一個(gè)中心，兩個(gè)基本點(diǎn)
——談數(shù)列的專(zhuān)題復(fù)習(xí)

江蘇省海安市曲塘中學(xué) 陳宏春

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容之一，在高考命題中既有解答題也有選擇和填空題，約占20分.數(shù)列因其規(guī)律性強(qiáng)、題型多變、求解方法多樣等特點(diǎn)，所以成為學(xué)生復(fù)習(xí)的難點(diǎn).基于此，本文針對(duì)高三專(zhuān)題復(fù)習(xí)提出了“一個(gè)中心，兩個(gè)基本點(diǎn)”的復(fù)習(xí)建議.

一、一個(gè)中心

一個(gè)中心是指以特殊數(shù)列為中心，這里所說(shuō)的特殊數(shù)列，主要是指等差、等比數(shù)列.這兩個(gè)特殊的數(shù)列是數(shù)列整章內(nèi)容的核心，各類(lèi)數(shù)列問(wèn)題均與等差或等比數(shù)列有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，甚至最終轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列進(jìn)行處理.因此，對(duì)等差、等比數(shù)列有關(guān)內(nèi)容的掌握是數(shù)列復(fù)習(xí)的重中之重.其中主要包括如下幾個(gè)方面：

（1）定義：定義是判定一個(gè)數(shù)列是否為等差或等比數(shù)列的主要方法.

（2）通項(xiàng)公式：是數(shù)列概念的本質(zhì)體現(xiàn)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式具有一次函數(shù)的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式具有指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

（3）等差、等比中項(xiàng)：體現(xiàn)了數(shù)列中相鄰三項(xiàng)之間的關(guān)系，以及在此基礎(chǔ)上得出的重要性質(zhì)：對(duì)于等差數(shù)列{an}，若m+n=p+q=2t，則am+an=ap+aq=2at，對(duì)于等比數(shù)列則有

（4）數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其最值問(wèn)題.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式具有二次函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)d＞0時(shí)，Sn有最小值；當(dāng)d＜0時(shí)，Sn有最大值.

（5）單調(diào)性：對(duì)于等差數(shù)列{an}，若d＞0，則{an}為遞增數(shù)列；若d＜0，則{an}為遞減數(shù)列.對(duì)于等比數(shù)列{bn}，若b1＞0，q＞1，則{bn}是遞增數(shù)列；若b1＜0，q＞1，則{bn}是遞減數(shù)列.若b1＞0，0＜q＜1，則{bn}是遞減數(shù)列；若b1＜0，0＜q＜1，則{bn}是遞增數(shù)列.

（6）周期性：若數(shù)列{an}對(duì)于任意的正整數(shù)n，存在常數(shù)T，使得an+T=an，則{an}是以T為周期的數(shù)列.

下面簡(jiǎn)舉兩例說(shuō)明：

例1 （2019年全國(guó)卷Ⅲ）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5=3a3+4a1，則a3=（ ）.

A.16 B.8 C.4 D.2

解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a5=3a3+4a1，得a1q4=3a1q2+4a1，即q4-3q2-4=（q2-4）（q2+1）=0，因?yàn)閝＞0，所以q=2.

故選C.

說(shuō)明：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，體現(xiàn)了數(shù)列的基本量法在解題中的應(yīng)用.

例2 已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+an-1=n（n≥2，n∈N*）且a1=-1，則a10=______，其前2k-1（k∈N*）項(xiàng)和S2k-1=______.

解析：由an+an-1=n得an+1+an=n+1，兩式相減得an+1-an-1=1，進(jìn)而可知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別是以1為公差的等差數(shù)列.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，因?yàn)閍1=-1，所以

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，因?yàn)閍2=3，所以

因?yàn)楫?dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a1+a2，a3+a4，a5+a6，…是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以

說(shuō)明：本題所給數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別是以1為公差的等差數(shù)列，故數(shù)列的通項(xiàng)或求和均應(yīng)分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論.

二、兩個(gè)基本點(diǎn)

兩個(gè)基本點(diǎn)，即數(shù)列的兩種必考題型，求數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和.幾乎所有的數(shù)列問(wèn)題，都是圍繞這兩個(gè)基本點(diǎn)展開(kāi)的.

1.求數(shù)列的通項(xiàng)公式

求一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式除等差與等比數(shù)列以外，通常有兩種題型：

一種是給出前n項(xiàng)和公式，這里既包括前n項(xiàng)和Sn與n的關(guān)系，也包括Sn與an的關(guān)系，可利用應(yīng)用此公式解題時(shí)要注意對(duì)n=1進(jìn)行檢驗(yàn).

例3 （2019年全國(guó)卷Ⅰ）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S4=0，a5=5，則（ ）.

A.an=2n-5 B.an=3n-10

C.Sn=2n2-8n D.Sn=

解 析：設(shè)Sn=An2+Bn，由已知得S4=0，S5=5，所以解得所以Sn=n2-4n，Sn-1=（n-1）2-4（n-1），即an=Sn-Sn-1=2n-5.經(jīng)檢查，當(dāng)n=1時(shí)，也符合.

故選A.

說(shuō)明：本題求解中利用了數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為二次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求得Sn，再利用公式an=得到通項(xiàng)公式.

另一種是給出遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，常用方法主要有：疊加法、疊乘法、構(gòu)造新數(shù)列法，其中難點(diǎn)是構(gòu)造新數(shù)列法，所謂的新數(shù)列，其實(shí)就是等差或等比數(shù)列.構(gòu)造的方法主要有待定系數(shù)法、取倒數(shù)法、平方法、取對(duì)數(shù)法等.

例4 已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1=2且N*），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____.

說(shuō)明：本題求解中利用了“取倒數(shù)法”和“待定系數(shù)法”構(gòu)造新數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

2.求數(shù)列的前n項(xiàng)和

若數(shù)列的通項(xiàng)為“等差+等比”型，可利用“分組求和法”；若數(shù)列為“等差×等比”型，可利用“錯(cuò)位相減法”；若與首、末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和為定值，可利用“倒序相加法”求解；若數(shù)列的通項(xiàng)為如下幾種形式，可利用裂項(xiàng)相消法求和：

因前三種類(lèi)型較為固定，請(qǐng)同學(xué)們自行練習(xí)，下面對(duì)裂項(xiàng)相消求和法的應(yīng)用簡(jiǎn)單舉例：

例5 （2019年浙江卷）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3=4，a4=S3，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足：對(duì)每個(gè)n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

解析：（1）an=2n-2，bn=n2+n.（過(guò)程略）

所以C1+C2+C3+…+Cn＜2

說(shuō)明：本題第（2）問(wèn)求解中通過(guò)先放縮，再裂項(xiàng)相消求和，放縮的工具利用了不等式的性質(zhì).

另外，數(shù)列問(wèn)題常與不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等交匯考查，成為高考試卷的壓軸題.總之，數(shù)列的復(fù)習(xí)，圍繞“一個(gè)中心，兩個(gè)基本點(diǎn)”展開(kāi)，必能收到事半功倍之效.F