一道試題的解題析題展示*

福建省漳州市第三中學 吳 攀

福建省平和第一中學 賴平民

解題析題是數學教師必須具備的一種基本能力，析題是教師在解題的基礎上，從學生的角度對試題的解題方法、解題依據和實施過程進行分析，并在此基礎上挖掘試題的背景和變式，讓學生在析題中學會解決問題.解題析題常從分析試題考查的基礎知識入手，分析試題考查的數學能力、數學思想方法和數學核心素養.通過分析試題的亮點，指出試題的側重點和設置脈絡，通過分析試題的設計理念，指出試題發揮的評價功能和教學導向功能，并引導學生進行解題反思，反思試題表述是否符合邏輯，總結解題方法，并反思方法能否再優化，能否變式，能否挖掘試題背景或相關結論等.

本文擬以一道函數導數解答題為例進行析題展示，以期拋磚引玉，求教于同行.

一、展示題目

（Ⅰ）求函數g（x）的單調區間；

（Ⅱ）若函數g（x）在R 上存在最大值0，求函數f（x）在［0，+∞）上的最大值；

（Ⅲ）求證：當x≥0 時，x2+2x+3≤e2x（3-2sinx）.

二、析題分析

本題主要考查函數的單調性與最值、函數的圖像與零點、導數的綜合運用等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、抽象概括能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想等.本題通過在函數、導數、三角函數三處設置知識交匯，試題設問脈絡清晰，層層遞進，符合《課程標準》的設計理念，很好地考查了學生的直觀想象、邏輯推理、數學運算等數學核心素養，立足基礎，關注過程.

第（Ⅰ）問：

已知條件：g（x）為f（x）的導函數.

解決的問題：求函數g（x）的單調區間.

數學語言：討論a，判斷g′（x）的符號.

解題分析：g（x）=f′（x）=x+a-aex，則g′（x）=1-aex，（含有參數a，無法確定導函數符號正負，如何確定討論標準？因為ex＞0，確定討論標準為a≤0 和a＞0 兩種）當a≤0 時，g′（x）≥0，所以g（x）的單調遞增區間為R，無減區間；當a＞0 時，解得x＜-lna 時，g′（x）＞0，x＞-lna 時，g′（x）＜0，所以g（x）的單調遞增區間為（-∞，-lna），單調遞減區間為（-lna，+∞）.

第（Ⅱ）問：

已知條件：g（x）在R 上存在最大值0.

解決的問題：f（x）在［0，+∞）上的最大值.

數學語言：（1）對x∈R，gmax（x）=0，求a；（2）對x∈［0，+∞），求fmax（x）.

解題分析：由（Ⅰ）知，a＞0 且g（x）在x=-lna 處取最大值，g（-lna）=a-lna-1，則a-lna-1=0，觀察易得a=1.（a=1 是方程a-lna-1=0 的唯一解嗎？不確定時如何處理？有幾種思路？通過常用對數不等式lnx≤x-1 當且僅當x=1時，等號成立，下面通過導數給出方程根的唯一性的嚴格證明，證明略）所以由題意知f ′（x）=g（x）≤0，所以f（x）在［0，+∞）上單調遞減.所以f（x）在x=0 處取得最大值f（0）=-1.（本試題的背景為麥克勞林展開式ex=f（0）++…易得不等式由此命制試題）

第（Ⅲ）問：

已知條件：x≥0.

解決的問題：x2+2x+3≤e2x（3-2sinx）.

數學語言：令h（x）=e2x（3-2sinx）-（x2+2x+3），求證h（x）≥0 在x∈［0，+∞）上恒成立.

解題分析：證明此類不等式的常用方法有直接構造函數法、綜合分析比較法、替換構造法、放縮法、不等式兩邊取最值法等.此題我們先選用直接構造法進行解題嘗試.令h（x）=e2x（3-2sinx）-（x2+2x+3），化為求h（x）在［0，+∞）上的最小值，求得h′（x）=2e2x（3-2sinx-cosx）-（2x+2），如何研究導函數零點？考慮二次求導，發現h″（x）=2e2x（6-3sinx-4cosx）-2=2e2x［6-5sin（x+φ）］-2≥2e2x-2≥0在［0，+∞）恒成立，可知h′（x）在［0，+∞）上單調遞增，可得h′（x）≥h′（0）=2，所以h（x）在［0，+∞）上單調遞增，可得h（x）≥h（0）=0恒成立，原式得證.

解題反思：我們常說，沒有無緣無故的第（Ⅰ）問，前兩問是否對第（Ⅲ）問有所提示，從而得到不同的解題思路？我們說此類證明不等式問題常可以通過放縮法處理，下面我們做不同解法嘗試.由（Ⅱ）知，若a=1，有ex≥化為x2+2x≤2ex-2，所以x2+2x+3≤2ex+1，原題即證2ex+1≤e2x（3-2sinx），即證ex［ex（3-2sinx）-2］≥1，因為當x∈［0，+∞）時，ex≥1，所以只需證ex（3-2sinx）-2≥1.即證ex（3-2sinx）-3≥0在［0，+∞）上恒成立.構造函數 φ（x）=ex（3-2sinx）-3，x∈［0，+∞）.易證得φ（x）≥0（證略），原題得證.至此，我們通過分析法和指數不等式放縮得到新解法.

三、總結思路，解題反思

本題通過構造函數求導，運用導數的工具探究函數的單調性和最值，當一次導函數含參數時，常考慮因式分解后進行分類討論，若不能按如上處理，常要二次求導，或化為乘積函數部分求導，若觀察不出零點時，常考慮虛設零點研究問題.本題第（Ⅲ）問入口寬，不同的方法各有優劣，讓學生在已有的解題經驗上，突破思維限制，獲取新的解題經驗.同時我們不難看出本題的第（Ⅲ）問命題手法類似于2014 年新課標全國卷Ⅰ理科第21 題和2011 年新課標全國卷Ⅰ理科第21 題.

本題能否變式呢？基于上述反思，我們可對試題進行適當的拓展變式：

變式二：其他不變，第（Ⅲ）問改為：求證當x≥0 時，x2+2x+3≤e2x（3-2cosx）；

解題析題的前提是要會解，其次才是析，這就要求執教者在平時的教學中扎實自身的學科素養，潛心研究試題，感悟試題，將解題教學與學生的學相結合，達成師生共同成長的良好局面.F