①知a＜-2且x1+x2=-a，x1x2=1，故，故只需證明令，則t＞1，原不等式等價于lnt＜t-1對t＞1成立，即轉化結論成立.

點評：本題主要考查了導數的應用，由導數討論函數的單調性及最值，利用作差法比較大小及構造函數證明不等式是解題的關鍵，最終也轉化為結論：lnx＜x-1的應用，屬于難題.

（Ⅰ）求f（x）的最小值；

解析：（Ⅰ）求導后利用導數求函數的極值即可得到最小值.

點評：本題主要考查了導數的應用，數列不等式的證明，屬于難題.在證明不等式時，往往要根據函數的特點，構造新的函數或不等式，利用函數的增減性、極值或者不等式的放縮法，來證明所給不等式，技巧性雖然比較強，但還是結論的應用，需要多加練習總結.

三、規律總結

其實，數學雖然邏輯推理嚴密、思維抽象及應用廣泛，但還是有規律可循，平時解答數學問題時，只要多反思、多總結，一定能找到更好、更實用的結論和方法，回歸知識原本，就能更好地解決數學問題，提升數學能力，培養數學核心素養.W