基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“讀懂、厘清、解巧”的能力培養(yǎng)
——從2019年全國卷Ⅰ第21題談起

廣東華僑中學(xué) 朱國璋

廣東華僑中學(xué) 鄭 旭

新修訂的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：在教學(xué)實(shí)踐中，啟發(fā)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考，引導(dǎo)學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)，會用數(shù)學(xué)，樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)活動的全過程.數(shù)學(xué)解題既是教師數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，也是評價(jià)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的重要標(biāo)準(zhǔn)之一.因此，教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，特別注重培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生推理、建模、分析、運(yùn)算等核心素養(yǎng)，避免機(jī)械記憶，生搬硬套.

我們知道，新高考對學(xué)生核心素養(yǎng)的考查將更加突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色，著重考查學(xué)生的綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法分析問題、解決問題的能力.為此，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)解題教學(xué)要緊緊抓住“讀懂、厘清、解巧”三個關(guān)鍵點(diǎn).

讀懂，是指挖掘題目信息，了解題目考點(diǎn)，結(jié)合已有認(rèn)知，抽象數(shù)學(xué)模型，為準(zhǔn)確理解題意做準(zhǔn)備；厘清，是指運(yùn)用綜合法和分析法，轉(zhuǎn)化與化歸題目信息，緊抓數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)，構(gòu)建解題思路與算法，為巧解題目做準(zhǔn)備；解巧，是指進(jìn)行充分推演計(jì)算，完善解題步驟格式，最后總結(jié)反思，內(nèi)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為以后舉一反三做準(zhǔn)備.

下面，試以2019年高考全國卷Ⅰ文科數(shù)學(xué)的圓錐曲線題為例，加以說明.

例（2019年全國卷Ⅰ第21題）已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，|AB|=4，⊙M過點(diǎn)A，B且與直線x+2=0相切.

（1）若點(diǎn)A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；

（2）是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動時，|MA|-|MP|為定值？并說明理由.

解法一：已知題目中M，A都是動點(diǎn)，若要求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)，可用設(shè)而不求法先表示|MA|-|MP|，又|MA|、|MP|跟點(diǎn)M有關(guān)，因此可根據(jù)垂徑定理尋找點(diǎn)M的性質(zhì)，代入設(shè)而不求法表示的式子，化簡得到答案.

（1）⊙M的半徑r=2或r=6.過程略.

（2）依題意，設(shè)A（x1，y1），B（-x1，-y1），P（x0，y0），圓心M在直線OM：xx1+yy1=0上，若y1≠0，設(shè)圓心M則有即

此時|MA|-|MP|=|xM+2|-

取x0=1，y0=0，此時|MA|-|MP|=1是定值.

若y1=0，易得M（0，0），有|MA|-|MP|=2-1=1，滿足題意，

所以存在定點(diǎn)P（1，0），使得|MA|-|MP|為定值1.

反思：該題作為全國卷Ⅰ文科數(shù)學(xué)最后一道壓軸題，具有一定的思維量和計(jì)算量.在解題中，通常做法是將|MA|處理成動點(diǎn)M到定直線x=-2的距離，將|MP|處理成動點(diǎn)M到定點(diǎn)P的距離，在讀懂題意的基礎(chǔ)上翻譯成數(shù)學(xué)語言，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后直接作差完成解答.但如果繼續(xù)分析解剖，學(xué)生還可以發(fā)現(xiàn)題目中的隱藏信息.由分析法知，題目要求探究|MA|-|MP|，就是探究動點(diǎn)M到定直線的距離與其到定點(diǎn)距離的關(guān)系.由圓錐曲線的定義，說明動點(diǎn)M的軌跡應(yīng)該是拋物線，所求定點(diǎn)P為該拋物線的焦點(diǎn)，只要厘清條件隱含考查拋物線的定義和性質(zhì)，就可以寫出第二種解法.

解法二：設(shè)M（x，y），由已知得⊙M的半徑為r=|x+2|，|AO|=2.

所以曲線C：y2=4x是以P（1，0）為焦點(diǎn)，以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，即|MP|=x+1.

所以|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-（x+1）=1.

所以存在滿足條件的定點(diǎn)P，即為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)（1，0）.

反思：學(xué)生如果讀懂|MA|-|MP|和拋物線的定義有聯(lián)系，就可以利用拋物線的性質(zhì)完成解巧.不僅如此，如果學(xué)生讀題時能意識到該題考查的是存在性問題，厘清可以先假設(shè)結(jié)論成立，并將結(jié)論當(dāng)成新條件進(jìn)行解題，則可以探究出第三種解法.

解法三：由解法二可得，點(diǎn)M的軌跡方程為y2=4x，設(shè)M又設(shè)存在定點(diǎn)P（xp，yp），使得當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動時，|MA|-|MP|=c為定值，

代入原式化簡得4c-4=0，所以c=1，即存在定點(diǎn)P（1，0），使得當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動時，|MA|-|MP|為定值1.

反思：相信在上面三個解法的“讀懂、厘清、解巧”過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能有所提高.但學(xué)生的能力培養(yǎng)應(yīng)不僅限于此，教師可適當(dāng)進(jìn)行變式訓(xùn)練進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，例如將題目條件變成|MA|+|MP|呢？將條件改變后，又該怎樣解題？

變式探究：已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，|AB|=4，⊙M過點(diǎn)A，B且與直線x+2=0相切.

（1）若點(diǎn)A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；

（2）是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動時，|MA|+|MP|為定值？并說明理由.

分析：讀題時發(fā)現(xiàn)，條件|MA|+|MP|不再暗示與拋物線定義有關(guān)，無法用拋物線性質(zhì)解題，而且嘗試直接表示|MA|+|MP|后，也很難通過觀察配湊找出定點(diǎn)P和定值，所以思考當(dāng)成探究性問題來處理，利用多項(xiàng)式性質(zhì)完成解題.

解：（1）略.

（2）依題得，點(diǎn)M的軌跡方程為y2=4x.

代入原式化簡得c2-2c+2=0，因?yàn)棣ぃ?，所以c不存在，即不存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動時，|MA|+|MP|為定值.

反思：通過變式探究，進(jìn)一步鞏固學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在解巧高考題和變式研究后，教師可引導(dǎo)學(xué)生回顧題目信息，回想思路形成，回味思想方法，在一題多解的基礎(chǔ)上舉一反三.

其實(shí)，不僅僅是圓錐曲線問題，在數(shù)學(xué)所有知識模塊的解題中都需要學(xué)生“讀懂、厘清、解巧”.讀懂，就是數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化輸入；厘清，就是數(shù)學(xué)的整合加工；解巧，就是數(shù)學(xué)的輸出應(yīng)用.三個環(huán)節(jié)層層遞進(jìn)，是正確解題的三板斧.新課改下教師在解題教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行針對性地練習(xí)，對應(yīng)這三個環(huán)節(jié)有的放矢，查缺補(bǔ)漏，逐步提高學(xué)生解題的正確率.而學(xué)生只有讀得懂題意，理得清思路，才能解得巧過程，并在解題過程中逐漸鞏固和提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，適應(yīng)新高考的要求.F